蔡勇全

下面這道題是一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的客觀(guān)性壓軸題.從評(píng)卷結(jié)果和命題組在考試結(jié)束后所做的問(wèn)卷調(diào)查情況來(lái)看，同學(xué)們選出正確答案的比例和思維的正確率都不高，反映出同學(xué)們的基本技能、技巧和多種數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用能力不容樂(lè)觀(guān).本文以這道題為例，多視角探究問(wèn)題的解決方法，供同學(xué)們參考.

例題 若實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，實(shí)數(shù)x2滿(mǎn)足方程2log2（x-1）+2x=5，則x1+x2 =

A. B.3 C. D.4

視角一 構(gòu)造單調(diào)函數(shù)

解 由題意可知，實(shí)數(shù)x2滿(mǎn)足方程2log2（x-1）+2x=5，則2log2（x2-1）+2x2=5，即x2=2 +1.于是可得2 +（ - x2）= .①

又實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，則2 +2x1=5.于是可得2 +（x1-1）= .②

構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x+x，易知f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù).由①②兩式可得f（ - x2）= f（x1-1），所以 - x2 =x1-1，即x1+x2 = .選C.

小結(jié) 從構(gòu)造單調(diào)函數(shù)的視角來(lái)求解本題，用到單調(diào)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù) f（x）嚴(yán)格單調(diào)，且f（a）= f（b），則a =b.

視角二 估計(jì)零點(diǎn)范圍

解 由題意可知，2 +2x1-5=0，2log2（x2-1）+2x2-5=0.令f（x）=2x+2x-5，g（x）=2log2（x-1）+2x-5（x>1），則有f（x1）=0，g（x2）=0.

因?yàn)?f ′（x）=2xln 2+2>0， g ′（x）= +2>0，所以函數(shù)f（x）與g（x）均在各自的定義域內(nèi)單調(diào)遞增，兩個(gè)函數(shù)都有唯一的零點(diǎn).

因?yàn)?f（1）=-1<0， f（1.5）=2 -2>0，所以10，所以2< x2 <2.5.于是可得3

小結(jié) 對(duì)函數(shù)零點(diǎn)所在的范圍進(jìn)行估計(jì)，操作性強(qiáng)，易于接受.估計(jì)也是一種能力，在解選擇題時(shí)，同學(xué)們應(yīng)進(jìn)行有根據(jù)的估計(jì).

視角三 變換同解方程

解 由題意可知，2 +2x1=5，2log2（x2-1）+2x2=5，即2 =5-2x1，2log2（x2-1）=5-2x2.

令t=x1+x2，則x2 =t-x1，將其代入2log2（x2-1）=5-2x2，可得2 =t-x1-1，即2 =2t-2x1-2.

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t= 時(shí)，由2 =2t-2x1-2可得2 =5-2x1.所以x1+x2 = .選C.

小結(jié) 從變換同解方程的視角來(lái)解此題，一定要找到聯(lián)系兩個(gè)方程的“契合點(diǎn)”.

視角四 構(gòu)造形似等式

解 由題意可知2log2（x2-1）+2x2=5，可變形為2 =x2-1.①

又實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，所以2 +2x1=5，即2 =5-2x1.②

①②兩式從結(jié)構(gòu)上看仍有差異，為此需要再變形.②式兩邊同除以2，可得2 =（ -x1）-1.③

對(duì)比①③兩式，可得 -x2=x1-1且x2= -x1，因此x1+x2= .選C.

小結(jié) 從對(duì)比等式的視角來(lái)解此題，同學(xué)們一定要具備必要的等式變形的技巧.

視角五 探索直接對(duì)稱(chēng)

解 由2x+2x=5變形可得2x-1= -x.由2log2（x-1）+2x=5變形可得log2（x-1）= -x.引入函數(shù)y=2x-1，y=log2（x-1），y= -x，則x1是函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，x2是函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y=log2（x-1）的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x-1對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)y= -x與直線(xiàn)y=x-1的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）.

設(shè)函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2）.結(jié)合圖像易知，兩交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱(chēng)，所以x1+x2= ×2= .選C.

小結(jié) 從探索直接對(duì)稱(chēng)的視角來(lái)解本題，同學(xué)們不僅要會(huì)畫(huà)圖，而且要善于分析圖形間的關(guān)系.

視角六 運(yùn)用換元對(duì)稱(chēng)

解 令x-1= t，則題設(shè)的兩個(gè)方程變形整理得2t = -t，log2 t= -t.設(shè)這兩個(gè)方程的根分別為t1，t2.因?yàn)楹瘮?shù)y=2t與函數(shù)y=log2 t的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=t對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y= -t的圖像垂直于直線(xiàn)y=t，所以函數(shù)y=2t和函數(shù)y=log2 t的圖像與函數(shù)y= -t的圖像的交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=t對(duì)稱(chēng)，從而連接這兩個(gè)交點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)y=t上.

又直線(xiàn)y= -t與直線(xiàn)y=t的交點(diǎn)為（ ， ），所以t1+t2= ×2= .于是可得x1+x2=（t1+1）+（t2+1）= .選C.

小結(jié) 視角六對(duì)視角五作了進(jìn)一步的改進(jìn)，使用了換元法，從而使解題過(guò)程更加明了.

（責(zé)任編校？筑馮琪）

下面這道題是一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的客觀(guān)性壓軸題.從評(píng)卷結(jié)果和命題組在考試結(jié)束后所做的問(wèn)卷調(diào)查情況來(lái)看，同學(xué)們選出正確答案的比例和思維的正確率都不高，反映出同學(xué)們的基本技能、技巧和多種數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用能力不容樂(lè)觀(guān).本文以這道題為例，多視角探究問(wèn)題的解決方法，供同學(xué)們參考.

例題 若實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，實(shí)數(shù)x2滿(mǎn)足方程2log2（x-1）+2x=5，則x1+x2 =

A. B.3 C. D.4

視角一 構(gòu)造單調(diào)函數(shù)

解 由題意可知，實(shí)數(shù)x2滿(mǎn)足方程2log2（x-1）+2x=5，則2log2（x2-1）+2x2=5，即x2=2 +1.于是可得2 +（ - x2）= .①

又實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，則2 +2x1=5.于是可得2 +（x1-1）= .②

構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x+x，易知f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù).由①②兩式可得f（ - x2）= f（x1-1），所以 - x2 =x1-1，即x1+x2 = .選C.

小結(jié) 從構(gòu)造單調(diào)函數(shù)的視角來(lái)求解本題，用到單調(diào)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù) f（x）嚴(yán)格單調(diào)，且f（a）= f（b），則a =b.

視角二 估計(jì)零點(diǎn)范圍

解 由題意可知，2 +2x1-5=0，2log2（x2-1）+2x2-5=0.令f（x）=2x+2x-5，g（x）=2log2（x-1）+2x-5（x>1），則有f（x1）=0，g（x2）=0.

因?yàn)?f ′（x）=2xln 2+2>0， g ′（x）= +2>0，所以函數(shù)f（x）與g（x）均在各自的定義域內(nèi)單調(diào)遞增，兩個(gè)函數(shù)都有唯一的零點(diǎn).

因?yàn)?f（1）=-1<0， f（1.5）=2 -2>0，所以10，所以2< x2 <2.5.于是可得3

小結(jié) 對(duì)函數(shù)零點(diǎn)所在的范圍進(jìn)行估計(jì)，操作性強(qiáng)，易于接受.估計(jì)也是一種能力，在解選擇題時(shí)，同學(xué)們應(yīng)進(jìn)行有根據(jù)的估計(jì).

視角三 變換同解方程

解 由題意可知，2 +2x1=5，2log2（x2-1）+2x2=5，即2 =5-2x1，2log2（x2-1）=5-2x2.

令t=x1+x2，則x2 =t-x1，將其代入2log2（x2-1）=5-2x2，可得2 =t-x1-1，即2 =2t-2x1-2.

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t= 時(shí)，由2 =2t-2x1-2可得2 =5-2x1.所以x1+x2 = .選C.

小結(jié) 從變換同解方程的視角來(lái)解此題，一定要找到聯(lián)系兩個(gè)方程的“契合點(diǎn)”.

視角四 構(gòu)造形似等式

解 由題意可知2log2（x2-1）+2x2=5，可變形為2 =x2-1.①

又實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，所以2 +2x1=5，即2 =5-2x1.②

①②兩式從結(jié)構(gòu)上看仍有差異，為此需要再變形.②式兩邊同除以2，可得2 =（ -x1）-1.③

對(duì)比①③兩式，可得 -x2=x1-1且x2= -x1，因此x1+x2= .選C.

小結(jié) 從對(duì)比等式的視角來(lái)解此題，同學(xué)們一定要具備必要的等式變形的技巧.

視角五 探索直接對(duì)稱(chēng)

解 由2x+2x=5變形可得2x-1= -x.由2log2（x-1）+2x=5變形可得log2（x-1）= -x.引入函數(shù)y=2x-1，y=log2（x-1），y= -x，則x1是函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，x2是函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y=log2（x-1）的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x-1對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)y= -x與直線(xiàn)y=x-1的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）.

設(shè)函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2）.結(jié)合圖像易知，兩交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱(chēng)，所以x1+x2= ×2= .選C.

小結(jié) 從探索直接對(duì)稱(chēng)的視角來(lái)解本題，同學(xué)們不僅要會(huì)畫(huà)圖，而且要善于分析圖形間的關(guān)系.

視角六 運(yùn)用換元對(duì)稱(chēng)

解 令x-1= t，則題設(shè)的兩個(gè)方程變形整理得2t = -t，log2 t= -t.設(shè)這兩個(gè)方程的根分別為t1，t2.因?yàn)楹瘮?shù)y=2t與函數(shù)y=log2 t的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=t對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y= -t的圖像垂直于直線(xiàn)y=t，所以函數(shù)y=2t和函數(shù)y=log2 t的圖像與函數(shù)y= -t的圖像的交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=t對(duì)稱(chēng)，從而連接這兩個(gè)交點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)y=t上.

又直線(xiàn)y= -t與直線(xiàn)y=t的交點(diǎn)為（ ， ），所以t1+t2= ×2= .于是可得x1+x2=（t1+1）+（t2+1）= .選C.

小結(jié) 視角六對(duì)視角五作了進(jìn)一步的改進(jìn)，使用了換元法，從而使解題過(guò)程更加明了.

（責(zé)任編校？筑馮琪）

下面這道題是一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的客觀(guān)性壓軸題.從評(píng)卷結(jié)果和命題組在考試結(jié)束后所做的問(wèn)卷調(diào)查情況來(lái)看，同學(xué)們選出正確答案的比例和思維的正確率都不高，反映出同學(xué)們的基本技能、技巧和多種數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用能力不容樂(lè)觀(guān).本文以這道題為例，多視角探究問(wèn)題的解決方法，供同學(xué)們參考.

例題 若實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，實(shí)數(shù)x2滿(mǎn)足方程2log2（x-1）+2x=5，則x1+x2 =

A. B.3 C. D.4

視角一 構(gòu)造單調(diào)函數(shù)

解 由題意可知，實(shí)數(shù)x2滿(mǎn)足方程2log2（x-1）+2x=5，則2log2（x2-1）+2x2=5，即x2=2 +1.于是可得2 +（ - x2）= .①

又實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，則2 +2x1=5.于是可得2 +（x1-1）= .②

構(gòu)造函數(shù)f（x）=2x+x，易知f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù).由①②兩式可得f（ - x2）= f（x1-1），所以 - x2 =x1-1，即x1+x2 = .選C.

小結(jié) 從構(gòu)造單調(diào)函數(shù)的視角來(lái)求解本題，用到單調(diào)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)：函數(shù) f（x）嚴(yán)格單調(diào)，且f（a）= f（b），則a =b.

視角二 估計(jì)零點(diǎn)范圍

解 由題意可知，2 +2x1-5=0，2log2（x2-1）+2x2-5=0.令f（x）=2x+2x-5，g（x）=2log2（x-1）+2x-5（x>1），則有f（x1）=0，g（x2）=0.

因?yàn)?f ′（x）=2xln 2+2>0， g ′（x）= +2>0，所以函數(shù)f（x）與g（x）均在各自的定義域內(nèi)單調(diào)遞增，兩個(gè)函數(shù)都有唯一的零點(diǎn).

因?yàn)?f（1）=-1<0， f（1.5）=2 -2>0，所以10，所以2< x2 <2.5.于是可得3

小結(jié) 對(duì)函數(shù)零點(diǎn)所在的范圍進(jìn)行估計(jì)，操作性強(qiáng)，易于接受.估計(jì)也是一種能力，在解選擇題時(shí)，同學(xué)們應(yīng)進(jìn)行有根據(jù)的估計(jì).

視角三 變換同解方程

解 由題意可知，2 +2x1=5，2log2（x2-1）+2x2=5，即2 =5-2x1，2log2（x2-1）=5-2x2.

令t=x1+x2，則x2 =t-x1，將其代入2log2（x2-1）=5-2x2，可得2 =t-x1-1，即2 =2t-2x1-2.

不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t= 時(shí)，由2 =2t-2x1-2可得2 =5-2x1.所以x1+x2 = .選C.

小結(jié) 從變換同解方程的視角來(lái)解此題，一定要找到聯(lián)系兩個(gè)方程的“契合點(diǎn)”.

視角四 構(gòu)造形似等式

解 由題意可知2log2（x2-1）+2x2=5，可變形為2 =x2-1.①

又實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足方程2x+2x=5，所以2 +2x1=5，即2 =5-2x1.②

①②兩式從結(jié)構(gòu)上看仍有差異，為此需要再變形.②式兩邊同除以2，可得2 =（ -x1）-1.③

對(duì)比①③兩式，可得 -x2=x1-1且x2= -x1，因此x1+x2= .選C.

小結(jié) 從對(duì)比等式的視角來(lái)解此題，同學(xué)們一定要具備必要的等式變形的技巧.

視角五 探索直接對(duì)稱(chēng)

解 由2x+2x=5變形可得2x-1= -x.由2log2（x-1）+2x=5變形可得log2（x-1）= -x.引入函數(shù)y=2x-1，y=log2（x-1），y= -x，則x1是函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，x2是函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y=log2（x-1）的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x-1對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)y= -x與直線(xiàn)y=x-1的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）.

設(shè)函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y= -x的圖像交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x2，y2）.結(jié)合圖像易知，兩交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（ ， ）對(duì)稱(chēng)，所以x1+x2= ×2= .選C.

小結(jié) 從探索直接對(duì)稱(chēng)的視角來(lái)解本題，同學(xué)們不僅要會(huì)畫(huà)圖，而且要善于分析圖形間的關(guān)系.

視角六 運(yùn)用換元對(duì)稱(chēng)

解 令x-1= t，則題設(shè)的兩個(gè)方程變形整理得2t = -t，log2 t= -t.設(shè)這兩個(gè)方程的根分別為t1，t2.因?yàn)楹瘮?shù)y=2t與函數(shù)y=log2 t的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=t對(duì)稱(chēng)，函數(shù)y= -t的圖像垂直于直線(xiàn)y=t，所以函數(shù)y=2t和函數(shù)y=log2 t的圖像與函數(shù)y= -t的圖像的交點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=t對(duì)稱(chēng)，從而連接這兩個(gè)交點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)y=t上.

又直線(xiàn)y= -t與直線(xiàn)y=t的交點(diǎn)為（ ， ），所以t1+t2= ×2= .于是可得x1+x2=（t1+1）+（t2+1）= .選C.

小結(jié) 視角六對(duì)視角五作了進(jìn)一步的改進(jìn)，使用了換元法，從而使解題過(guò)程更加明了.

（責(zé)任編校？筑馮琪）