王軍杰
(紹興市上虞區(qū)豐惠中學(xué) 浙江紹興 312361)
金彪
競(jìng)賽與物理專題研修
格林互易定理在求解靜電學(xué)奧賽題中的應(yīng)用
王軍杰
(紹興市上虞區(qū)豐惠中學(xué) 浙江紹興 312361)
金彪
介紹了格林互易定理,并應(yīng)用該定理求解了幾道物理競(jìng)賽試題,充分展示了用格林互易定理解題的簡(jiǎn)捷性.
格林互易定理 電荷量 電勢(shì)
在靜電場(chǎng)中,有一組固定的n個(gè)導(dǎo)體組成的系統(tǒng),n個(gè)導(dǎo)體上的電荷分別為q1,q2,…,qn,它們的電勢(shì)分別為U1,U2,…,Un,若這n個(gè)導(dǎo)體的電荷變?yōu)閝,…,電勢(shì)變?yōu)?,…,則必有
上述結(jié)論叫做格林互易定理,其嚴(yán)格證明超出了中學(xué)物理的范圍,但在求解有關(guān)靜電感應(yīng)的一些中學(xué)物理競(jìng)賽問題時(shí),若應(yīng)用格林互易定理的方法,則可以起到事半功倍的效果,下面來解答幾個(gè)往年競(jìng)賽真題.
圖1
【例1】(第13屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第5題)在靜電復(fù)印機(jī)里,常用如圖1所示的電路來調(diào)節(jié)A,C兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小,從而用來控制復(fù)印件的顏色深淺.在操作時(shí),首先對(duì)由金屬平板A,B組成的平行板電容器充電.該電容器的B板接地,A與B板間填充有介電常數(shù)為ε的電介質(zhì),充電后兩板間的電勢(shì)差為U.而后,斷開該充電電源,將連接金屬平板C和可調(diào)電源E的開關(guān)S閉合.這樣,A與C兩板間的電場(chǎng)強(qiáng)度將隨可調(diào)電源E的電動(dòng)勢(shì)變化而得以調(diào)節(jié).已知C板與A板很近,相互平行,且各板面積相等.A與B板間距離為d1,A與C板間距離為d2,A與C板間空氣的介電常數(shù)取為1.試求:當(dāng)電源E的電動(dòng)勢(shì)為U0時(shí),A與C兩板間某點(diǎn)P處的電場(chǎng)強(qiáng)度.
解析:先求出上下兩電容器的電容.
A,C兩板間的電容為
A,B兩板間的電容為
將變化前的電勢(shì)與變化后的電量相乘,變化前的電量與變化后的電勢(shì)相乘,由格林互易定理可得
【例2】(第12屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽第3題)如圖2所示,正四面體ABCD各面均為導(dǎo)體,但又彼此絕緣.已知帶電后4個(gè)面的靜電勢(shì)分別為φ1,φ2,φ3和φ4,求四面體中心O點(diǎn)的電勢(shì)φ0.
圖2
解析:由題意,設(shè)4個(gè)面與中心O的電荷量分別為q1,q2,q3,q4,0,同時(shí),4個(gè)面與中心的電勢(shì)分別為φ1,φ2,φ3,φ4,φ0.
【例3】(第14屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽第7題)有100塊平行放置的正方形大導(dǎo)體板,每塊邊長(zhǎng)均為L(zhǎng),相鄰兩板彼此相對(duì)的兩個(gè)表面的間距均為d,d?L,將這些導(dǎo)體板從左至右順次編號(hào)為1,2,…,100.開始每板上都帶有凈電荷,已知第1塊板上的凈電量為q1(設(shè)q1>0),第n塊板上的凈電量為qn=nq1,今將第1塊和第100塊導(dǎo)體板接地,如圖3所示.忽略邊緣效應(yīng).問:
(1)從第1塊和第100塊導(dǎo)體板上流入大地的電量Δq1和Δq100各為q1的多少倍?
(2)上述兩板接地后哪塊板上的電勢(shì)最高?其電勢(shì)是多少?
圖3
解析:當(dāng)?shù)?塊和第100塊導(dǎo)體板接地后,這兩塊板電量發(fā)生改變,所有極板的電勢(shì)也發(fā)生了改變,則可設(shè)第1~100塊極板的總電量和電勢(shì)分別為(Q1,2q1,3q1,4q1,…,99q1,Q100)及(0,U2,U3,U4,…,U99,0).
現(xiàn)改變各導(dǎo)體板電量.
將變化后的電勢(shì)與電量和題給條件的電勢(shì)與電量結(jié)合,由格林互易定理可得
(浙江省春暉中學(xué) 浙江紹興 312353)
2014- 04- 03)