多群輻射輸運計算的輸運綜合加速方法

李雙貴， 楊 容， 杭旭登，2

（1.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094；2.計算物理實驗室，北京 100088）

多群輻射輸運計算的輸運綜合加速方法

李雙貴1， 楊 容1， 杭旭登1，2

（1.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094；2.計算物理實驗室，北京 100088）

研究多群輻射輸運計算的源迭代輸運綜合加速方法，通過優(yōu)化灰體輸運綜合加速，構(gòu)造了雙層嵌套的輸運綜合加速方法.數(shù)值算例表明新方法較灰體輸運綜合加速進(jìn)一步提高計算效率，且適用于吸收系數(shù)強間斷的高維復(fù)雜幾何問題.

多群輻射輸運；離散縱標(biāo)方法；源迭代；輸運綜合加速方法

0 引言

輻射輸運是一種重要的能量傳輸機制，廣泛存在于天體物理、慣性約束聚變，武器物理等諸多研究領(lǐng)域中［1－3］.高溫系統(tǒng)中，熱物質(zhì)不斷發(fā)射光子，光子在傳輸過程中又被物質(zhì)吸收從而加熱物質(zhì)，同時被加熱的物質(zhì)又發(fā)射更多的光子，實現(xiàn)輻射場與物質(zhì)的能量交換.描述輻射輸運過程的基本方程為光子輸運方程（Boltzmann方程）和物質(zhì)能量守恒方程［4］.輸運方程的確定論數(shù)值模擬中，離散縱標(biāo)（簡稱SN）方法［5］是應(yīng)用最為廣泛的方法之一.由于SN方程的自變量多（空間三個，角方向二個，還有時間變量和能量變量），離散后得到的代數(shù)系統(tǒng)非常龐大復(fù)雜，研究其高效、快速求解算法［6－8］一直是相關(guān)研究領(lǐng)域的熱點問題之一.為了避免代數(shù)矩陣的顯式構(gòu)造和直接求逆，SN方程通常采用源迭代算法求解.光性薄區(qū)域，源迭代算法快速收斂，簡單有效.光性厚區(qū)域，輻射被物質(zhì)反復(fù)吸收和再發(fā)射，源迭代算法很難收斂，計算費時，必須尋求快速收斂的迭代算法.

粒子輸運理論中擴(kuò)散綜合加速方法［9］（diffusion synthetic acceleration，DSA）是較為有效的一種源迭代加速方法.該算法利用源迭代過程中迭代解收斂最慢的部分具有弱的空間和角度依賴，通過求解源迭代誤差方程的低階擴(kuò)散近似方程加速源迭代收斂.健壯而穩(wěn)定的擴(kuò)散綜合加速方法要求低階擴(kuò)散算子的空間離散與高階輸運算子的空間離散相容（即加速方程的離散采用被加速方程的離散漸近極限形式），這使得DSA方法僅在一維和二維正交網(wǎng)格的數(shù)值模擬中能得到了很好的應(yīng)用［9－11］.在二維非正交網(wǎng)格上推導(dǎo)與輸運算子空間離散相容的擴(kuò)散方程離散格式相當(dāng)困難，即便得到也形式復(fù)雜，編程實現(xiàn)繁瑣，而且高維擴(kuò)散方程離散后迭代求解也不容易，使得擴(kuò)散綜合加速方法的有效性難以保證.此外，Warsa等人［12］發(fā)現(xiàn)即便相容離散的擴(kuò)散綜合加速方法，在高維問題求解中也會由于吸收系數(shù)的強間斷而失效.

輸運綜合加速方法［13－14］（transport synthetic acceleration，TSA），由于其加速方程為低階SN角度離散的輸運方程，其空間離散與被加速方程的離散格式一致，不受空間離散相容性條件限制.此外，輸運綜合加速算法中加速方程仍為輸運方程，數(shù)值求解可沿用被加速方程的程序模塊，程序?qū)崿F(xiàn)難度降低.利用源迭代誤差方程的特點，設(shè)計快速收斂的輸運綜合加速方法，是提高復(fù)雜幾何輸運問題計算效率的有效途徑之一.

將灰體輸運綜合加速（grey transport acceleration，GTA）方法［13］推廣應(yīng)用于加速二維柱幾何任意四邊形拉氏網(wǎng)格上多群輻射輸運方程的源迭代求解，并對加速算法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，進(jìn)一步挖掘加速效率.利用TSA方法［14］對灰體輸運方程的源迭代求解進(jìn)行內(nèi)層加速，設(shè)計了雙重嵌套的輸運綜合加速算法，并進(jìn)行數(shù)值例證，給出方法可行性結(jié)論.

1 輻射輸運方程及其數(shù)值求解

假定輻射場非平衡，物質(zhì)處于局部熱動平衡狀態(tài)，描述輻射輸運問題的輻射輸運方程和物質(zhì)能量守恒方程為［4］

這里已對輸運方程作多群處理，即把光子頻率區(qū)間ν∈（0，∞）分為G個子區(qū)間（群）：Δνg＝（νg＋1／2，νg－1／2），g＝1，…，G．Ig為第g群光子的輻射強度，σg為群吸收系數(shù)，Ω為光子運動方向，r為空間變量，c為光速，B（T，ν）為Planck函數(shù)，Te為物質(zhì)溫度，ρ為物質(zhì)密度，Cve為比熱.

由于物質(zhì)屬性（這里指群吸收系數(shù)和比熱）以及Planck函數(shù)都是關(guān)于物質(zhì)溫度大尺度變化的非線性函數(shù)，方程（1）和（2）為非線性強耦合方程組.數(shù)值求解方程（1－2）一般采用隱式時間差分格式，其向后歐拉時間離散格式分別為

利用展開式（5），方程（4）可化為（為方便計，以下方程將略去時間上標(biāo)n＋1）

方程（7）與方程（3）比較，方程（3）的發(fā)射項（右端的第一項）已化為方程（7）的人為散射項（右端第一項）和源項q（l）g中的一部分.這樣，問題（1）－（2）歸結(jié)為迭代求解方程（7）和方程（6）.

2 源迭代算法

源迭代算法應(yīng)用于求解多群輻射輸運方程（7）.在每一Newton-Picard混合迭代步中，方程（7）是線性輸運方程，為方便計略去非線性迭代上標(biāo)后可寫為

這里Ig為未知量，其余的量為已知量.由于方程（12）中群輻射強度通過發(fā)射項（右端第一項）相互耦合在一起，為了避免代數(shù)矩陣的顯式構(gòu)造和直接求逆，通常對方程（12）采用源迭代（source iteration，SI）求解（即通過迭代右端的耦合項，實現(xiàn)輻射強度在頻率之間的耦合）.方程（12）的源迭代算法具體描述為（k為源迭代指標(biāo)）

利用標(biāo)準(zhǔn)的Fourier分析源迭代算法的收斂效率.定義

這里｜ξ｜＝1，0＜λ＜∞．如果｜ω｜＜1，｜ω｜最大的Fourier模以最慢的速度收斂于零，如果｜ω｜＞1，則｜ω｜最大的Fourier模以最快的速度發(fā)散.將式（19）代入（17）、（18）可得

對任意給定頻率分群g，式（23）中方括號內(nèi)的項是λ的遞減函數(shù)，在λ＝0處取最大值.由此

ρL即為源迭代的譜半徑，由上可知0＜ρL＜1，故源迭代是收斂的．但在高溫光性厚介質(zhì)區(qū)域σ很大，由（8）和（9）式可知η→1， ／σg→0，則ρL→1，源迭代盡管收斂，但收斂很慢．降低譜半徑ρL的最直接辦法是取比較小的時間步長，由此計算步大大增加，導(dǎo)致誤差累積，所以有必要尋求比源迭代方法收斂更快的迭代算法.

3 灰體輸運綜合加速

綜合加速算法的基本思想是對源迭代誤差方程進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕疲越品匠痰慕庑拚吹?，達(dá)到加速的目的.上一節(jié)的分析已知當(dāng)λ≈0時，ρL→1，取加速方程為誤差方程在λ＝0時的近似，即可捕捉源迭代過程中收斂最慢的解．利用方程（22）關(guān)于λ的展開式

中λ→0時解的特征，Larsen［13］構(gòu)造了源迭代算法（14）－（16）的灰體輸運綜合加速（GTA）

4 雙層嵌套的輸運綜合加速

GTA算法（25）－（28）中，源迭代求解方程（27）的計算量較方程（25）已顯著降低，這是因為方程（27）為單群方程且其譜半徑ρGTA＜ρL.但當(dāng)σgΔt很大時，ρGTA→ρL→1．源迭代求解方程（27）至收斂需要的計算量增加，從而降低加速效率.雙層嵌套輸運綜合加速方法是在GTA算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加速方程（27）的迭代求解，優(yōu)化算法，提高整個算法的加速效率.

考察加速方程（27），其形式上相當(dāng)于具有各項同性散射源項的單群線性中子輸運方程，因此可以采用標(biāo)準(zhǔn)的源迭代加速方法對其源迭代求解進(jìn)行加速.考慮到算法設(shè)計需要適應(yīng)二維復(fù)雜幾何應(yīng)用問題以及降低程序?qū)崿F(xiàn)的難度，借鑒Ramone和Adams［14］提出TSA方法對方程（27）進(jìn)行加速.引入松弛因子β∈［0，1］構(gòu)造（27）的加速方程，其散射截面為，為保持粒子守恒，總截面為

至此得到求解多群輻射輸運方程（12）－（13）的雙層嵌套輸運綜合加速算法

這里k為外層迭代指標(biāo)，s為內(nèi)層迭代指標(biāo)，方程（33）的邊界條件同（31）.若方程（33）采用源迭代求解，其迭代收斂譜半徑ρTSA為

方程（33）較方程（31）更容易迭代收斂.

雙層嵌套輸運綜合加速算法（19）具有如下特點：

1）鑒于源迭代算法中收斂最慢的解與角度弱相關(guān)，加速方程（33）和（31）可以采用較方程（29）更低階（S4或S2）的角度離散，從而減少計算量.

2）采用自適應(yīng)策略.迭代過程中監(jiān)測源迭代數(shù)值譜半徑

僅當(dāng)譜半徑大于某一給定值（～0.5）時根據(jù)需要啟動加速方程（31）和（33）的求解，并對源迭代解進(jìn)行修正.

3）方程（33）和（31）作為源迭代誤差方程的近似并不要求精確求解，實際計算中可以結(jié)合問題特點通過選取參數(shù)β和適當(dāng)調(diào)整迭代收斂標(biāo)準(zhǔn)，實現(xiàn)算法的最優(yōu)化.

4）加速方程的求解可沿用求解輸運方程（29）的程序模塊，程序?qū)崿F(xiàn)的復(fù)雜度大幅降低.

5）采用輸運綜合加速，避免了擴(kuò)散綜合加速算法穩(wěn)定性條件對空間離散相容性條件的要求，適用于高維復(fù)雜幾何問題.

6）SN輸運方程若采用先進(jìn)的預(yù)條件Krylov子空間方法求解，方程（31）和（33）仍可以作為預(yù)條件子加速其快速收斂.

5 數(shù)值結(jié)果

5.1 計算條件

算例為實際應(yīng)用領(lǐng)域中的簡化模型，考慮二維柱幾何下的輻射傳輸計算.輸運方程的空間離散均采用簡單隅角平衡方法［15－16］（適用于二維任意多邊形凸網(wǎng)格），角度微分項由菱形差分近似，多群輻射輸運方程（29）角度離散采用S8；光子頻率分群為20群，輻射群吸收系數(shù)取自數(shù)據(jù)庫［17］；部分物性參數(shù)采用實際氣體狀態(tài)方程.

考察的算例中光厚介質(zhì)為常密度Pb（ρ＝10.5 g·cm－3），圖1為輻射和電子溫度為10 MK時，網(wǎng)格跨度約5×10－4μm時針對不同頻率光子的光學(xué)厚度.由于不同頻率的光子其自由程相差懸殊，以光子服從平衡譜（Planck譜）分布為例，對大部分光子而言網(wǎng)格的光學(xué)厚度約為10.隨著溫度的升高或降低，光子自由程也會有所增長或縮短.在本文所設(shè)計的算例中，光厚介質(zhì)Pb的網(wǎng)格剖分對大部分光子而言總是光性厚的（光學(xué)厚度大于1）.

為了有效避免假收斂（迭代算法收斂很慢，相鄰兩次迭代值相差很小，但遠(yuǎn)離收斂解，從而導(dǎo)致非物理解），多群輻射輸運方程的源迭代收斂標(biāo)準(zhǔn)error（k）＜ε中取ε＝10－5.為提高算法計算效率，加速方程（31）和（33）都采用低階角度離散（S2），在迭代計算中并不要求充分收斂，而是給定收斂標(biāo)準(zhǔn)ε＝10－3或不超過最大允許迭代次數(shù).這里我們定義加速方程（31）、（33）的最大允許迭代次數(shù)為NGTA、NTSA．在數(shù)值模擬中可采用參考經(jīng)驗值，單層GTA加速時取NGTA≈20，雙層嵌套加速時取NGTA≈10，NTSA≈7．方程（33）中β取值為0.2.文獻(xiàn)［16］已初步考察了GTA算法計算二維柱幾何模型的加速效率（全過程計算相對于源迭代加速比約為6），由于在計算初始階段時間步長很小，從而源迭代譜半徑小收斂快，算法難以體現(xiàn)加速效果，反而增加了多余的計算量.本文考慮算法的自適應(yīng)優(yōu)化策略，僅當(dāng)譜半徑ρL大于某一給定值（≈0.5）時進(jìn)行加速.這里單純考察算法的加速效率，在物理時間10－4μs＜t＜5.0×10－4μs區(qū)間段（ρL＞0.5），采用定步長Δt＝5.0×10－6μs計算.

圖1 網(wǎng)格的光學(xué)厚度（T＝10 MK，ρ＝10.5 g·cm－3）Fig.1 Optical depth of grids（T＝10 MK，ρ＝10.5 g·cm－3）

5.2 均勻介質(zhì)算例

輻射在高Z介質(zhì)Pb圓柱體內(nèi)傳輸.圓柱半徑為0.01 cm，高為0.01 cm，圓柱外表面均為自由面，圓柱體下底面Z＝0處給輻射等效溫度為11.6 MK的均勻恒溫輻射源.整個區(qū)域分為20×20個四邊形網(wǎng)格（見圖2）.

圖2 20×20非矩形網(wǎng)格Fig.2 20×20 quadrilateral grids

圖3 源迭代的理論譜半徑和數(shù)值譜半徑（算例1）Fig.3 Theoretic and numerical spectral radius of SI（Example 1）

在光性厚的介質(zhì)中，輻射被物質(zhì)反復(fù)吸收和再發(fā)射，反映到數(shù)值計算中源迭代算法收斂譜半徑趨于1，迭代很難收斂.圖3為源迭代算法的理論譜半徑（式（24））和數(shù)值譜半徑（式（37）），二者非常接近（≈0.98），數(shù)值譜半徑略低于理論譜半徑，理論公式很好地反映源迭代算法的收斂狀態(tài).圖4為未加速和加速算法迭代求解方程（12）－（13）的數(shù)值譜半徑，GTA加速算法和雙重嵌套加速算法中數(shù)值譜半徑較簡單源迭代算法明顯縮小，分別由0.98縮小至0.4和0.2左右.迭代收斂所需求解多群輸運方程的平均次數(shù)由192.5次降為12次和5次（見表1）.盡管迭代過程中增加了兩個單群輸運方程（31）和（33）的計算，但增加的計算量遠(yuǎn)小于提高收斂速度所減少的計算量，凸顯其加速效率：完成計算源迭代需要76.25分鐘，單層GTA算法需5.25分鐘，而雙層嵌套加速僅需3.08分鐘，較源迭代算法獲得了24倍的加速.圖5為t＝5.0×10－4μs時，不同迭代算法求解得到的輻射溫度分布，計算結(jié)果完全吻合，證明雙層嵌套的加速算法提高了計算效率，但不改變數(shù)值解.

圖4 加速和未加速算法的數(shù)值譜半徑（算例1）Fig.4 Numerical spectral radius of unaccelerated and acclelerated algorithms（Example 1）

圖5 加速和未加速算法的輻射溫度分布（算例1）Fig.5 Radiative temperature snapshot of unaccelerated and acclerated algorithms（Example 1）

5.3 吸收系數(shù)強間斷的多介質(zhì)算例

鑒于Warsa等人［12］發(fā)現(xiàn)即便相容離散的擴(kuò)散綜合加速方法，在高維計算中也會由于吸收系數(shù)的強間斷而失效，故有必要考察加速算法求解吸收系數(shù)強間斷問題的有效性.

輻射在填充CH介質(zhì)的Pb管中傳輸.圓柱半徑為0.28 cm，高為1 cm，半徑為0.25 cm以內(nèi)的中心區(qū)域為低密度的CH介質(zhì)（ρ＝0.05 g·cm－3）.四邊形網(wǎng)格剖分（CH區(qū)域：20×5，Pb介質(zhì)區(qū)：20×30）.圓柱外表面均為自由面，圓柱體下底面Z＝0處半徑為0.25 cm的中心區(qū)域給輻射等效溫度為20.0 MK的均勻恒溫輻射源.

GTA算法和雙重嵌套加速算法的數(shù)值譜半徑約為0.4和0.2（見圖6），平均迭代次數(shù)由源迭代算法所需的277.6次分別降為14次和7.2次（見表2），獲得約17倍和27倍的加速比，加速算法保持了穩(wěn)定的加速效率.t＝5.0×10－4μs時，考察光薄的CH泡沫中輻射溫度和電子溫度的軸向分布，圖7表明不同迭代算法求解得到計算結(jié)果吻合很好，數(shù)值解穩(wěn)定.輻射從輸運管右端逃逸前在CH泡沫中的譜分布與Planck譜存在偏離（見圖8），可見輻射并沒有達(dá)到平衡狀態(tài).圖7和圖8表明算例中輻射與物質(zhì)、輻射自身都未能達(dá)到平衡狀態(tài)，也論證了采用多群輸運建模的必要性.

表1 加速和未加速算法的計算結(jié)果比較（算例1）Table 1 Computational comparison of unaccelerated and acclelerated algorithms（Example 1）

表2 加速和未加速算法的計算結(jié)果比較（算例2）Table 2 Computational comparison of unaccelerated and acclelerated algorithms（Example 2）

圖6 加速和未加速算法的數(shù)值譜半徑（算例2）Fig.6 Numerical spectral radius of unaccelerated and acclelerated algorithms（Example 2）

圖7 CH介質(zhì)中沿Z軸的溫度分布（左：電子溫度；右：輻射溫度）Fig.7 Snapshots of temperature along Z axial in CH medium（left：material temperature，right：radiation temperature）

6 結(jié)論

將灰體輸運綜合加速應(yīng)用于加速二維柱幾何多群輻射輸運方程的源迭代求解，采用TSA方法加速灰體輸運方程的迭代求解，設(shè)計了雙重嵌套的輸運綜合加速方法.數(shù)值算例表明：在高溫光性厚區(qū)域多群輻射輸運計算中源迭代算法收斂譜半徑接近1，GTA方法能較源迭代方法獲得15倍左右的加速比，雙重嵌套輸運綜合加速方法獲得了25倍左右的加速比（較單層GTA方法提高了約40%的計算效率）.算法適用于非規(guī)則網(wǎng)格的多維問題，且在吸收系數(shù)強間斷的多介質(zhì)問題中保持了穩(wěn)定的加速效率.

圖8 輸運管右端CH泡沫的輻射譜分布Fig.8 Spectrum of radiation energy in CH foam before leaking from transport pipe

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Transport Synthetic Acceleration Methods for Multi-group Radiative Transfer Calculations

LI Shuanggui1，YANG Rong1，HANG Xudeng1，2

（1.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100094，China；2.Laboratory of Computational Physics，Beijing 100088，China）

Convergence of source iteration is analyzed for multi-group radiative transfer calculations.A two-level nesting transport acceleration method is developed.Numerical results show speedup factors of the scheme are higher than that of GTA method.The scheme is feasible for non-rectangle grid calculations of 2D problems with large discontinuities of material properties.

multi-group radiative transfer；discrete ordinate method；source iteration；transport synthetic acceleration

date：2013－09－10；Revised date：2014－01－30

O434.11

A

2013－09－10；

2014－01－30

國防基礎(chǔ)科研計劃（B1520110011）、國家自然科學(xué)基金（91130002）和國家863高技術(shù)慣性約束聚變專題資助項目

李雙貴（1976－），女，湖南衡東，博士，副研究員，從事輻射輸運計算方法與數(shù)值模擬研究，E-mail：lishg＠iapcm.ac.cn

1001-246X（2014）05-0505-09