陳相友 孫軍波

摘 要：本文以一道簡單的練習題為抓手，深入思考研究獲得一般性的結論，進而追溯至圓的性質，發(fā)現(xiàn)圓中的一系列“兩直線斜率乘積為定值”，類比發(fā)現(xiàn)橢圓中相關性質并研究. 透過有效的探究、反思、拓展，使得我們高屋建瓴，進一步領悟問題背景的本質所在及其解決策略.

關鍵詞：解析幾何；溯源；探究；反思；拓展；有效

高考試題不僅具有選拔功能，還具有很高的教學價值，在平時的教學中，如何使用高考試題是值得我們研究的問題. 本文以2011年江蘇卷第18題、2012年天津卷第19題、2013年山東卷第22題及2013年全國新課標試題為例設計了一堂地區(qū)高三復習課，對直線與圓錐曲線位置關系中一類斜率乘積為定值的問題進行解法的總結提煉，追溯問題的源頭，探求解法的本質，力求提升學生的能力.

忽視的問題

問題1：已知橢圓C：+y2=1，過橢圓上一點A（0，1）作直線l交橢圓于另一點B，點P為線段AB的中點，若直線AB、OP的斜率存在且不為零，則kAB×kOP的值為________.

分析：該題為某校模擬訓練中的一個問題，學生很快會用特殊值的思想給出答案-，如果嚴格推理，可能會考慮設l：y=kx+1，通過聯(lián)立方程來解決，不過仔細想一想，再回憶一下中點弦問題，自然也提出點差法：+y=1，+y=1 ？圯+y-y=0？圯kABkOP=-.

“點A在橢圓上”是一個易被人所忽視的一個條件，不過通過計算不難發(fā)現(xiàn)點A的坐標并不需要具體給出，只需要滿足點A在橢圓上，兩直線的斜率如果存在，則斜率乘積肯定為定值-，進一步推廣到橢圓C：+=1（a>b>0），這個定值就是-. 這是一個比較特別的結論. 在（2013年新課標Ⅱ卷20題）中平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：+=1（a>b>0）右焦點的直線x+y-=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為，求M的方程，就是利用該性質編制的一個題目.

大膽的猜測

對于橢圓的這一性質大家并不太熟悉，不妨再從最特殊的橢圓入手看看，不難發(fā)現(xiàn)相應的在圓中就是垂徑定理. 順著這一思路走下去，頗為自然地去思考圓中還有哪些斜率乘積為定值，相應的橢圓中會不會還有類似的斜率乘積為定值呢？

圖2

學生提出多種猜想，通過幾何畫板的研究，初步會得到這樣兩個猜想：

（1）圓上任意一點P，過P的切線與OP的斜率乘積為-1，

類比：對于橢圓上任一點P，過點P的切線和OP的斜率乘積是否為定值？

圖3

（2）？搖過原點的直線AB交圓于A，B兩點，圓上任意一點P，PA與PB的斜率乘積為-1，

類比：過原點的直線AB交橢圓于A，B兩點，橢圓上任一點P，PA與PB的斜率乘積是否為定值？

圖4

嚴格的論證

問題2：已知橢圓C：+=1（a>b>0），點P為橢圓上除頂點外任意一點，過點P的直線l與橢圓相切，若直線l的斜率為k且不為零，則k×kOP是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

圖5

解：設P（x0，y0），l：y-y0=k（x-x0）代入C：+=1（a>b>0）得到

+x2++-1=0. 根據(jù)Δ=0可得

-4+·-1=0？圯（a2-x）k2+2x0y0k+（b2-y）=0；

再抓住P（x0，y0）在橢圓上+=1？圯k2+2x0y0k+=0

？圯k+=0？圯k=-得證.

當然如果學生了解橢圓的切線方程是+=1那將可以更快得到結論.其實這一問題就出現(xiàn)在2013年山東卷的最后一題.

（2013年山東卷）橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓截得線段長為1.

（1）求橢圓C的方程；（C：+y2=1求解略）

（2）P為橢圓C上除長軸端點外任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1，PF2的斜率為k1，k2，若k≠0，試證明+為定值，并求出這個定值.

易得，設P（x0，y0），由+=+=可得+=，利用（問題2）的知識就可解決.

深層的探索

進一步探索另一個結論是否成立：

問題3：已知橢圓C：+=1（a>b>0），過原點的直線l與橢圓交于A，B點，P為橢圓上任意一點，若直線PA，PB的斜率存在且不為零，則kPA×kPB是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

圖7

分析：設P（x0，y0），A（x1，y1），B（-x1，-y1），則kPA×kPB=×=.

抓住點P，A兩點在橢圓上，利用點差法即可得到kPA×kPB==-.

這一性質就應用在（2012年天津卷19）：設橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點. 若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率.

不難發(fā)現(xiàn)這即是這一性質的簡單應用，更有意思的是在2011年江蘇卷中，如果我們了解這一背景，將使得原問題快速解決.

（2011年江蘇卷）如圖8，在平面直角坐標系xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B. 設直線PA的斜率為k，任意k>0，求證：PA⊥PB.

圖8

分析：要證明PA⊥PB，即證明kPA×kPB=-1，直接研究二者斜率乘積為-1較為困難，若了解kAB×kPB=-=-，則只需證=2即可. 設P（x0，y0），則A（-x0，-y0），C（x0，0），易得=2.

未完的推廣

那么同為有心曲線的雙曲線是否也有如此結論.

探索：對于雙曲線C：-=1，下列三個斜率乘積是否為定值：

（1）C上任意兩點A，B，P為AB的中點，則kAB×kOP是否為定值？

（2）點P為C上除頂點外任意一點，過點P的直線l與雙曲線相切，則kl×kOP的值是否為定值？

（3）過原點的直線l與C交于A，B兩點，P為C上任意一點，則kPA×kPB的值是否為定值？

類比問題1、問題2、問題3的解決思路，不難得到三個斜率乘積也是定值.

深入的反思

記住結論并非目的，通過高考試題的研究，使用類比和歸納發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學性質，給出一般性的研究方法和解決策略才是我們的目標. G·玻利亞指出：“創(chuàng)造過程是一個艱苦曲折的過程，數(shù)學家創(chuàng)造性的工作是論證推理，即證明，但這個證明是通過合情推理、通過猜想而發(fā)現(xiàn)的.” 本文從練習入手，通過歸納獲得一般性的結論，再追溯至圓的性質，發(fā)現(xiàn)圓中的一系列“兩直線斜率乘積為定值”，類比發(fā)現(xiàn)橢圓中相關性質并研究. 透過這些性質研究，使得我們從高處再看高考試題，領悟其中的奧秘和解決策略.

數(shù)與形的結合是解析幾何解決問題的關鍵，教師雖然明白這一點，但往往在實際課堂教學中很難抓住. 就目前的高三教學現(xiàn)狀而言，我們教師大量選取歷年全國各地高考試題進行教學，很多時候僅僅是就題論題進行教學，不能把握問題的本質以及不同問題之間的聯(lián)系，導致重復地講解大量的題目，使得復習效率低下，并不利于學生能力的提升，難以達成“提高能力”的目標. 如何充分用好各地高考試題，筆者認為對試題可以考慮從以下幾方面進行研究：（1）試題的來源；（2）有哪些解決策略；（3）試題變式、推廣和拓展. 通過幾方面的研究，把幾個問題講透，可以做到事半功倍的效果.

高考考查學生的能力，題目設計往往是以能力立意. 作為教師，如果能經(jīng)常引導學生運用合情推理，由此類對象的性質想到彼類對象的性質，從已知的具體結果出發(fā)，歸納、抽象出一般結論，然后再對結論進行驗證和證明，那么我們的數(shù)學教學將會呈現(xiàn)出別開生面的另一番景象，學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力就有機會得到真正的提升.