高金龍，蔣義偉，韓曙光，張 婷

（浙江理工大學(xué)，a.理學(xué)院；b.服裝學(xué)院，杭州310018）

帶提前期的供應(yīng)鏈訂貨與運輸最優(yōu)決策問題

高金龍a，蔣義偉a，韓曙光a，張 婷b

（浙江理工大學(xué)，a.理學(xué)院；b.服裝學(xué)院，杭州310018）

為研究供應(yīng)鏈的訂貨與運輸?shù)淖顑?yōu)決策問題，分別討論供應(yīng)商與零售商之間合作與非合作兩種情形下的最優(yōu)決策。假定交貨提前期與運輸工具有關(guān)，其滿足均勻分布，且在提前期內(nèi)允許缺貨，所造成的缺貨損失由零售商承擔(dān)。目標(biāo)是最小化供應(yīng)鏈的費用，根據(jù)具體的費用函數(shù)建立供應(yīng)商、零售商模型，并提出分析方法來決定最優(yōu)的決策變量值。經(jīng)過計算得出了非合作與合作兩種情形下的最優(yōu)決策值，并通過算例對最優(yōu)決策進行驗證分析，表明合作情形下的總費用比非合作情形下的總費用少，供需雙方更要加強合作。

供應(yīng)鏈；提前期；訂貨；運輸；最優(yōu)決策

0 引 言

如今消費者越來越注重企業(yè)的服務(wù)水平，企業(yè)在確保產(chǎn)品質(zhì)量的前提下，如何保持消費者對企業(yè)的信賴，是當(dāng)今企業(yè)所關(guān)注的問題。合理的服務(wù)水平能有效平衡消費者對于企業(yè)的滿意程度以及企業(yè)的成本，適當(dāng)?shù)奶崆捌诓粌H能有效降低安全庫存量，減少缺貨風(fēng)險，而且能提高客戶服務(wù)水平［1］。此外，產(chǎn)品的供給是否及時，貨源是否充足將很大程度上影響企業(yè)競爭力，因此企業(yè)需要合理優(yōu)化訂貨、運輸?shù)拳h(huán)節(jié)。

Goyal［2］首先引進了兩階段的單一供應(yīng)商與單一零售商的聯(lián)合模型。Banerjee［3］提出了Lot-forlot決策，該模型是對文獻［2］中提出的模型進行了一般化的處理，即假設(shè)生產(chǎn)商批量生產(chǎn)的產(chǎn)品一次性全部運給零售商的特殊情形。Goyal［4］提出E-qual-sized shipments決策，供應(yīng)商將產(chǎn)品分批進行運輸，每批次的產(chǎn)品都是等量的，并通過建立模型確定了最優(yōu)運輸量。Goyal［5］根據(jù)運輸量增長率λ是按照生產(chǎn)率P與需求率D的比值提出了新的運輸模型，即Geometric-shipments決策。Hill［6］在文獻［5］的基礎(chǔ)上提出了先幾何運輸后等量運輸?shù)哪Ｐ?，即Geometric-then-equal-shipments決策。Ben-Daya等［7］對于JELP（joint economic lot sizing problem）作了比較詳細(xì)的概括，并對這類問題作了一些拓展和延伸。

Sajadieh等［8］提出了需求與庫存有關(guān)的模型，給定了零售商的庫存微分方程，建立相關(guān)的模型，確定了最優(yōu)的訂貨次數(shù)和最優(yōu)訂貨量。Sajadieh等［9］分析了價格與需求有關(guān)的運輸、訂貨、定價決策，并通過算例驗證了聯(lián)合模型下的供應(yīng)鏈效益優(yōu)于非聯(lián)合模型下的效益。Qin等［10］分析了價格敏感需求下的帶有價格折扣的決策問題。李洋等［11］研究市場需求不確定條件下零售商主導(dǎo)的兩級供應(yīng)鏈博弈均衡問題，并分析了供需雙方合作與非合作模式下的決策問題。李根道等［12］研究了關(guān)于易逝產(chǎn)品的價格決策問題，其中產(chǎn)品的需求與庫存、價格有關(guān)。

隨著科學(xué)技術(shù)的突飛猛進，國內(nèi)高鐵等現(xiàn)代交通運輸也得到很快的發(fā)展，可運輸成本仍是制約企業(yè)利潤增長的一個重要因素，因此如何選擇合適的運輸方式優(yōu)化成本顯得尤為重要。選擇運輸時間短的快捷運輸工具，縮短了提前期，提高了服務(wù)水平，但成本也隨之提高；而選擇運輸時間長的傳統(tǒng)運輸工具，運輸成本降低了，但可能出現(xiàn)缺貨情形，不能及時滿足客戶服務(wù)需求。Sajadieh等［13］提出了含有提前期約束的供需模型，給出了零售商庫存在部分缺貨和完全缺貨情況下的情形，分別求出了供需雙方合作和非合作兩種模式下的效益函數(shù)。Quyang等［14］根據(jù)模型結(jié)果得出較短的提前期能降低安全庫量、減少庫存費用、提高顧客服務(wù)水平、增強商業(yè)競爭力。Ben-Daya等［15］建立模型分析了在提前期約束下，得出了最優(yōu)的訂貨模型，確?？偟挠嗀洺杀尽齑娉杀疽约疤崆捌趦?nèi)的部分成本最少。因此，如何合理地選擇運輸工具，降低運輸成本有助于實現(xiàn)供需雙方的費用最小化。

本文在原有文獻的基礎(chǔ)上，考慮了提前期的均勻分布函數(shù)。在產(chǎn)品的運輸費用部分，由之前的固定運費成本，轉(zhuǎn)變成運費是不固定的，且關(guān)于訂貨量是線性的，這更加的具有實際意義。

1 問題描述和模型假設(shè)

1.1 問題描述

假定供應(yīng)鏈系統(tǒng)由單一供應(yīng)商和單一零售商構(gòu)成，銷售單一產(chǎn)品。產(chǎn)品總需求一定，且每批次從供應(yīng)商到零售商的產(chǎn)品都是等量運送。零售商按照（Q，r）策略訂貨，即采取定量訂貨，當(dāng)其庫存量達(dá)到安全庫存點r時，零售商將向供應(yīng)商訂貨，每次訂貨量為Q，且運輸工具可以自由選擇，對應(yīng)地每種運輸方式的費用函數(shù)是關(guān)于運輸量Q的線性函數(shù)。供應(yīng)商根據(jù)零售商的總需求進行生產(chǎn)，其生產(chǎn)率為P，總生產(chǎn)量為Q的整數(shù)倍。整個供應(yīng)鏈系統(tǒng)中包含的費用有供應(yīng)商產(chǎn)品生產(chǎn)前的準(zhǔn)備費用，零售商的訂貨費用、缺貨損失費用、提前期內(nèi)的準(zhǔn)備費用和運輸費用，以及供需雙方的庫存費用。本文目標(biāo)是選擇合適的運輸方式?jīng)Q定運輸?shù)拇螖?shù)n、訂貨點r以及訂貨量Q，以實現(xiàn)供應(yīng)鏈的費用最小化。

文中用到的符號如下：

D 零售商的需求率；

P 供應(yīng)商的生產(chǎn)率；

Q 零售商的單次訂貨量；

r 零售商的再訂貨點；

Ab零售商的訂貨費；

hv供應(yīng)商單位時間單位產(chǎn)品的庫存費；

hb零售商單位時間單位產(chǎn)品的庫存費；

π 零售商單位時間單位產(chǎn)品的缺貨損失費；

n 零售商從供應(yīng)商運輸產(chǎn)品的總次數(shù)；

T 循環(huán)時間（零售商訂貨時間間隔）；

L 提前期（零售商補充產(chǎn)品所需的時間）；

TCb（r，Q） 零售商單位時間的總費用；

tcb（r，Q，L） 零售商在一個循環(huán)期內(nèi)關(guān)于L的庫存費和缺貨損失費；

tcb（r，Q） 零售商在一個循環(huán)期內(nèi)關(guān)于給定的r，Q的庫存費和缺貨損失費；

AIv供應(yīng)商的平均庫存量；

TCv（n） 供應(yīng)商的平均費用；

TCS（r，Q，n） 非合作下供需雙方的平均費用；

TCJ（r，Q，n） 合作下供需雙方的平均費用。

1.2 模型假設(shè)

（1）供應(yīng)商的產(chǎn)品生產(chǎn)率為P；

（2）產(chǎn)品的需求率D一定，且P＞D；

（3）零售商當(dāng)其庫存達(dá)到安全庫存點r時，向供應(yīng)商訂貨，每批次訂量為Q；

（4）供應(yīng)商一次性生產(chǎn)nQ的產(chǎn)品，分n次運送給零售商；

（5）允許缺貨且缺貨損失由零售商承擔(dān)；

（6）提前期內(nèi)產(chǎn)品從供應(yīng)商運送到零售商的時間滿足均勻分布，其概率密度函數(shù)記作L～U［a，b］，其中a，b表示提前期的區(qū)間端點；

（7）提前期內(nèi)零售商的準(zhǔn)備成本為S，運輸費用FCi（Q）=ai+biQ，ai≥0，bi≥0是關(guān)于Q的線性函數(shù)，ai表示對應(yīng)的運輸方式的固定費用，bi表示對應(yīng)的單位產(chǎn)品運輸費用，其中i=1，2，…，m，有m種運輸工具可供選擇；

2 模型建立與求解

考慮供應(yīng)鏈成員間非合作與合作兩種情形，首先建立非合作時的供應(yīng)商與零售商的最小費用模型，分別得到最優(yōu)決策。然后再對供需雙方合作情形進行分析，得出供應(yīng)鏈整體費用模型及最優(yōu)策略，使得總費用最小。

2.1 供需雙方非合作最優(yōu)模型

2.1.1 零售商決策模型

當(dāng)供需雙方非合作時，零售商處于主導(dǎo)地位，根據(jù)市場需求確定訂貨量向供應(yīng)商下訂單。圖1給出了零售商在一個循環(huán)期內(nèi)根據(jù)不同的交貨時間而產(chǎn)生的可能情況。產(chǎn)品的需求率為D，而在零售商補貨的時間L內(nèi)，產(chǎn)品的到貨時間與選擇的運輸工具有關(guān)，所以零售商的庫存量關(guān)于時間的函數(shù)就有三種可能：情形1說明零售商的庫存量在消耗完之前，產(chǎn)品就及時地補充到倉庫，這種情形下不存在缺貨（L≤r/D）；情形2說明產(chǎn)品部分缺貨，產(chǎn)生缺貨損失，且在時間點Q/D之前補充到倉庫；情形3說明提前期超過Q/D，下次的產(chǎn)品補充到倉庫達(dá)不到安全庫存點r。

圖1 零售商的庫存隨時間的變化

零售商在一個循環(huán)期內(nèi)關(guān)于提前期L的庫存費用tcb（r，Q，L）表示如下：零售商在一個循環(huán)期內(nèi)對于給定的r和Q的庫存費用，tcb（r，Q）表示如下：

零售商的總費用=訂貨費+庫存費+缺貨損失費+提前期內(nèi)的準(zhǔn)備費+運輸費，即

對于給定的運輸量Q，令

根據(jù)（3）得出零售商的最優(yōu)安全庫存為：

由（6）可知TCb（r，Q）是關(guān)于Q的嚴(yán)格凸函數(shù)。令=0，得出

2.1.2 供應(yīng)商決策模型

零售商確定訂貨量Q后，供應(yīng)商按照額定的生產(chǎn)率P進行生產(chǎn)，并確定運輸次數(shù)n。

圖2 供應(yīng)商的庫存隨時間的變化

由圖2可以得出其平均庫存量為：供應(yīng)商的總費用=供應(yīng)商的準(zhǔn)備費用+庫存費用，用TCv（n）表示，即

在非合作模型下，供需雙方分別根據(jù)最小化各自的費用來制定訂貨決策，即零售商在占據(jù)主導(dǎo)地位時確定其最優(yōu)的決策變量（Q，r）；同樣的供應(yīng)商按照其生產(chǎn)能力來確定最優(yōu)的運輸次數(shù)n，故非合作模型下供需雙方的單位時間總費用為。

2.2 供需雙方合作最優(yōu)模型

2.2.1 供應(yīng)商與零售商整體決策模型

假設(shè)供應(yīng)商與零售商雙方互相合作，遵循供應(yīng)鏈整體利益最優(yōu)的原則。此時，供需雙方整體平均費用TCJ（r，Q，n）滿足：

可以簡單證明對于給定的n，

TCJ（r，Q，n）關(guān)于r，Q是嚴(yán)格的凸函數(shù)。在供需雙方以供應(yīng)鏈整體利益最優(yōu)為前提下，確定最優(yōu)的訂貨量和安全庫存點，即

由于運輸次數(shù)n為正整數(shù)，所以必存在n*J，使得

2.2.2 算法步驟

2）根據(jù)給定的n，可由（12），（13）式解出最優(yōu)值r，Q使得TCJ（r，Q，n）最小；

3）若Q，n滿足（10）式，則繼續(xù)步驟4），否則步驟6）；

4）若TCJ（r，Q，n）＜，則令i=1，=r，=Q，=n，=TCJ（r，Q，n）；

5）n=n+1，繼續(xù)步驟2）；

6）若i=0，則繼續(xù)步驟4）；否則，當(dāng)前為最優(yōu)值。

3 數(shù)值算例

為了對模型進行驗證分析，本文基于具體的參數(shù)值并利用上文中的模型進行計算得到一些有價值的結(jié)果。

假定有關(guān)參數(shù)的取值為：生產(chǎn)率P=5 000件，需求D=1 000件，供應(yīng)商準(zhǔn)備成本Av=2 000元，單位庫存成本hv=20元；零售商每批次的訂貨成本Ab=125元，單位庫存成本hb=25元，最長缺貨時間不超過，即k=1，單位缺貨損失費用π=45元。提前期內(nèi)零售商準(zhǔn)備成本為S=200元，運輸費參數(shù)滿足ai∈［30，50，70，90，110］，bi∈［4，5，6，7，8］，其中i取值為1，2，…，5。用PS表示雙方合作下相比較于非合作下所節(jié)省的費用的百分，即

雙方合作情況下零售商與供應(yīng)商的費用可以分別用TCbJ，TCvJ表示：

模型計算結(jié)果如表1，表2：

表1 雙方非合作最優(yōu)決策值

表1雙方非合作情形下，零售商在供應(yīng)鏈中占據(jù)主導(dǎo)地位，確定訂貨量Q，供應(yīng)商根據(jù)確定的Q決定零售商運輸?shù)拇螖?shù)n；一般情況下，運輸費用越高，運輸就越快捷。從表1中可以看出，隨著ai，bi的增加，零售商總費用呈遞增的關(guān)系，供應(yīng)商總費用卻呈現(xiàn)遞減的趨勢。

表2 雙方合作最優(yōu)決策值

表2雙方合作情形下，以供應(yīng)鏈整體最優(yōu)為前提下，整個供應(yīng)鏈的費用相比較與非合作情形下有所減少，且雙方各自的費用也相對減少。在一定程度上，選擇快捷的運輸工具，可以降低運輸次數(shù)，對于零售商來說更加方便。此外當(dāng)運費占整個供應(yīng)鏈總費用的比例越來越大時，雙方合作下相比較于非合作下所節(jié)省的費用的百分比將越來越大。

給定不同的合理的參數(shù)進行分析，對于文章的結(jié)論沒有影響，因為根據(jù)求出的最優(yōu)決策值就能判定合作與非合作兩種情形下的相關(guān)結(jié)果，而給出的算例只是通過相關(guān)數(shù)據(jù)更加形象地來反映這一結(jié)論。

4 結(jié) 論

當(dāng)前國內(nèi)運輸費用居高不下，如何合理的選擇運輸方式，是當(dāng)前供應(yīng)鏈里的重要的問題。本文考慮了供需雙方在合作與非合作兩種情形下的訂貨模型，結(jié)合運輸問題，得出了最優(yōu)決策值。文中具體考慮了運輸費用的情況，并在數(shù)值分析中重點考慮了幾組數(shù)據(jù)，通過運輸費用的變化來分析最優(yōu)決策的變化，可以看出運輸費用在零售商的整體費用中占據(jù)的比例比較高。

雙方非合作情形下，零售商占據(jù)主導(dǎo)地位，其根據(jù)市場需求確定最優(yōu)訂貨量，在交貨提前期內(nèi)，由于不同的運輸方式，其運輸時間不同。假如零售商對于客戶水平有很高的要求，其更傾向于快捷的運輸方式；相反，如果要求不高，則可以選擇相對傳統(tǒng)的運輸方式。雙方合作情形下，主要以供應(yīng)鏈整體最優(yōu)為前提，相比較于非合作情形下，雙方合作情形對于雙方來說，利大于弊。分析表明：越方便快捷的運輸方式，零售商總費用越高，供應(yīng)商總費用卻越來越少，這勢必會造成零售商的不滿，因此如何權(quán)衡雙方在整個供應(yīng)鏈中的利益，是我們不得不考慮的問題。

此外，可以繼續(xù)研究的相關(guān)問題有：運輸費用供需雙方共同承擔(dān)，具體承擔(dān)比例雙方可以進行博弈；帶服務(wù)水平約束的訂貨模型，通過服務(wù)水平的限制，再結(jié)合運輸方式的選擇，是接下來重點研究的問題。

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Problem of Optimal Decision of Ordering and Shipment in Supply Chain with Lead Time

GAO Jin-longa，JIANGYi-weia，HAN Shu-guanga，ZHANG Tingb
（a.School of Sciences，b.School of Fashion Design and Engineering，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

To study the problem of optimal decision of ordering and shipment in supply chain，this paper respectively discusses the optimal decision under two situations-cooperation and non-cooperation between supplier and retailer.Assume that delivery lead time is related to the means of transport，it meets uniform distribution and stockout is allowed within the lead time，stockout losses caused are undertaken by retailer.The objective is to minimize expenses of supply chain.This paper establishes supplier and retail model according to specific cost function，puts forward an analysis method to determine the optimal decision variable value，obtains the optimal decision value under cooperation and non-cooperation situations through calculation and conducts verification analysis on optimal decision through examples.It shows that total expenses under cooperation situation are lower than total expenses under non-cooperation situation and supplier and demander should enhance cooperation.

supply chain；lead time；ordering；shipment；optimal decision

O022

A

（責(zé)任編輯：許惠兒）

1673-3851（2014）01-0088-06

2013-05-21

國家自然科學(xué)基金（11071220，11201428，11001242）；浙江省自然科學(xué)基金（Y6110091）

高金龍（1988-），男，江蘇南通人，碩士研究生，主要從事運籌與優(yōu)化的研究。