王宏霞，張煥水，俞 立，陳 欣

離散時(shí)間H∞性能下界研究方法

王宏霞1，張煥水2，俞 立1，陳 欣1

（1.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，310023杭州；2.山東大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，250061濟(jì)南）

為了縮小二分法求解最優(yōu)H∞性能的搜索范圍，降低搜索代價(jià)，采用狀態(tài)空間分析法，提出了一種獲取H∞性能下界的方法.與一般方法不同，根據(jù)此方法所得的下界僅跟H2Riccati方程的解有關(guān)，而不被卷入該Riccati方程的計(jì)算.因此，下界的獲取簡單.不僅如此，該方法還能揭示最優(yōu)性能與H∞性能（包括最優(yōu)控制與H∞控制，最優(yōu)估計(jì)與H∞估計(jì)）間的區(qū)別和聯(lián)系、分析多擾動(dòng)通道對H∞性能的影響以及可預(yù)演擾動(dòng)的有效利用對H∞性能的改善.

H2控制；H∞控制；Riccati方程；線性二次

最優(yōu)LQ控制（即H2控制）與H∞控制是控制理論的兩種最基本的控制方式.它們具有不同的控制目標(biāo)與性能.從頻域來講，這兩種控制性能都是對傳遞函數(shù)范數(shù)的刻畫.最優(yōu)控制期望通過控制器的設(shè)計(jì)使閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H2-范數(shù)最小（最優(yōu)）；H∞控制則期望通過控制器的調(diào)節(jié)使閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)（最?。┍幌薅ㄔ诮o定的范圍內(nèi)［1］.簡單來講，H∞控制器的設(shè)計(jì)旨在使系統(tǒng)的跟蹤誤差或者干擾對系統(tǒng)的影響盡可能小.因此，H∞控制理論具有廣泛的應(yīng)用背景，如船舶、魚雷、軋機(jī)控制等［2-4］.1989年，Doyle等人將最優(yōu)控制與H∞控制的頻域理論推廣到了時(shí)域［5］.這套理論的優(yōu)勢在于:首先，將問題的可解性及控制結(jié)果最終歸結(jié)為Riccati方程的可解性（因?yàn)镽iccati理論已相當(dāng)成熟［6］）；不僅如此，該理論還有許多其它優(yōu)點(diǎn)，如可以研究相應(yīng)的時(shí)變問題、有限時(shí)域問題等，因而大大拓展了控制理論的研究范圍.時(shí)域最優(yōu)H2、H∞的控制目的等價(jià)于分別最小化被調(diào)節(jié)信號的l2范數(shù)、最小化一個(gè)l2誘導(dǎo)范數(shù)，次優(yōu)H∞控制則期望找到一個(gè)控制器使得某l2誘導(dǎo)范數(shù)被限制在給定的范圍內(nèi).與頻域法一樣，在最優(yōu)H∞控制性能的量化問題上，由于控制器設(shè)計(jì)與控制性能相互耦合，時(shí)域法至今沒能像H2控制一樣顯式地定量刻畫出最優(yōu)H∞控制性能.盡管如此，將已有的許多H∞控制方法如對策論［7-9］、不變嵌入［10］、不變空間的投影［11］等方法［12］與二分法相結(jié)合則可以簡單有效地解決最優(yōu)H∞控制問題.通常情況下，最優(yōu)H∞性能的搜索區(qū)間為（0，γu］，其中，γu是一個(gè)足以保證相應(yīng)次優(yōu)H∞控制問題可解的正實(shí)數(shù).

由于需要求解H∞型Riccati方程，單純解決次優(yōu)H∞控制問題的代價(jià)已不小，二分法又意味著次優(yōu)H∞控制問題的多次求解.因此，有必要盡量縮小搜索范圍.嘗試提出一種刻畫H∞性能下界的時(shí)域方法，定量刻畫H∞性能的下界.該下界獲取簡單與H∞Riccati方程及慣性條件無關(guān).它不僅能幫助我們快速錨定有效的搜索范圍，還有助于揭示最優(yōu)控制與H∞控制之間的區(qū)別、研究多通道擾動(dòng)對H∞控制性能的影響以及可預(yù)演擾動(dòng)對H∞控制性能的影響.此外，還提出了一個(gè)次優(yōu)H∞控制理論的等價(jià)理論.

對于任意的矩陣M、N，M′為矩陣M的轉(zhuǎn)置，ρ（M）為M的譜半徑，diag｛M，N｝為主對角線元素是M，N的塊對角陣．I為維數(shù)相容的單位陣．l2為由所有平方可加的序列x=｛x1，x2，…｝所組成的空間．對于任意的x∈l2，‖x‖2為x的l2-范數(shù)．對于任意的向量x∈Rn，｜x｜2為x的2-范數(shù)．對于希爾伯特空間中的任意元素x，y，〈x，y〉表示x，y的內(nèi)積．對于任意的列向量x，y，col｛x，y｝表示由x，y堆疊成的維數(shù)為x，y維數(shù)之和的列向量．此外，還假設(shè)本文中所有變量、矩陣都是維數(shù)相容的．

1 問題描述

考慮確定性系統(tǒng)

式中:x為系統(tǒng)狀態(tài)，u為控制輸入，w為擾動(dòng)輸入，z為待調(diào)節(jié)輸出，A，B1，B2，C，D是已知的矩陣．

為了保證所研究的問題有意義，下面是標(biāo)準(zhǔn)假設(shè).

假設(shè)1 （A，B2）是可鎮(zhèn)定的；

假設(shè)2 系統(tǒng)［A，B2，C，D］在單位圓上無不變零點(diǎn)且左可逆；

注意假設(shè)2保證了D′D的可逆性．

不失一般性，為了簡化問題的后續(xù)推導(dǎo)過程會涉及到的符號，還將假設(shè).

假設(shè)3 D′［CD］=［0I］．

標(biāo)準(zhǔn)的全息最優(yōu)H∞控制問題可敘述為:尋找全息控制器使得閉環(huán)映射Twz:w｜→z的l2誘導(dǎo)范數(shù)最小，即

為方便下文的敘述記

如前所述，最優(yōu)性能與控制器的耦合導(dǎo)致人們很難直接求解最優(yōu)H∞控制問題.而利用二分法求解最優(yōu)H∞控制問題的本質(zhì)在于解決次優(yōu)H∞控制問題.因此，有必要給出次優(yōu)H∞控制問題的描述.

全息次優(yōu)H∞控制問題可敘述如下:對于給定的γ＞0，（判斷是否存在，若存在）尋找全息控制器uk使得在它的調(diào)節(jié)下，對于任意的非零能量有界擾動(dòng)，閉環(huán)映射Twz:w｜→z的l2誘導(dǎo)范數(shù)均小于γ，即

由于次優(yōu)H∞控制問題的可解性等價(jià)于兩個(gè)條件:其一，相應(yīng)的H∞Riccati方程存在半正定的可鎮(zhèn)定解；其二，某慣性條件成立.相對精確的二分法搜索范圍則意味著以相對小的代價(jià)來解決最優(yōu)H∞控制.因此，本文的目的在于找到γ0的下界，縮小搜索范圍，降低求解最優(yōu)H∞控制問題的代價(jià).

2 最優(yōu)H∞控制問題的下界

作為陳述主要結(jié)論的準(zhǔn)備，首先定義一些符號.引入下面的H2Riccati方程

其中Υ=D′D+B′2XB2．

由于假設(shè)1、2的成立，H2Riccati方程存在半正定的可鎮(zhèn)定的解且Υ＞0．根據(jù)Riccati方程的解X與Υ，定義下面的符號:

其次，引入下面的引理，它本質(zhì)上是不定空間的投影定理，是給出本文主要結(jié)論的關(guān)鍵依據(jù).

引理1［13］已知U與V是希爾伯特空間，S: U｜→V與J∶V｜→V是有界線性算子．若對某個(gè)ε＞0，S′JS＞εI，則對于任意的v∈V，最優(yōu)化問題

存在唯一解且最優(yōu)解

等價(jià)刻畫為

上式意味著對于?u∈U，總有〈Su，J（Su?-v）〉=0成立．

由于所涉及到的變量都屬于希爾伯特空間，所以〈Su，J（Su?-v）〉=0意味著最優(yōu)軌道Su?-v與形如Su的這類軌道正交．

為了分解H∞下界理論的復(fù)雜推導(dǎo)，給出次優(yōu)H∞控制理論的一個(gè)等價(jià)結(jié)論.

定理1 對于給定的γ＞0和系統(tǒng)（1）-（2），γ＞γo的充分必要條件是Λ＜0、Riccati方程

存在半正定、可鎮(zhèn)定解，且使Φ+Ψ′ZΨ與diag｛-I，I｝有相同的慣性指數(shù)．

證明 必要性的證明基于引理1與下面的差分對策問題［9，13］上式的內(nèi)層優(yōu)化是一個(gè)LQ優(yōu)化.根據(jù)引理1，假設(shè)1、2能夠保證muin‖z‖存在唯一的解．具體來講，記K是系統(tǒng)（1）的一個(gè)可鎮(zhèn)定狀態(tài)增益，則u=Kx+u?，u∈l2參數(shù)化了所有的容許控制．對于系統(tǒng)［A-B2K，B2，C-DK，D］，不難證明，與假設(shè)1、2類似，（A-B2K，B2）可鎮(zhèn)，［A-B2K，B2，CDK，D］在單位圓上無不變零點(diǎn)且左可逆．此時(shí)，根據(jù)引理1，作如下定義，分別取u?，l2為引理1中的u，U，算子S:u?｜→z∶l2｜→l2，是零初始狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)［A-B2K，B2，C-DK，D］的輸入輸出映射．記z?是初始狀態(tài)和外部擾動(dòng)分別為x0和w時(shí)系統(tǒng)［A-B2K，B1，C-DK，0］的輸出響應(yīng)，分別取-z?，l2為引理1中的v，V，J=I，則S′S＞0，（根據(jù)假設(shè)3，S′S≥I）．此時(shí)根據(jù)引理1，內(nèi)層優(yōu)化存在唯一的最優(yōu)解u?#（這同時(shí)意味著存在唯一的最優(yōu)解u#=Kx+u?#），且最優(yōu)解可被刻畫為S′（Su?#+z?）=S′z#=0，這里，z#=Su?#+z?是給定初始狀態(tài)x0，最優(yōu)控制u#及擾動(dòng)w時(shí)，系統(tǒng)（1）-（2）的輸出響應(yīng)．為方便將來敘述，記x#（x0，w），u#（x0，w），z#（x0，w）均為Rn×l2到l2的有界線性算子，這些算子由最優(yōu)控制問題的解所決定．

S′z#=0可等價(jià)描述為非因果系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

u#的最優(yōu)性意味著由式（1）、（2）、（5）、（6）決定的l2軌道x，z，p，u的最優(yōu)性．u#的唯一性則意味著初值x0和擾動(dòng)w給定時(shí)式（1）、（2）、（5）、（6）所決定的l2軌道x，z，p，u的唯一性．

現(xiàn)在考慮基于內(nèi)層優(yōu)化的外層優(yōu)化．實(shí)際上，γ＞γo意味著:對于任意的δ＞0，總存在容許的全息控制器，使得在它的調(diào)節(jié)下，對于零初始狀態(tài)和任意的擾動(dòng)w∈l2，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)總能滿足下面的關(guān)系

取閉環(huán)輸出z=z#（0，w），則

分別取w，l2，l2×l2為引理1中的u，U，V，顯然（w，z#（x0，w））∈V，再?。?，z#（x0，0））為引理1中的-v，Sw=（w，z#（0，w）），J=diag｛γ2I，-I｝．根據(jù)這些定義，式（8）可表示成

再根據(jù)引理1，內(nèi)層優(yōu)化完成后的外層優(yōu)化存在唯一最優(yōu)解w?，最優(yōu)w?滿足S′J（w?，z?）=0，即

由于S′很難直接計(jì)算，令u=Kx是一個(gè)可鎮(zhèn)定的反饋控制，?z是在該反饋下、系統(tǒng)（1）-（2）對于零初始狀態(tài)和給定擾動(dòng)w的輸出響應(yīng)．記Δz=z#（0，w）-?z，則式（10）等價(jià)于

式（11）中的第2個(gè)等式成立是因?yàn)閦#（x0，w）是初始狀態(tài)為x0、外部擾動(dòng)為w時(shí)，內(nèi)層優(yōu)化的最優(yōu)軌道，它正交于系統(tǒng)［A，B2，C，D］在零初始狀態(tài)和任意容許控制驅(qū)動(dòng)下的輸出響應(yīng)．令γ2〈w，w?〉-（w，?z）．根據(jù)式（11），可以給出最優(yōu)w?的另一種等價(jià)刻畫?S′J（w?，z?）=0．它進(jìn)一步意味著反因果系統(tǒng)（5）與下式的成立．

總之，式（1）、（2）、（5）、（6）、（12）是最優(yōu)軌道x，p，u，w的唯一刻畫．記u?（x0）=u#（x0，w?（x0）），x?（x0）=x#（x0，w?（x0）），z?（x0）= z#（x0，w?（x0））．

根據(jù)式（1）、（2）、（5）、（6）、（12），

對式（13）的兩邊關(guān)于k從0到∞求和，則

為了分離最優(yōu)w與最優(yōu)u對最優(yōu)對策值的貢獻(xiàn)，引入下面的線性變化，

分離變換式（15）中的w尚未優(yōu)化.把式（15）帶入式（1）、（5）、（6），可得

觀察式（16）發(fā)現(xiàn)，ζk完全由ws，s≥k+1所決定，特別地ζ-1包含且僅包含所有的wk，k≥0．注意，式（15）～（17）對任意的w均成立．

現(xiàn)在取w=w?且將式（15）帶入式（14），則有

發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x0=0時(shí)，最優(yōu)擾動(dòng)對最優(yōu)對策值的貢獻(xiàn)為0，而wk=0，k≥0對最優(yōu)對策值的貢獻(xiàn)也為0．結(jié)合最優(yōu)解w?的唯一性，可知x0=0時(shí)，最優(yōu)=0，k≥0，進(jìn)一步有，=0，=0，k≥0．

如果將對策問題限制在區(qū)間［k，∞）上，前面所有關(guān)于必要性的分析都成立，當(dāng)然，間的線性關(guān)系依然成立．

相似地，可以結(jié)合式（1）、（6）、（12）推導(dǎo)l2最優(yōu)軌道、最優(yōu)控制及最優(yōu)擾動(dòng)與x0之間的線性關(guān)系．根據(jù)式（12）、（15）、（17）（為簡化符號，以下推導(dǎo)去掉了最優(yōu)軌道的標(biāo)志符號?），

由于最優(yōu)軌道的唯一性，Λ必然可逆.因此，

將式（19）帶入式（16）、（17），得到

令

其中:s=0，1，…，并將之帶入式（20）、（31），則可推得式（3）．I-ΨΦ-1Ψ′的可逆性仍然緣于最優(yōu)軌道的唯一性．根據(jù)最優(yōu)對策值的表達(dá)式（18）、（22），可得最優(yōu)對策值必然大于等于w=0時(shí)的對策值

換句話說，

因此，

從x0的任意性，Z≥0顯然成立.式（3）的可鎮(zhèn)定性源于最優(yōu)軌道屬于l2空間.

證明Λ的負(fù)定性.考慮初始狀態(tài)為零時(shí)的對策問題式（4），根據(jù)式（8），γ＞γo意味著其唯一最優(yōu)解是u?=0，w?=0．因此，零初始狀態(tài)時(shí)，w取0外的任意值，只能導(dǎo)致一個(gè)嚴(yán)格小于0的對策值．取w0≠0，wk=0，k≥1，u=u#（0，w），參考式（13）、（15）、（21）可得

式（23）立即可導(dǎo)出Λ＜0．

證明慣性條件.眾所周知，由式（1）、（5）、（6）、（12）定義的齊次HJB方程有唯一l2解意味著狀態(tài)與伴隨狀態(tài)之間存在線性關(guān)系，則

P=A′PA+C′C-A′PBΠ-1B′PA．（24）

該線性關(guān)系完全被Riccati方程的半正定、穩(wěn)定、及滿足Π與diag｛-I，I｝有相同的慣性指數(shù)的解所刻畫，其中B=［B1，B2］，Π=B′PB+ diag｛-I，I｝．根據(jù)式（14），最優(yōu)對策值可通過P表示為〈x0，Px0〉，這意味著P=X+Z．復(fù)雜但直接的代數(shù)運(yùn)算表明，

由此，慣性條件顯然成立.

充分性的證明是一個(gè)構(gòu)造式的證明記.

該證明實(shí)際上是在式（3）具有給定性質(zhì)解的前提下，說明式（26）是一個(gè)次優(yōu)H∞全息可鎮(zhèn)定反饋控制.

假設(shè)Z是式（3）的解，滿足定理1中給定的條件．定義P=X+Z，但此時(shí)并不知道P=X+Z滿足什么樣的關(guān)系式，具有怎樣的性質(zhì)．因此，接下來需要證明P是某個(gè)Riccati方程滿足某些性質(zhì)、條件的解．由于X，Z均是半正定矩陣，所以P也是半正定矩陣．給定初始狀態(tài)x0，定義ζ-1= Zx0．根據(jù)式（3）與HJB式（20）、（21），可推得xk+1=（I-ΨΦ-1Ψ′）-1Aγx0，ζk-1=Zxk，k＞0．接著據(jù)此定義xk+1，ζk，k＞0，再根據(jù)pk=Xxk+1+ζk定義pk，k≥0，考慮Λ與Υ的可逆性，可根據(jù)

及式（21）定義uk，wk，k≥0，最終根據(jù)式（2）定義zk，k≥0．

上面的構(gòu)造如此定義的x，p，u，w是式（1）、（5）、（6）、（12）的l2解．同時(shí)，對于這樣構(gòu)造的z，w，還將有下面的等式成立

此時(shí)并未作最優(yōu)性或者唯一性的任何說明.將基于上面的構(gòu)造及結(jié)論建立P所滿足的關(guān)系.

根據(jù)uk，wk的定義式（27）、（19）及pk=Xxk+1+ ζk，作直接的運(yùn)算可得

其中Π如式（25）所示.

因此，

說明當(dāng)控制輸入與外部擾動(dòng)分別取上面所構(gòu)造的控制輸入與外部擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)（1）實(shí)際上等價(jià)于xk+1=AFx0，AF=（I-ΨΦ-1Ψ′）-1Aγ．有了上面的準(zhǔn)備，下面可推導(dǎo)P實(shí)際上滿足式（24）．記則對于任意的初始狀態(tài)x0，

由于x0的任意性，左端的核矩陣P必然等于最后一個(gè)等號右端的核．直接的代數(shù)推導(dǎo)表明，式（28）右端的核矩陣即式（24）的右端．

需要強(qiáng)調(diào)的是，AF的穩(wěn)定性源自構(gòu)造的解x屬于l2．根據(jù)式（25），Π的慣性條件是顯然的．至此，整個(gè)定理的證明完成．

不同于已有的H∞控制理論的推導(dǎo)，引入了一個(gè)可逆線性變換來分解u?與w?對對策值的貢獻(xiàn)，進(jìn)而推導(dǎo)出等價(jià)的H∞控制理論.

將以定理的方式給出本文的主要結(jié)果.

定理2 對于系統(tǒng)（1）-（2），考慮最優(yōu)H∞控制問題，則有

證明 根據(jù)定理1，對于任意的γ＞γo，總成立Λ＜0，即

兩邊關(guān)于γ取下確界，則

則結(jié)論式（29）是顯然的.

盡管定理2僅提供了最優(yōu)性能的下界而非下確界，但由于僅依賴于H2Riccati方程的半正定穩(wěn)定解，所提供的下確界求解簡單方便.因此，二分法的搜索區(qū)域縮至

當(dāng)擾動(dòng)通道增加時(shí)，最優(yōu)H∞性能不減.即當(dāng)另一擾動(dòng)通道通過系統(tǒng)參數(shù)B3進(jìn)入系統(tǒng)時(shí)，ρ（Q）=ρ（［B1，B3］′X（I-B2Υ-1B′2X）［B1，B3］）≥ρ（B′1XBx），不等號右端實(shí)際上即單擾動(dòng)通道相應(yīng)的H∞性能下界.

當(dāng)部分?jǐn)_動(dòng)可以提前獲取時(shí)，因?yàn)樾璞ＷCγ2I-Q-EGE′正定，所以ρ（Q-EGE′）必然為最優(yōu)H∞性能的下界，其中Q=B′1XBx，G＞0．因此，與標(biāo)準(zhǔn)H∞性能下界ρ（B′1XBx）相比，部分?jǐn)_動(dòng)可提前獲取時(shí)，最優(yōu)H∞性能可能被改進(jìn)．

3 數(shù)值例子

1.869 6；第二種方法，計(jì)算H2Riccati方程的解X=可得Q=3.481 3，再計(jì)算H∞性能的下界ρ（Q）=1.865 8，此時(shí)可錨定最優(yōu)H∞性能的搜索區(qū)間［1.865 8，5］，此時(shí)，由于縮小了搜索區(qū)間，搜索了13次就找到了最優(yōu)H∞性能1.869 6.由于每一次搜索都要計(jì)算一個(gè)H∞Riccati方程，搜索次數(shù)每減少一次都意味著少計(jì)算一個(gè)H∞Riccati方程.因而，對于高維的系統(tǒng)，使用方法降低的搜索代價(jià)尤為明顯.

4 結(jié) 語

本文基于狀態(tài)空間提出了一種研究離散H∞控制性能下界的方法.因?yàn)樾辆仃嚺cHanmilton矩陣可以相互轉(zhuǎn)化，所以該方法也適用于連續(xù)H∞控制性能下界的研究［6］.此外，該方法不僅提供了H∞控制的等價(jià)理論，也能夠被用于研究復(fù)雜的H∞預(yù)演控制問題.

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（編輯 苗秀芝）

Lower bound for discrete-time H∞performance

WANG Hongxia1，ZHANG Huanshui2，YU Li1，CHEN Xin1
（1.School of Information Engineering，Zhejiang University of Technology，310023 Hangzhou，China；2.School of Control Science and Engineering，Shandong University，250061 Jinan，China）

The paper aims to provide an approach to obtain a lower bound of H∞control performance in state space.It is not involved in algebraic manipulation of Riccati equation and only concerned with the solution to the standard H2Riccati equation.As a consequence，the approach can help one to narrow the optimal H∞performance search via bisection method to a smaller range and considerably reduce the search cost.In addition，the approach enables us to have an insight into not only the link and difference between the optimal performance and the H∞performance including the optimal control and H∞control performance，the optimal estimation and the H∞estimation，but also the impact of the multiple-channel disturbances or previewable disturbance on the H∞control performance.

H2control；H∞control；riccati equation；LQ

TP13

A

0367-6234（2014）06-0123-06

2014-01-09.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61203045）；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（LQ14F030004）.

王宏霞（1980—），女，博士，助理研究員；張煥水（1963—），男，教授，博士生導(dǎo)師；俞 立（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

王宏霞，whx1123＠126.com.