淺談如何用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式

周群

摘 要：概率論是數(shù)學(xué)的重要分支，有著自己的概念及其方法，內(nèi)容豐富，在社會科學(xué)、自然科學(xué)及管理科學(xué)等多個領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式是數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，其證明方法較多，但通過不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應(yīng)用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式，以望對后期不等式證明提供參考。

關(guān)鍵詞：概率論 數(shù)學(xué)不等式 證明 分析

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0247-01

概率論是建立在微積分基礎(chǔ)之上的，沒有微積分的推動，也難以使概率論形成獨立的一門學(xué)科。隨著概率論研究的不斷推進，在各個領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式證明是高等數(shù)學(xué)較為常見的問題，對于學(xué)者來說也是難點。在證明不等式過程中，采用新穎的方法及獨特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統(tǒng)的微積分難以證明，而利用概率論時可從不等式的特點、函數(shù)性質(zhì)及概率論性質(zhì)出發(fā)，可達到證明不等式的目的。

1 概率論在數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用

概率論是研究偶然事件規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它表示一個事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，這個數(shù)是0到1之間的實數(shù)，是對隨機事件發(fā)生的可能性的量度，隨機事件就是表示在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。一次實驗中包含了所有可能出現(xiàn)結(jié)果，其中的每一個結(jié)果就叫做一個基本事件。概率論和我們的生活息息相關(guān)，例如人們預(yù)測股票市場的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實際例子。概率有幾種不同的描述性定義。

1.1 統(tǒng)計定義

在同樣的條件下重復(fù)做N次試驗，表示在次試驗中事件所發(fā)生的次數(shù)，隨著的逐漸增大，在某個固定的數(shù)值附近出現(xiàn)的次數(shù)也越來越多，頻數(shù)越來越高，數(shù)值通常被稱為事件在該條件下發(fā)生的概率，記為。從統(tǒng)計定義可以看出數(shù)值就是事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量指標。總是處于0和1之間，從統(tǒng)計定義中可以發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：對任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。

1.2 數(shù)學(xué)定義

假定試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果的個數(shù)總和為，其中的每一個都有唯一一個實數(shù)和它對應(yīng)，當這個實數(shù)同時滿足三個條件時，即（1）；（2）；（3）當每二個都互不相容時，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。

概率論的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應(yīng)用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時概率論中的思想也包含了對于非等式問題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關(guān)應(yīng)用。針對不同的不等式問題，需要構(gòu)造不同的概率模型。例如對二項分布的研究就是一個明顯的例證。概率論早已用到了現(xiàn)實生活的各個領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，把概率論的思想和方法和高等數(shù)學(xué)緊密的結(jié)合起來，進一步加深了高等數(shù)學(xué)和概率論知識間的聯(lián)系，提高了分析問題和解決問題的能力。概率論的發(fā)展反過來也促進了其他數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，尤其在為解決具體問題中提供了簡單、有效的方法；實踐證明通過用概率的性質(zhì)、定理和公式對一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。

2 典型例題分析

通過以上不等式的證明，可以看到在對不同類型的不等式進行證明時，要注意構(gòu)建相應(yīng)不同的概率模型，再利用相關(guān)的性質(zhì)進行證明，可以使不等式的證明簡單起來。

3 結(jié)語

不等式證明過程中應(yīng)遇到具體問題具體分析，對同樣不等式的證明往往需要應(yīng)用到不同的方法。因此，要熟悉高等數(shù)學(xué)和概率論的知識，在解題的過程中多總結(jié)、多思考，靈活運用各種解題技巧，進而提高解題效率。

參考文獻

[1] 崔小兵.概率論中不同條件下的Jensen不等式及應(yīng)用[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，9（9）：22-24.

[2] 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應(yīng)用[J].太原科技大學(xué)學(xué)報，2011，32（6）：476-479.endprint

摘 要：概率論是數(shù)學(xué)的重要分支，有著自己的概念及其方法，內(nèi)容豐富，在社會科學(xué)、自然科學(xué)及管理科學(xué)等多個領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式是數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，其證明方法較多，但通過不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應(yīng)用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式，以望對后期不等式證明提供參考。

關(guān)鍵詞：概率論 數(shù)學(xué)不等式 證明 分析

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0247-01

概率論是建立在微積分基礎(chǔ)之上的，沒有微積分的推動，也難以使概率論形成獨立的一門學(xué)科。隨著概率論研究的不斷推進，在各個領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式證明是高等數(shù)學(xué)較為常見的問題，對于學(xué)者來說也是難點。在證明不等式過程中，采用新穎的方法及獨特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統(tǒng)的微積分難以證明，而利用概率論時可從不等式的特點、函數(shù)性質(zhì)及概率論性質(zhì)出發(fā)，可達到證明不等式的目的。

1 概率論在數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用

概率論是研究偶然事件規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它表示一個事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，這個數(shù)是0到1之間的實數(shù)，是對隨機事件發(fā)生的可能性的量度，隨機事件就是表示在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。一次實驗中包含了所有可能出現(xiàn)結(jié)果，其中的每一個結(jié)果就叫做一個基本事件。概率論和我們的生活息息相關(guān)，例如人們預(yù)測股票市場的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實際例子。概率有幾種不同的描述性定義。

1.1 統(tǒng)計定義

在同樣的條件下重復(fù)做N次試驗，表示在次試驗中事件所發(fā)生的次數(shù)，隨著的逐漸增大，在某個固定的數(shù)值附近出現(xiàn)的次數(shù)也越來越多，頻數(shù)越來越高，數(shù)值通常被稱為事件在該條件下發(fā)生的概率，記為。從統(tǒng)計定義可以看出數(shù)值就是事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量指標?？偸翘幱?和1之間，從統(tǒng)計定義中可以發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：對任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。

1.2 數(shù)學(xué)定義

假定試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果的個數(shù)總和為，其中的每一個都有唯一一個實數(shù)和它對應(yīng)，當這個實數(shù)同時滿足三個條件時，即（1）；（2）；（3）當每二個都互不相容時，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。

概率論的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應(yīng)用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時概率論中的思想也包含了對于非等式問題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關(guān)應(yīng)用。針對不同的不等式問題，需要構(gòu)造不同的概率模型。例如對二項分布的研究就是一個明顯的例證。概率論早已用到了現(xiàn)實生活的各個領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，把概率論的思想和方法和高等數(shù)學(xué)緊密的結(jié)合起來，進一步加深了高等數(shù)學(xué)和概率論知識間的聯(lián)系，提高了分析問題和解決問題的能力。概率論的發(fā)展反過來也促進了其他數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，尤其在為解決具體問題中提供了簡單、有效的方法；實踐證明通過用概率的性質(zhì)、定理和公式對一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。

2 典型例題分析

通過以上不等式的證明，可以看到在對不同類型的不等式進行證明時，要注意構(gòu)建相應(yīng)不同的概率模型，再利用相關(guān)的性質(zhì)進行證明，可以使不等式的證明簡單起來。

3 結(jié)語

不等式證明過程中應(yīng)遇到具體問題具體分析，對同樣不等式的證明往往需要應(yīng)用到不同的方法。因此，要熟悉高等數(shù)學(xué)和概率論的知識，在解題的過程中多總結(jié)、多思考，靈活運用各種解題技巧，進而提高解題效率。

參考文獻

[1] 崔小兵.概率論中不同條件下的Jensen不等式及應(yīng)用[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，9（9）：22-24.

[2] 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應(yīng)用[J].太原科技大學(xué)學(xué)報，2011，32（6）：476-479.endprint

摘 要：概率論是數(shù)學(xué)的重要分支，有著自己的概念及其方法，內(nèi)容豐富，在社會科學(xué)、自然科學(xué)及管理科學(xué)等多個領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式是數(shù)學(xué)中重要內(nèi)容之一，其證明方法較多，但通過不同證明方法，可收取到不同的效果。該文著重介紹應(yīng)用概率論證明數(shù)學(xué)中的不等式，以望對后期不等式證明提供參考。

關(guān)鍵詞：概率論 數(shù)學(xué)不等式 證明 分析

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）02（c）-0247-01

概率論是建立在微積分基礎(chǔ)之上的，沒有微積分的推動，也難以使概率論形成獨立的一門學(xué)科。隨著概率論研究的不斷推進，在各個領(lǐng)域均有所應(yīng)用。不等式證明是高等數(shù)學(xué)較為常見的問題，對于學(xué)者來說也是難點。在證明不等式過程中，采用新穎的方法及獨特的技巧可起到事半功倍的效果。大部分不等式的證明若利用傳統(tǒng)的微積分難以證明，而利用概率論時可從不等式的特點、函數(shù)性質(zhì)及概率論性質(zhì)出發(fā)，可達到證明不等式的目的。

1 概率論在數(shù)學(xué)不等式中的應(yīng)用

概率論是研究偶然事件規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，它表示一個事件發(fā)生可能性大小的數(shù)，這個數(shù)是0到1之間的實數(shù)，是對隨機事件發(fā)生的可能性的量度，隨機事件就是表示在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。一次實驗中包含了所有可能出現(xiàn)結(jié)果，其中的每一個結(jié)果就叫做一個基本事件。概率論和我們的生活息息相關(guān)，例如人們預(yù)測股票市場的升跌的可能性，升跌幅值的大小，都是概率的實際例子。概率有幾種不同的描述性定義。

1.1 統(tǒng)計定義

在同樣的條件下重復(fù)做N次試驗，表示在次試驗中事件所發(fā)生的次數(shù)，隨著的逐漸增大，在某個固定的數(shù)值附近出現(xiàn)的次數(shù)也越來越多，頻數(shù)越來越高，數(shù)值通常被稱為事件在該條件下發(fā)生的概率，記為。從統(tǒng)計定義可以看出數(shù)值就是事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量指標。總是處于0和1之間，從統(tǒng)計定義中可以發(fā)現(xiàn)如下性質(zhì)：對任意事件，都存在有，其中不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。

1.2 數(shù)學(xué)定義

假定試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果的個數(shù)總和為，其中的每一個都有唯一一個實數(shù)和它對應(yīng)，當這個實數(shù)同時滿足三個條件時，即（1）；（2）；（3）當每二個都互不相容時，成立，也就是的可加性；就稱作是的概率。

概率論的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極其廣泛，用概率論的方法解決不等式證明的是概率論的重要應(yīng)用。概率論的類型多種多樣，為解決不同類型的不等式證明提供了很大的方便。在不等式證明中往往會遇到很大的困難，但是由于概率和不等式在某些方面的相似性，都有大于、小于或者等于的形式，同時概率論中的思想也包含了對于非等式問題的研究，所以我們可以在不等式證明中找到概率的相關(guān)應(yīng)用。針對不同的不等式問題，需要構(gòu)造不同的概率模型。例如對二項分布的研究就是一個明顯的例證。概率論早已用到了現(xiàn)實生活的各個領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，把概率論的思想和方法和高等數(shù)學(xué)緊密的結(jié)合起來，進一步加深了高等數(shù)學(xué)和概率論知識間的聯(lián)系，提高了分析問題和解決問題的能力。概率論的發(fā)展反過來也促進了其他數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，尤其在為解決具體問題中提供了簡單、有效的方法；實踐證明通過用概率的性質(zhì)、定理和公式對一些難以證明的不等式是可行的，也是非常重要的。

2 典型例題分析

通過以上不等式的證明，可以看到在對不同類型的不等式進行證明時，要注意構(gòu)建相應(yīng)不同的概率模型，再利用相關(guān)的性質(zhì)進行證明，可以使不等式的證明簡單起來。

3 結(jié)語

不等式證明過程中應(yīng)遇到具體問題具體分析，對同樣不等式的證明往往需要應(yīng)用到不同的方法。因此，要熟悉高等數(shù)學(xué)和概率論的知識，在解題的過程中多總結(jié)、多思考，靈活運用各種解題技巧，進而提高解題效率。

參考文獻

[1] 崔小兵.概率論中不同條件下的Jensen不等式及應(yīng)用[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，9（9）：22-24.

[2] 聶世謙，崔小朝.概率論思想在一些不等式中的應(yīng)用[J].太原科技大學(xué)學(xué)報，2011，32（6）：476-479.endprint