韓志杰，李俊林，楊斌鑫(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

近年來，短纖維增韌聚合物基復(fù)合材料被廣泛應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域中。產(chǎn)品的加工過程及性能受短纖維懸浮聚合物熔體流動體系的流變特性影響，在纖維的長徑比較大的條件下，懸浮流的流變特性受到纖維取向分布的影響，因而對纖維取向特征的研究受到了人們的廣泛關(guān)注。目前通常采用取向概率分布函數(shù)來描繪大量纖維的取向狀態(tài)，即是用Euler方式來描述纖維取向，也就是給出的纖維取向橢圓，該取向橢圓是計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格點(diǎn)上的，所有的位于該位置的纖維的取向分布都是纖維取向橢圓來描述的，但是此方法沒有研究纖維在型腔中的運(yùn)動，也就是沒有處理單個(gè)纖維在型腔中的運(yùn)動和取向情況。本文利用纖維生成算法[1]研究了4∶1粘彈性收縮流動中的纖維取向，直接在流場中生成纖維，通過求解Jeffery方程[2]，得到纖維在流場中的取向狀態(tài)。

1 流場控制方程組

假定流動是二維穩(wěn)態(tài)、重力影響可以忽略的不可壓縮粘彈性流體，用XPP本構(gòu)關(guān)系描述粘彈性行為。無量綱化的控制方程組可寫成如下的標(biāo)準(zhǔn)形式[3-4]：

▽(muφ)-▽(Γ▽φ)=Sφ

(1)

其中We=λ0bU/L，Re=ρUL/μ，β=μs/μs+G0λ0b，ε=λ0s/λ0b，μ=μs+G0λ0b.U、L是特征速度和特征尺度，ρ為流體密度，G0為剪切模量，λ0s、λ0b是表示分子鏈的收縮松弛時(shí)間與取向松弛時(shí)間比，μs是牛頓溶劑粘度，μ是總粘度，u、v為流體沿x方向和y方向上的速度分量；p為流體的靜壓力；τxx、τxy、τyy、τzz偏應(yīng)力分量；算子I表示張量的跡；Re=慣性力/粘性力；We=彈性力/粘性力；β=牛頓粘度/總粘度；α是與聚合物各向異性相關(guān)的參數(shù)，f(λ,τ)、λ、v的計(jì)算表達(dá)式如下：

2 纖維取向計(jì)算

假設(shè)纖維是剛性的棒狀粒子，單纖維的取向用單位矢量P來描述，單位矢量P的方向與纖維的取向方向一致，在空間中用兩個(gè)Euler角(角θ和角φ)來描述[6]。因此，在球坐標(biāo)中通過角變量(θ,φ)可以描述任一纖維在流場中的某一位置，如圖1所示。

表1 標(biāo)準(zhǔn)控制方程參數(shù)

圖1單纖維取向矢量

Fig.1Thevectororientationofsinglefiber

矢量P在直角坐標(biāo)系下可以表示為：

(2)

纖維的長徑比用γe表示，定義纖維的形狀因子λ為：

(3)

Jeffery發(fā)現(xiàn)圓柱狀顆粒在簡單剪切流場中會受到流體的作用力而發(fā)生轉(zhuǎn)動，這個(gè)轉(zhuǎn)動角速度可用Jeffery方程描述：

P=ωP+λf(εP-ε∶PPP)

(4)

其中ω=(▽uT-▽u)/2是流體渦度張量，ε=(▽uT+▽u)/2是流體應(yīng)變率張量，通過求解方程，可以得到纖維在簡單剪切流場中的轉(zhuǎn)動情況。

(5)

(6)

3 數(shù)值格式

3.1 控制方程離散

采用同位網(wǎng)格有限體積法離散控制方程，見文獻(xiàn)[7-8]。

3.2 纖維生成算法[1]

具體步驟：

第一步：生成纖維，長度為lf，纖維初始角度θ和φ為隨機(jī)生成的，一根纖維用as+1個(gè)點(diǎn)(這里as=30)來描述，第as/2個(gè)點(diǎn)(as+1個(gè)點(diǎn)的標(biāo)號為0,…，as)表示纖維的質(zhì)心。 則該纖維分別旋轉(zhuǎn)θ和φ角度后第i個(gè)點(diǎn)在xy平面上投影的坐標(biāo)(xi,yi)為:

4 數(shù)值結(jié)果與分析

4.1 平板收縮流[8]

考慮4∶1平板收縮流，如圖2所示。流體從較寬的槽道流入較窄的槽道，在這個(gè)過程中壁面附近會產(chǎn)生復(fù)雜的強(qiáng)剪切流動。

圖2 平板收縮流半流域示意圖

無量綱參數(shù)取值分別為β=1.0/9.0，α=0.15，q=2.0，ε=1.0/3.0.在入口處給定速度和應(yīng)力，假定出口處是可以充分發(fā)展的流場，給出Neumann邊界條件。上下壁面用固壁邊界條件，中心線處給定對稱邊界條件。為了得到充分發(fā)展的速度和應(yīng)力剖面，本文假定L2=20H2，L1=10H2，其中H2是特征長度。就流場流動而言，在靠近壁面且遠(yuǎn)離拐角的區(qū)域，流動以剪切為主；在靠近中軸線的位置，轉(zhuǎn)變?yōu)槔炝鲃诱贾鲗?dǎo)地位； 在入口收縮處， 下游流速突然增大；在上游拐角區(qū)域，流動非常復(fù)雜，多以旋轉(zhuǎn)為主。不僅在上游拐角處出現(xiàn)主渦，而且當(dāng)We數(shù)達(dá)到一定值時(shí)，會出現(xiàn)邊渦，并且隨著We數(shù)的增大，邊渦越來越大，最終和主渦合并，形成一個(gè)大的角渦，具體結(jié)果見文獻(xiàn)[8]。

圖3 在不同Re數(shù)和不同We數(shù)條件下的纖維取向

4.2 纖維取向

圖3的五幅圖中，圖(a)為纖維的初始狀態(tài)，圖(b)、(c)、(d)、(e)給出了不同數(shù)不同數(shù)條件下的纖維取向狀態(tài)。從圖中可以得到：(1)在遠(yuǎn)離拐角且靠近壁面的區(qū)域，流場中主要是剪切作用占主導(dǎo)地位，而纖維呈現(xiàn)周期性旋轉(zhuǎn)狀態(tài)；(2)在接近中軸線的位置，流場中轉(zhuǎn)變?yōu)槔熳饔谜贾鲗?dǎo)地位，纖維呈現(xiàn)沿單軸拉伸的取向狀態(tài)；(3)在收縮入口處以及在上游拐角區(qū)域，流動比較復(fù)雜，纖維的取向也比較復(fù)雜，由于流動由旋轉(zhuǎn)為主，纖維取向也隨著出現(xiàn)不規(guī)則旋轉(zhuǎn)，這與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果一致。

5 結(jié)論

本文利用纖維生成算法直接在流場中生成纖維。研究了4∶1平板收縮流中纖維的取向狀態(tài)。通過求解Jeffery方程，得到纖維在流場中的取向狀態(tài)。

(1)在遠(yuǎn)離拐角且靠近壁面的區(qū)域，流場中主要是剪切作用，而纖維呈現(xiàn)周期性旋轉(zhuǎn)狀態(tài)。

(2)在接近中軸線的位置，流場中轉(zhuǎn)變?yōu)槔熳饔谜贾鲗?dǎo)地位，纖維呈現(xiàn)沿單軸拉伸的取向狀態(tài)。

(3)在收縮入口處以及在上游拐角區(qū)域，流動比較復(fù)雜，纖維的取向也比較復(fù)雜，由于流動由旋轉(zhuǎn)為主，纖維取向也隨著出現(xiàn)不規(guī)則旋轉(zhuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

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