張鴻超

(呼倫貝爾學院數(shù)學科學學院，內蒙古呼倫貝爾021008)

淺析數(shù)學方法在中學數(shù)學解題過程中的應用*

張鴻超

(呼倫貝爾學院數(shù)學科學學院，內蒙古呼倫貝爾021008)

本文通過對中學解題過程中一般數(shù)學方法應用的探究，幫助學生自覺地運用數(shù)學方法指導解題過程，形成解決數(shù)學問題的有效策略。

數(shù)學方法;應用;中學數(shù)學

盡管中學數(shù)學教材中大量的優(yōu)秀例題、習題，都蘊涵著豐富的數(shù)學方法，但在中學，數(shù)學方法仍是一個隱性的知識系統(tǒng)。因此，對數(shù)學方法相關內容的揭示會更有助于提高學生空間想象能力、邏輯思維能力、數(shù)學應用能力和探索創(chuàng)新能力，使學生把學習數(shù)學知識和培養(yǎng)能力有機聯(lián)系起來，更好地提高個體的思維品質，培養(yǎng)更多創(chuàng)新型人才。

1 中學數(shù)學解題過程中常用的幾種數(shù)學方法

1．1普通歸納法(不完全歸納法)

所謂普通歸納法(不完全歸納法)，就是對一類事物部分特殊事項加以抽象提高，通過分析、研究、推理得出一般屬性和規(guī)律。其特點是:

(1)以一定的事實做為基礎，所判斷的范圍小于結論應當判斷的范圍。

例如，多邊形內角和的求和公式就是通過求得部分多邊形的內角和，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律進而歸納得出n邊形內角和的。

從每個多邊形的一個頂點引出所有的對角線，四邊形會被分成2個三角形，五邊形會被分成3個三角形，六邊形會被分成4個三角形，……，十二邊形會被分成10個三角形。于是便發(fā)現(xiàn)所分得的三角形的個數(shù)總比它的邊數(shù)少2。而每個三角形的內角和是180°，那么，n邊形的內角和顯然為(n－2)× 180°。

(2)得出的結論可能不正確。

例如，對“函數(shù)式y(tǒng)=x2+x+41中，x取任何非負整數(shù)，y都是質數(shù)”的判斷時，通過個別計算我們發(fā)現(xiàn)，當自變量x取0，1，2，3，……，38，39時，得出y的值為41，43，47，53，…，1601，這些數(shù)都是質數(shù)，于是歸納得出x取任何非負整數(shù)，y都是質數(shù)的結論。但這個結論卻是個錯誤的結論。因為當x=40時，得出y的值為1681，而1681能被1和它本身整除外，還能被41整除，顯然y不是質數(shù)，而是合數(shù)了。

(3)得到的結論是否正確，需要經(jīng)過理論的證明和實踐的檢驗。

例如，1+8=9，

即13+23=32=(1+2)2

1+8+27=36，

即13+23+33=62=(1+2+3)2，

1+8+27+64=100，

即13+23+33+43=102=(1+2+3+4)2

……

由此，我們可以推斷得出

用數(shù)學歸納法可以證明，這個結果是正確的。

盡管普通歸納法(不完全歸納法)的結論不是完全可靠，但在數(shù)學研究和應用中，卻有著十分重要的意義。

一是，在基礎知識有限的情況下為了暫且接受其真實性，常常用普通歸納法(不完全歸納法)給出。這樣的處理方法，在理論上是雖然存在缺陷，但就整體認知結構而言是合理的，既合乎認識規(guī)律，也有助于人們從具體的事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。

二是，利用普通歸納法(不完全歸納法)，恰當?shù)乜疾鞌?shù)學問題的某些特殊情形，可以幫助我們由問題的特殊性認識其一般性，探明到解決問題的方向，尋求到正確的解題路徑。

三是，通過普通歸納法(不完全歸納法)探求結論，可以給人們提供一定的信息，幫助人們發(fā)現(xiàn)和提出新問題，豐富數(shù)學研究內容，推動數(shù)學的發(fā)展。

1．2數(shù)學歸納法

所謂數(shù)學歸納法，一般地，證明一個與自然數(shù)n有關的命題P(n)，有如下步驟:

(1)證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況;

(2)假設當n=k(k≥n0，k為自然數(shù))P(k)命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

綜合(1)(2)，對一切自然數(shù)n(≥n0)，命題P(n)都成立。

②假設n=k時，等式成立，即:

那么當n=k+1時，有:

即當n=k+1時，原式也成立．

根據(jù)①、②可得對一切自然數(shù)n原式都成立．

上述用數(shù)學歸納法證明的過程是不對的，原因是當n=k+1時，結論是利用拆項法推出來的，沒有利用歸納假設n=k這一步，這不符合數(shù)學歸納法的要求．

正確的解題方法應為:當n=k+1時，有:

因此可知，當n=k+1時，原式也成立。

值得注意的是數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可。完成第二步驟時，要運用命題P(k)成立這一假定，去推導命題P(k+1)也成立。

1．3建模法

所謂建模方法，是分析和解決實際問題時，經(jīng)過調查研究、了解對象信息、抽象簡化后，用數(shù)學的符號和語言，把它表述為數(shù)學式子，通過計算得到模型結果來解決實際問題，并接受實際檢驗的方法。

例如:如果用6000元可以買一臺筆記本電腦，現(xiàn)在先付1200元，其余部分以貸款形式按每月付900元在6個月內付清，那么，貸款的年利率為多少?

方法一:建立直觀模型。把實際問題轉化成數(shù)學問題，即每月還貸款800元計算，付21月的貸款利息為600元的貸款年利率多少?

由此得出期限(單位年)為21/12=7/4(年)

利息:600=800×i×7/4

i=42．86%

方法二:問題逐步分解。

(1)付款總額:1200+900×6=6600

(2)應還利息:6600－6000=600

(3)借貸金額:6000－1200=4800(P)

(4)每月還清:4800/6=800(P/n)

(5)期限:(1+2+3+4+5+6)/12=7/4(年)

(6)600=800×i×7/4，i=42．86%

1．4數(shù)形結合法

所謂數(shù)形結合就是通過“數(shù)”與“形”之間的對應、轉化來解決數(shù)學問題的思想。所謂“數(shù)”，就是指數(shù)或式，所謂“形”，就是指圖形或圖像。在一定的條件下，它們可以互相轉化，根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結構，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關系。

一般通過坐標系的建立，引入數(shù)量化靜為動求解?；蛲ㄟ^分析數(shù)與式的結構特點，把問題轉化到另一個角度來考慮，如將轉化為勾股定理或平面上兩點間的距離等?；驑嬙煲粋€幾何圖形，構造一個函數(shù)，構造一個圖表等。

解:

例2:已知最小正周期為2的函數(shù)y=f(x)，當x∈［－1，1］時，f(x)=x2，則函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象與y=|log5x|的圖象交點個數(shù)為多少?

解:本題考查周期函數(shù)的圖象和性質，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質及含有絕對的函數(shù)的圖象的畫法，本題考查數(shù)形結合思想．由圖象可知，有5個交點。

例3．已知函數(shù)f(x)=|x2－4x+3|

若與y=x+a至少有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

解:作出圖象．

既|x2－4x+3|=x+a，于是，在同一坐標系下再作出y=x+a的圖象．

當直線y=x+a過點(1，0)時，a=－1;

得x2－3x+a+3=0．由Δ=0．

2 結論

在教學過程中，為了很好的提高中學生問題解決的能力，應該重視學生對數(shù)學方法的掌握，重視學生應用數(shù)學方法進行解題的訓練，從解題方法入手，引導數(shù)學思維，尋找解題技巧，同時，重視歸納總結，加強解題規(guī)律和方法的掌握，培養(yǎng)數(shù)學解題能力。

學生對數(shù)學方法的掌握，不是一朝一夕能做到的，需要教師根據(jù)教學實際，長期堅持有目的、有計劃地進行培養(yǎng)和訓練。

［1］任樟輝.數(shù)學思維論［J］.廣西:廣西教育出版社，1990.

［2］鄭毓信，肖柏榮.數(shù)學思維與數(shù)學方法論［M］.四川:四川教育出版社，1989.

［3］涂榮豹.數(shù)學解題學習中的元認知［N］.數(shù)學教育學報，2002.

［4］錢珮玲.中學數(shù)學思想方法［M］.北京:北京師范大學出版社，2001，9.

［5］徐利志.數(shù)學方法論選講［M］.武漢:華中科技大學出版社，2000，1.

The Analyses of the Application of Mathematical Method During the Process of Problem Solving in Middle School

ZHANG Hong－chao
(College of Mathematical Sciences，Hulunbuir College;Baotou 014030)

The article researchs the application of General mathematical method during the process of problem solving in middle school，and helps the middle school student to solve the problems through the guidance of mathematical method and form the effective strategies of solving the mathematical problems.

mathematical method;application;teaching in middle school

G632

A

1004－1869(2014)01－0095－04

2013－12－30

張鴻超(1968－):男，副教授，教育碩士，研究方向，數(shù)學教育。