盛成明，唐鎖夫，劉 超

(1. 海軍702廠，上海 200434；2. 海鷹集團(tuán)，江蘇無錫 214000)

0 引 言

隨著工程實(shí)踐和理論分析的需要，經(jīng)典傅里葉變換從不同角度衍生了諸如短時(shí)傅里葉變換、小波變換、分?jǐn)?shù)傅里葉變換等理論。小波變換以其優(yōu)越的時(shí)-頻局部化分析能力在工程實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用[1,2]。小波變換通過從粗到細(xì)不斷改變尺度，從而將研究對象的任何變換充分展示，近些年在信號濾波方面也取得了許多研究成果。小波域?yàn)V波通過小波變換方法對研究對象進(jìn)行多層分解，由閾值函數(shù)對分解后得到的高頻小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化，再由量化后的小波系數(shù)重構(gòu)而得到真實(shí)信號的逼近。由此易知，閾值函數(shù)的選取對濾波效果將會產(chǎn)生直接影響。對于閾值函數(shù)的選取，大量研究人員也進(jìn)行了一定的探索[3]。

本文通過對典型的閾值函數(shù)進(jìn)行理論分析，提出了一種改進(jìn)型的閾值函數(shù)，并和采用傳統(tǒng)閾值函數(shù)的濾波效果進(jìn)行對比。仿真結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)型閾值函數(shù)在均方誤差與信噪比方面都有一定改進(jìn)。

1 小波閾值濾波原理

定義觀測信號

其中：x(n)為原始信號，w(n)為噪聲，且相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

選擇一個(gè)合適的小波函數(shù)，對y(n)進(jìn)行N層分解，得到一系列小波系數(shù)[4]。由于在某些工程實(shí)際中，信號一般表現(xiàn)為頻率較低或是平穩(wěn)，而噪聲通常表現(xiàn)為較高頻率。通過小波多尺度分解產(chǎn)生的低頻小波系數(shù)反映的是信號的逼近部分，高頻系數(shù)反映的是信號的細(xì)節(jié)部分。因此，對第一層到第N層中的各層高頻小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化得到估計(jì)小波系數(shù)，再通過小波逆變換實(shí)現(xiàn)信號的濾波，即信號的估計(jì)x1(n)[5,6]。具體實(shí)現(xiàn)方式如圖1所示。

圖1中，Aj為各層分解的低頻系數(shù)，Dj為各層分解的高頻系數(shù)。DDj為經(jīng)過閾值函數(shù)量化后得到的高頻系數(shù)，由圖1可知，通過式(2)進(jìn)行信號重構(gòu)，即可實(shí)現(xiàn)信號的濾波。

圖1 小波閾值濾波實(shí)現(xiàn)方式Fig.1 Implementation method of wavelet threshold filtering

2 閾值函數(shù)的分析和改進(jìn)

在小波系數(shù)閾值量化過程中，最具有代表性的閾值函數(shù)是硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，下面將通過硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的分析，給出改進(jìn)型閾值函數(shù)。

2.1 硬閾值函數(shù)

設(shè)閾值為0＞λ，硬閾值函數(shù)定義為

即對自變量在閾值以下的函數(shù)值直接清零，閾值以上的函數(shù)值等于自變量的值。易知，函數(shù)在λ處不連續(xù)，且出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn)。

2.2 軟閾值函數(shù)

軟閾值函數(shù)定義如下：

其中sign(·)為符號函數(shù)，軟閾值函數(shù)相當(dāng)于對硬閾值函數(shù)曲線平移了λ個(gè)單位，實(shí)現(xiàn)了λ處曲線的連續(xù)。

2.3 改進(jìn)型閾值函數(shù)

上述定義的軟、硬閾值函數(shù)具有如下特點(diǎn)[7]：硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù)，重構(gòu)信號易產(chǎn)生振蕩；軟閾值函數(shù)的量化值與原始小波系數(shù)有恒定的偏差不能逼近。為了在一定程度上克服上述閾值函數(shù)的不足，本文構(gòu)造一個(gè)新的閾值函數(shù)如下：

其中0＞α，為可變參數(shù)。

且f1(x) = 0 , (x= 0 )。因此，本文提出的新閾值函數(shù)既能在λ處連續(xù)，又能逼近原始小波系數(shù)。

2.4 三種閾值函數(shù)特點(diǎn)分析

為了更好地分析三種閾值函數(shù)的特點(diǎn)，圖2給出了3種閾值的函數(shù)曲線，其中取0.1=α。

圖2 三種閾值函數(shù)曲線Fig.2 Three kinds of threshold function curves

由圖2易知，硬閾值函數(shù)對閾值以下的數(shù)值清零，滿足小波閾值濾波的要求，但是函數(shù)在x=λ處不連續(xù)，出現(xiàn)了第一類間斷點(diǎn)，因此對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理后再重構(gòu)的信號易產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象[8]，不利于含噪聲信號的重構(gòu)。

軟閾值函數(shù)改善了硬閾值函數(shù)在x=λ處不連續(xù)、易引起重構(gòu)信號振蕩的不足，但由于軟閾值函數(shù)對在閾值以上的小波系數(shù)也同樣做了量化，且量化后的值與原始小波系數(shù)有一個(gè)恒定的偏差λ，不能夠滿足對小波系數(shù)的逼近，因此信號重構(gòu)效果也并不好。

改進(jìn)型的閾值函數(shù)對硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性和軟閾值函數(shù)的不能逼近性都進(jìn)行了改善，同時(shí)，可變參數(shù)α可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，實(shí)現(xiàn)比硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)更佳的濾波效果，因此應(yīng)用將更加靈活。

3 信號濾波仿真分析

本文采用sym4小波，對信噪比為40 dB、幅值為10、頻率為50 Hz的單頻正弦信號進(jìn)行3層分解，采樣頻率為2 kHz。其中噪聲是方差為1的高斯白噪聲。分別利用硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和改進(jìn)型的閾值函數(shù)對各層高頻系數(shù)進(jìn)行閾值處理并進(jìn)行信號重構(gòu)。其中，α取0.1，閾值λ采用通用閾值[9]。

式中：σ為噪聲的均方差；N為信號長度。三種閾值函數(shù)的濾波結(jié)果如圖3所示。

圖3 三種閾值函數(shù)濾波結(jié)果Fig.3 Filtering results of three threshold functions

由圖3可知，三種閾值函數(shù)都有一定的濾波效果，但是三種閾值函數(shù)的濾波效果無法直觀地進(jìn)行對比，因此，定義如下參數(shù)：

其中：SNR為濾波后的信噪比，MSE為信號濾波后的均方誤差[10]；x(n)為原始信號；x(n)為濾波后的重構(gòu)信號。

為研究三種閾值函數(shù)在不同條件下的濾波效果，因此仿真時(shí)通過改變參數(shù)α以及信噪比以對比濾波效果，現(xiàn)將20 dB與10 dB時(shí)的濾波效果做如下對比，結(jié)果分別如表1、2所示。

表1 20 dB條件下濾波效果對比Table 1 MSE and SNR of three threshold functions (20 dB)

表2 10 dB條件下濾波效果對比Table 2 MSE and SNR of three threshold functions (10 dB)

由表1、2可知，改進(jìn)型的閾值函數(shù)無論是從MSE或者SNR都表現(xiàn)了良好的性能，在實(shí)際具體應(yīng)用時(shí)，改進(jìn)型的閾值函數(shù)可以靈活地通過改變參數(shù)α來改變?yōu)V波性能，而硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)一旦確定閾值，便無法進(jìn)行改變。

4 結(jié) 論

本文提出的改進(jìn)型閾值函數(shù)，改善了硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)的不足，通過對可變參數(shù)α進(jìn)行調(diào)節(jié)，改進(jìn)型閾值函數(shù)總能找到一個(gè)合適的α，使其在MSE和SNR方面優(yōu)于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。這對于需要同時(shí)考慮濾波效果以及波形失真度的應(yīng)用場合則顯得尤為有用。然而，由于改進(jìn)型閾值函數(shù)中的參數(shù)α需要通過實(shí)驗(yàn)去確定最佳值，因此對于不確知環(huán)境的應(yīng)用則尚有不足，需要進(jìn)一步深入研究。

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