何基龍

（浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，杭州310018）

具有分段有界變差系數(shù)的三角級(jí)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)

何基龍

（浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，杭州310018）

將Leindler定理的條件推廣到分段有界變差數(shù)列（PBVS）中。當(dāng)正弦級(jí)數(shù)的Fourier系數(shù)滿(mǎn)足分段有界變差條件時(shí)，結(jié)合最佳逼近的定義，運(yùn)用分段討論方法，在Lp2π范數(shù)下研究得到正弦級(jí)數(shù)的最佳逼近與Fourier系數(shù)之間的關(guān)系式，并對(duì)關(guān)系式進(jìn)行了證明。

三角級(jí)數(shù)；分段有界變差數(shù)列；Fourier系數(shù)；最佳逼近

0 引 言

在三角級(jí)數(shù)的一致收斂性與Fourier級(jí)數(shù)的L1收斂中，單調(diào)性條件的推廣得到了如下的結(jié)果，詳細(xì)定義可見(jiàn)文獻(xiàn)［1］：

上面結(jié)果最近被推廣到了NBVS中并且得到了與上面一樣的結(jié)果，但無(wú)論是RBVS還是NBVS都要求系數(shù)是非負(fù)的［2］。一些研究者也研究了系數(shù)不一定是非負(fù)時(shí)的收斂問(wèn)題，Telyakovskii［3］考慮了具有罕變系數(shù)的級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題。周頌平教授等最先使用有界變差的概念，得到了許多的結(jié)果，例如在三角級(jí)數(shù)的一致收斂與可積性方面的研究［4］。

下面給出分段有界變差數(shù)列的定義（piecewise bounded variation sequence），簡(jiǎn)記PBVS。

定義［4］設(shè)｛nk｝是一個(gè)滿(mǎn)足Hadamard條件以及n1=1的缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，即存在一個(gè)正常數(shù)δ，使得

一個(gè)數(shù)列λ=｛λn｝被稱(chēng)為分段有界變差數(shù)列（PBVS），以記號(hào)λ∈PBVS表示，如果它滿(mǎn)足n0=0并且對(duì)于nm-1＜n≤nm，m=1，2，…滿(mǎn)足下列條件（A）或（B）之一：

（A）存在一個(gè)僅依賴(lài)于λ的正常數(shù)C（λ），使得

（B）存在一個(gè)僅依賴(lài)于λ的正常數(shù)C（λ），使得

顯然上面的定義就包括了在［nk-1+1，nk］上保號(hào)且其絕對(duì)值為非負(fù)遞增（遞減）的數(shù)列必定滿(mǎn)足（A）或條件（B）。

本文把Leindler定理中的條件推廣到PBVS中，得到了最佳逼近與Fourier系數(shù)之間的關(guān)系。文中C總表示一個(gè)正常數(shù)，不同場(chǎng)合可能不同。

1 結(jié)論與引理

引理1［1］若｛λn｝∈PBVS，則對(duì)所有j≥1，有

引理2［1］設(shè)｛λn｝∈PBVS，若對(duì)于某個(gè)固定非負(fù)整數(shù)s及ns+1≤n≤ns+1，λn滿(mǎn)足條件（A），則有

以及

特別

若對(duì)于某個(gè)固定非負(fù)整數(shù)s及ns+1≤n≤ns+1，λn滿(mǎn)足條件（B），則有

以及

特別

引理3［5］若p≥1，αn≥0，λn＞0，n=1，2…時(shí)，有：

2 結(jié)論的證明

定理1的證明：記Dn（x）=（x∈（0， π］），則，｛an｝屬于PBVS，由Abel變換和引理1、引理2知，設(shè)nj＜n+1≤nj+1時(shí)，得到

如果對(duì)于nj＜n+1≤nj+1，｛an｝滿(mǎn)足（A）或條件（B）時(shí)，都有

則

因?yàn)?/p>

得到

則

結(jié)合I1與I2得

則

結(jié)合上面結(jié)果分別求得

由Holder不等式知

因此

再由PBVS的定義，且對(duì)某個(gè)μ≥0，有nμ＜m≤nμ+1，m≥n+1于是

由前面知

代入J2得

其中在文獻(xiàn)［6］中已經(jīng)證明了

同樣地由引理3與J1中后半部分的證明得到

結(jié)合J1與J2得到結(jié)論

得證。

［1］周頌平.三角級(jí)數(shù)研究中的單調(diào)性條件：發(fā)展與應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2012.

［2］周頌平，樂(lè)瑞君.單調(diào)性條件在Fourier級(jí)數(shù)收斂性中的最終推廣：歷史，發(fā)展，應(yīng)用和猜想［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2011，40：129-155.

［3］Hardy，Littlewood.Elementary theorems concerning power series with positive coefficients and moment constants of positive function［J］.J Fur Math，1927，157：141-158.

［4］周頌平，虞旦盛，周 平.有分段有界變差系數(shù)的三角級(jí)數(shù)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，51：633-646.

［5］梅 穎，韋寶榮.關(guān)于Leindler的兩個(gè)定理的推廣［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2009，36：620-626.

［6］Leindler.Best approximation and Fourier coefficients［J］.Anal Math，2005，31：117-129.

A Property of Trigonometric Series with Piecewise Bounded Variation Coefficients

HE Ji-long
（Institute of Mathematics，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

When Fourier coefficient of sine series meets bounded variation condition，this paper generalizes the conditions in Leindler theorem to piecewise bounded variation sequence（PBVS），obtains the relational expression of optimal approximation and coefficient of sine series through research under Lp2πnorm with piecewise discussion method in combination with the definition of optimal approximation，and proves the formula.

trigonometric series，PBVS（piecewise bounded variation sequence），F(xiàn)ourier coefficient，best approximation

O174.2

A

（責(zé)任編輯：馬春曉）

1673-3851（2014）01-0094-04

2012-06-01

何基龍（1989-），男，安徽馬鞍山人，碩士研究生，主要從事構(gòu)造性分析與逼近論的研究。