純鋁彎曲的單晶體塑性有限元模擬

王 琦，黃慶學(xué)，馬立東

(太原科技大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，太原 030024)

隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的日趨成熟，以及可視化工具的出現(xiàn)，材料細(xì)觀角度的有限元模擬已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)。從晶體塑性理論出發(fā)建立晶體塑性模型，并將晶體塑性模型有限元結(jié)合，即晶體塑性有限元(Crystal Plasticity Finite Element Method，CPFEM)，從細(xì)觀方面了解材料的變形機(jī)理從而能更好的把握材料的宏觀性能，對(duì)強(qiáng)化材料，指導(dǎo)材料的塑性加工，塑性成型具有更為重要的意義。本文通過晶體塑性有限元的方法對(duì)鋁板彎曲過程晶粒的滑移和變形過程進(jìn)行了有限元模擬。

由Hill和Rice提出[1-3]最初的CPFEM基礎(chǔ)理論，主要依據(jù)的是晶體塑性變形的Schmid定律。后來研究人員又提出了完整的率相關(guān)材料本構(gòu)理論，其將單晶體塑性變形的產(chǎn)生歸結(jié)于特定滑移系上的位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)，將自硬化和潛在硬化速率引入到晶體塑性本構(gòu)關(guān)系中，對(duì)相同滑移系和不同滑移系上位

錯(cuò)的相互作用進(jìn)行描述。在國內(nèi)晶體塑性理論和研究應(yīng)用方面起步較晚，雖然如此，但是國內(nèi)研究人員到目前為止也做了許多有意義的工作。例如，1997年，董湘懷等[4-6]開發(fā)了基于晶體塑性理論的板料成形過程的動(dòng)力顯式有限元分析程序，對(duì)單晶體和多晶體的塑性失穩(wěn)以及織構(gòu)對(duì)板材成形性能的影響進(jìn)行了深入地研究。馮露等[7]通過ABAQUS/STANDARD用戶材料接口UMAT做了對(duì)材料本構(gòu)關(guān)系的分析，提出了對(duì)單晶體粘塑性滑移本構(gòu)關(guān)系的一種求解方法，能夠計(jì)算非線性變形的單晶體本構(gòu)模型。

本文主要通過單晶體的塑性有限元理論開發(fā)純鋁單晶體材料用戶子程序，結(jié)合ABAQUS有限元的子程序接口UMAT對(duì)子程序調(diào)用，計(jì)算鋁板在不同壓下位移的情況下不同滑移系的滑移啟動(dòng)情況及材料應(yīng)變的不均勻性。

1 單晶體塑性本構(gòu)理論

假設(shè)滑移變形不影響彈性性質(zhì)，由Hill和Rice提出的基礎(chǔ)理論可知單晶體彈性本構(gòu)為:

晶體繼續(xù)變形進(jìn)而產(chǎn)生塑性變形后，基于W的剛性導(dǎo)數(shù)為:

式中:W——旋轉(zhuǎn)率張量

由公式(1)和式(2)得到:

其中:

由(1)和式(3)的到單晶體本構(gòu)方程:

對(duì)于率相關(guān)滑移，第α個(gè)滑移系上的塑性剪切率和分剪切應(yīng)力有如下關(guān)系:

τα——第α個(gè)滑移系上的分切應(yīng)力;

gα—— 硬化函數(shù);

m——滑移系應(yīng)變率敏感系數(shù)。

立方晶系中，單晶體滑移系的硬化規(guī)律可表示為:

式中:hαβ——表示硬化模量矩陣，其為 γ的函數(shù):

式中:h0——初始硬化率;

γ0—— 屈服切應(yīng)力;

τs——流動(dòng)應(yīng)力飽和值;

q—— 硬化比率。

2 鋁板彎曲模擬過程及結(jié)論

2.1 彎曲模擬及變形的分析

模擬過程的積分方法是由Kalidindi所給出的[7]，通過有限元軟件ABAQUS的材料用戶子程序接口UMAT將晶體塑性理論的本構(gòu)模型嵌入到有限元軟件ABAQUS中，進(jìn)行了對(duì)鋁板的彎曲過程模擬。模擬試件采用二維模型，其尺寸為長30 mm，高為1 mm.模擬過程用到的材料參數(shù)[8]為:

C11=108000 MPa，C12=62000 MPa，C44=28300 MPa，硬化比 q=1.4，其他參數(shù)參考文獻(xiàn)[8]，參考剪切應(yīng)變率=0.001，初始硬化率h0=60 MPa，屈服切應(yīng)力 τ0=21.17 MPa，流動(dòng)應(yīng)力飽和值 τs=61 MPa.

幾何模型建模時(shí)，支撐棍和壓下棍定義為剛體，鋁板定義為變形體300 mm×10 mm的長方形鋁板，在變形體鋁板兩邊距離端點(diǎn)5 mm處設(shè)置全約束。建立的彎曲幾何模型如圖1.

圖1 彎曲幾何模型Fig.1 Curved geometry model

計(jì)算過程中計(jì)算速度較快，計(jì)算比較穩(wěn)定沒有出現(xiàn)在計(jì)算過程中的不收斂現(xiàn)象。彎曲變形過程由彈性變形和塑性變形兩部分組成。其中晶體的滑移引起塑性變形。在外力下，由于板帶內(nèi)部存在的應(yīng)力而使滑移系存在分剪切應(yīng)力，從而影響著滑移系的啟動(dòng)和滑移系應(yīng)變的大小。下面主要從壓下位移的不同對(duì)變形結(jié)果進(jìn)行分析。

在幾何模型建立時(shí)模型設(shè)置兩個(gè)Step，第一個(gè)Step采用壓下位移為20 mm，使壓下輥先與板材剛好接觸。在第二個(gè)Step中分別采用壓下位移為30 mm，40 mm的方法對(duì)板材進(jìn)行模擬。圖2和圖4是不同壓下位移下的模型云圖變化情況。

圖2 下位移30 mm時(shí)的Mises應(yīng)力云圖Fig.2 Mises stress nephogram of displacement under 30 mm

圖3 宏觀條件下壓下位移為30 mm的應(yīng)力圖Fig.3 Displacement for 30 mm macro conditions under the press stress diagram

圖4 下位移40 mm時(shí)的Mises應(yīng)力云圖Fig.4 Mises stress nephogram of displacement under 40 mm

圖5 宏條件下壓下位移40 mm時(shí)的應(yīng)力云圖Fig.5 Displacement for 40 mm macro conditions under the press stress diagram

由圖2和圖4可以看出，當(dāng)壓下量為30 mm時(shí)應(yīng)力分布比較均勻，只有在下壓輥的接觸部分鋁板的中間應(yīng)力變化較大。當(dāng)壓下量增加到40 mm時(shí)，板帶的應(yīng)變開始由中間向兩端延生，在板帶中間和兩端的支撐點(diǎn)出都出現(xiàn)了較大的應(yīng)力。由圖3和圖5對(duì)比可以看出這些非均勻的應(yīng)力變化宏觀模擬是難以實(shí)現(xiàn)的。由于晶體塑性理論從滑移的角度描述材料的塑性變形，因而可以很好的反映出材料變化的非均勻性。

2.2 滑移系啟動(dòng)分析

對(duì)于純鋁板屬于面心立方晶體，對(duì)模擬過程的12個(gè)滑移系的啟動(dòng)進(jìn)行了模擬結(jié)果數(shù)據(jù)采集，在INP文件中將frequency設(shè)置為2即每兩步輸出一次。本文通過建立的鋁板材料子程序很好的模擬了在不同壓下量的情況下的滑移系的啟動(dòng)情況，面心立方晶體具有12個(gè)滑移系，通過計(jì)算顯示了10個(gè)滑移系的滑移系剪切應(yīng)變情況，數(shù)據(jù)顯示其中有(111)，[10-1]和(1-11)，[10-1]兩套滑移系未啟動(dòng)，其滑移系剪切應(yīng)變?yōu)?.圖6和圖7顯示了在壓下位移不同情況下啟動(dòng)的滑移系剪切應(yīng)變隨時(shí)間變化的情況。

圖6 壓下30 mm時(shí)滑移系剪切應(yīng)變隨時(shí)間變化曲線Fig.6 Press down 30 mm slip system when shear strain curve over time

圖7 壓下40 mm時(shí)滑移系剪切應(yīng)變隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Press down 30 mm slip system when shear strain curve over time

由兩幅曲線圖可以看出滑移系109和111應(yīng)變值重合，滑移系115和116應(yīng)變重合并且應(yīng)變都較大，滑移系啟動(dòng)。其他滑移系應(yīng)變值幾乎為0.當(dāng)壓下位移由30 mm增大到40 mm時(shí)，滑移系109和111、115和116的應(yīng)變值都相應(yīng)的增大，而其他滑移系應(yīng)變值增幅不明顯仍接近于0.

3 結(jié)論

晶體塑性本構(gòu)模型，應(yīng)用ABAQUS用戶材料子程序接口UMAT對(duì)材料模型進(jìn)行調(diào)用，結(jié)合inp編寫，很好的完成了對(duì)純鋁板彎曲過程變形情況的數(shù)值仿真。

(1)計(jì)算結(jié)果顯示通過調(diào)用子程序進(jìn)行細(xì)觀方面模擬能很好的反映材料變形過程的不均勻性。壓下位移不同，非均勻性變形程度不同，這與宏觀條件下模擬結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)以往宏觀的模擬式難以實(shí)現(xiàn)的，這充分說明了單晶體材料模型能夠很好的反映材料的各向異性。

(2)在變形過程中不同的壓下位移影響著滑移系的啟動(dòng)，模擬結(jié)果表明不論壓下位移多大，總有兩套滑移系并未啟動(dòng)，說明未啟動(dòng)的滑移系取向因子處于硬位相，不產(chǎn)生滑移。而啟動(dòng)的滑移系也隨著壓下位移及加載取向的不同而不同。

上述研究通過計(jì)算機(jī)模擬仿真進(jìn)行了深入的探索，在細(xì)觀方面表征材料塑性變形不均勻性、滑移系啟動(dòng)情況更能真實(shí)的反映材料的變形情況。

[1]HILL R，RICE J R.Constitutive analysis of elastic-Plastic crystals at arbitrary strain[J].J Meeh Phys Solids，1972，20:401-413.

[2]ASARO R J，RICE J R.Strain localization in ductile single crystal[J].J Mech Phys Solids，1977，25:309-338.

[3]ASARO R J.Crystal plasticity[J].J App Mech，1983，50:921-934.

[4]董湘懷.金屬塑性變形中織構(gòu)演化的計(jì)算機(jī)模擬[J].塑性工程學(xué)報(bào)，1998，5(3):8-14.

[5]董湘懷，仲盯英治.晶體塑性模型在板材成形計(jì)算機(jī)模擬中的應(yīng)用[J].中國機(jī)械工程，1997，8(4):27-30.

[6]鄭瑩，董湘懷，李志剛.晶體方位對(duì)板料成形制耳的影響[J].中國機(jī)械工程，2001，12(9):1070-1072.

[7]KALIDINDI S R，BRONKHORST C A，ANAND L.Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1992.40，537-569.

[8]ROTERS F，WANG Y，KUO JC，et al.Comparison of single crystal simple shear deformation experiments with crystal plasticity finite element simulations[J].Adv Eng Mat er，2004，6:653.