周衛(wèi)東，蔡佳楠，孫 龍

（哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，150001哈爾濱）

具有最優(yōu)模型傳遞矩陣的交互式多模型算法

周衛(wèi)東，蔡佳楠，孫 龍

（哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，150001哈爾濱）

在傳統(tǒng)的交互式多模型（IMM，interacting multiple model）算法中，描述模型馬爾科夫切換過程的模型傳遞矩陣被定義成一個(gè)常值矩陣，并且將子濾波器間的相關(guān)性信息遺漏.然而，由于實(shí)際環(huán)境的復(fù)雜性，傳統(tǒng)的IMM算法無法滿足飛行器跟蹤的需求.為此，提出一種具有最優(yōu)模型傳遞矩陣的交互式多模型（OMTM-IMM，optimal mode transition matrix IMM）算法，該算法在考慮子濾波器相關(guān)性的前提下，以線性最小方差理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出最優(yōu)的模型傳遞矩陣，該傳遞矩陣更加符合實(shí)際情況，理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明該算法有效地提高了飛行器跟蹤精度.

交互式多模型算法；常值模型傳遞矩陣；最優(yōu)模型傳遞矩陣；線性最小方差理論；相關(guān)性

目標(biāo)跟蹤既涉及連續(xù)狀態(tài)的估計(jì)問題，又涉及多個(gè)模型間的協(xié)調(diào)問題.文獻(xiàn)［1］提出了交互式多模型（interacting multiple model，IMM）算法，由于在復(fù)雜性和估計(jì)精度方面良好的折中，該算法被廣泛應(yīng)用到很多領(lǐng)域［2-4］.為進(jìn)一步提高IMM算法跟蹤能力，出現(xiàn)許多改進(jìn)的IMM算法，如交互式有偏多模型算法（interacting multiple bias model，IMBM）、變結(jié)構(gòu)交互式多模型算法（variablestructureinteractingmultiplemodel， VSIMM）等［5-12］.

這些IMM算法中都存在兩個(gè)共同的問題：

1）在描述模型馬爾科夫切換過程采用的是一個(gè)常值的模型傳遞矩陣.該傳遞矩陣是由每個(gè)模型的逗留時(shí)間決定的，而非由連續(xù)的狀態(tài)所決定［8］.這會(huì)涉及模型數(shù)量大于2時(shí)模型傳遞矩陣的非對(duì)角線元素不唯一和如何確定逗留時(shí)間的難題［13］.

2）子濾波器的相關(guān)性信息被遺漏.由于每一個(gè)子濾波器的交互初值是由所有子濾波器交互得到，因此每一個(gè)子濾波器的狀態(tài)估計(jì)即取決于自身，又取決于其他子濾波器.那么子濾波器之間是存在相關(guān)性的，特別是對(duì)于復(fù)雜環(huán)境下目標(biāo)跟蹤問題，相關(guān)性信息不可忽略［14-17］.

為解決以上問題，本文給出了一種具有最優(yōu)模型傳遞矩陣的交互式多模型（optimal mode transition matrix IMM，OMTM?IMM）算法.該算法在考慮子濾波器相關(guān)性的基礎(chǔ)上，以線性最小方差理論為基礎(chǔ)，推導(dǎo)得到最優(yōu)模型傳遞矩陣.通過理論證明和仿真實(shí)驗(yàn)表明，該算法能夠更好地適應(yīng)實(shí)際應(yīng)用的需求，提高目標(biāo)跟蹤精度.

1 問題描述

飛行器目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)可以用如下方程描述：

式中：χ（k）為a維的狀態(tài)向量；z（k）為b維量測(cè)向量；mk為系統(tǒng)模型編號(hào)，指示出在k時(shí)刻與當(dāng)前運(yùn)動(dòng)相匹配的模型，mk∈N，N＝｛1，2，…，n｝為模型數(shù)目；w（k-1，mk）和v（k，mk）為互不相關(guān)的高斯白噪聲，方差為Q（k-1，mk）和R（k，mk）；令Fj，Hj，Qj，Rj分別代表當(dāng)mk＝j(luò)時(shí)的狀態(tài)矩陣F（k｜k-1，mk），量測(cè)矩陣H（k，mk），Q（k-1，mk），R（k，mk）．

在傳統(tǒng)的IMM算法中，描述模型馬爾科夫切換過程的模型傳遞矩陣是一個(gè)常值矩陣π，模型概率πij為其元素，被定義為：

式中：0≤πij≤1，?i，j∈N；πi為第i個(gè)模型的逗留時(shí)間，E［πi］為πi的期望值，πii表示從模型i到模型i的傳遞概率．

由式（4）可知，當(dāng)用于目標(biāo)跟蹤的模型數(shù)目n≤2時(shí)，可以計(jì)算得到唯一的πij；但當(dāng)模型數(shù)目因此n＞2時(shí)，通過式（4）、（5）只能得到在沒有額外約束條件時(shí)，無法獲得唯一的π［13］．由式（5）可知，πii僅僅依賴于E［πi］，與連續(xù)的系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)［8］，因此，計(jì)算模型傳遞矩陣的前提是E［πi］已知．

除此之外，IMM算法的第一步驟是計(jì)算交互初值和對(duì)應(yīng)的方差陣［7］，如式（6）、（7）所示.

以上分析發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)IMM存在兩個(gè)問題：

1）常值的模型傳遞矩陣僅依賴于逗留時(shí)間，而逗留時(shí)間無法事先預(yù)知，同時(shí)當(dāng)模型數(shù)目大于2并且沒有額外的約束條件時(shí)，模型傳遞矩陣不唯一.

2）子濾波器相關(guān)性信息被遺漏.

2 改進(jìn)的交互式多模型算法

2.1 最優(yōu)的模型傳遞矩陣

令模型傳遞概率為πij（k-1），交互概率為μi｜j（k-1），模型概率為μj（k-1），維數(shù)均為1×1；＾χj（k-1）為第j個(gè)子濾波器的狀態(tài)向量χj（k-1）的估計(jì)值，＾χ0j（k-1）為交互初值χ0j（k-1）的估計(jì)值，理想條件下，χ0j（k-1）即為狀態(tài)的真實(shí)值χ（k-1）．交互初值的誤差和第j個(gè)子濾波器的狀態(tài)估計(jì)誤差分別定義為：

在線性最小方差理論下，最優(yōu)交互初值為：

交互概率滿足如下表達(dá)式：

根據(jù)式（8）～（11）有

其中：

其中e＝[11…1]T．

?χ0j（k-1）的方差為

其中：

從式（15）可以看出，?P0j（k-1）利用了所有的協(xié)方差信息．為得到最優(yōu)的πij（k-1），將性能指標(biāo)設(shè)定為

其中tr（·）表示對(duì)各個(gè)分塊矩陣求跡．問題轉(zhuǎn)化為在約束條件式（14）下，式（16）取得最小值時(shí)，可以得到最優(yōu)的βj（k-1），從而解得最優(yōu)的πij（k-1）．令

則性能指標(biāo)改寫為

引入拉格朗日算子λ，構(gòu)建輔助函數(shù)f：

令

可得矩陣方程組

顯然，B（k-1）是一正定矩陣，則eTB-1（k-1），那么性能指標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為

由文獻(xiàn)［7］可知解得最優(yōu)的πij（k-1）為

其中：B-1（k-1）＝A（k-1）；

將式（21）代入式（15），最小的交互誤差方差陣：

2.2 OMTM?IMM算法

利用上一節(jié)中推導(dǎo)得到的最優(yōu)模型傳遞矩陣，則改進(jìn)后的OMTM?IMM算法步驟為：

Step 1 最優(yōu)模型傳遞矩陣更新

其中

Step 3 模型濾波.將＾χ0j（k-1）和?P0j（k-1）作為子濾波器的輸入，利用z（k）使子濾波器輸出估計(jì)值＾χj（k）和方差?Pjj（k），并計(jì)算似然函數(shù)為

Step 4 模型概率更新

Step 5 輸出交互

OMTM?IMM算法在每個(gè)濾波循環(huán)過程中增加了模型傳遞矩陣的計(jì)算步驟，并且在步驟2中交互初值方差陣?yán)昧怂凶訛V波器間的協(xié)方差信息.與傳統(tǒng)的IMM相比，該算法更多依賴于連續(xù)狀態(tài)的估計(jì)值充分利用更多有用信息.

3 算法精度分析

3.1 子濾波器精度分析

對(duì)于子濾波器j，定義狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差、狀態(tài)估計(jì)誤差和交互初值誤差分別為：

因此

假設(shè)?χj（k）與vj（k）不相關(guān)，則?χj（k）的方差為

依據(jù)文獻(xiàn)［18］，上式改寫為

由式（36）、（37）可得：

根據(jù)式（24），比較式（38）、（39），則

上式表明在最優(yōu)的模型傳遞矩陣下所有的子濾波器的估計(jì)精度都有所提高.

3.2 OMTM?IMM算法精度分析

定義量測(cè)z的生成子空間為L（z），OMTM?IMM算法得到的狀態(tài)估計(jì)值為，其生成子空間為，誤差方差陣為POMTM-IMM；同時(shí)IMM算法的狀態(tài)估計(jì)值為，生成子空間為，誤差方差陣為PIMM．那么為的集合（θ＝OMTM-IMM，IMM）．

在傳統(tǒng)的IMM算法中πij（k-1）為常值；交互初值的方差陣為式（7）.在OMTM-IMM算法中，πij（k-1）為變量；交互初值的方差陣為式（27），其中包含了所有子濾波器的相關(guān)性信息.因此傳統(tǒng)的IMM算法是OMTM-IMM算法的特例，那么

4 仿 真

考慮兩個(gè)飛行器的目標(biāo)跟蹤實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)A中逗留時(shí)間τi為已知，實(shí)驗(yàn)B中τi為未知.為簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)，這里只考慮水平方向的運(yùn)動(dòng)，則狀態(tài)X＝［PχVχPyVy］T分別為χ軸方向位置和速度、y軸方向的位置和速度．描述飛行器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的模型包括常速運(yùn)動(dòng)模型（constant velocity motion，CV）、常速左轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型（left constant turn motion，LCT）和常速右轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型（right constant turn motion，RCT），分別描述為

其中：T＝1 s；t＝0.1；ωl＝2π／180；ωr＝-2π／180．

實(shí)驗(yàn)A 飛行器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為CV-LCTRCT，每個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的逗留時(shí)間均為100 s，即τ1＝τ2＝τ3＝100 s.并假設(shè)模型傳遞矩陣每一行中的非對(duì)角線元素相等，那么，傳統(tǒng)IMM算法的模型傳遞矩陣為

OMTM-IMM算法的模型傳遞矩陣由式（22）計(jì)算得到.其中位置誤差δP＝速度誤差δV＝和為飛行器真實(shí)的位置和速度．蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)100次結(jié)果如圖1～3所示．

圖1 實(shí)驗(yàn)A跟蹤軌跡

圖2 實(shí)驗(yàn)A位置誤差和速度誤差

圖3 實(shí)驗(yàn)A模型概率

在t＝100 s和t＝200 s時(shí)，飛行器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化.圖1為兩種算法對(duì)真實(shí)軌跡的跟蹤圖，結(jié)合圖1中的局部放大圖和圖2表明，OMTMIMM算法的估計(jì)誤差明顯小于IMM算法.圖3顯示，OMTM-IMM算法在每一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，對(duì)應(yīng)模型的模型概率更接近于1，并且在狀態(tài)切換過程中存在較小的時(shí)間延遲.因此，在此實(shí)驗(yàn)條件下，OMTM-IMM算法具有更強(qiáng)的跟蹤能力，主要原因是該算法應(yīng)用了全部的協(xié)方差信息，避免了信息的遺漏.

實(shí)驗(yàn)B：飛行器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和逗留時(shí)間均未知，此時(shí)傳統(tǒng)的IMM算法無法計(jì)算得到模型傳遞概率.因此，在此假設(shè)模型傳遞概率與實(shí)驗(yàn)A中的一致.蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)100次結(jié)果如圖4～6所示.

圖4 實(shí)驗(yàn)B跟蹤軌跡

圖5 實(shí)驗(yàn)B位置誤差和速度誤差

圖6 實(shí)驗(yàn)B模型概率

圖4 、5表明，OMTM-IMM算法的估計(jì)精度仍然高于IMM算法.圖6顯示，IMM算法的模型概率已經(jīng)不能準(zhǔn)確描述當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且存在嚴(yán)重的滯后，OMTM-IMM算法仍能夠準(zhǔn)確的跟蹤飛行器的運(yùn)動(dòng)變化情況.主要的原因是IMM算法的模型傳遞矩陣不準(zhǔn)確，而OMTM-IMM算法的模型傳遞矩陣是由連續(xù)狀態(tài)估計(jì)值進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算的，能夠較準(zhǔn)確地描述當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

5 結(jié) 論

基于線性最小方差理論，推導(dǎo)了最優(yōu)的模型傳遞矩陣，以及對(duì)應(yīng)的交互初值誤差矩陣，從而提出了OMTM-IMM算法.該算法利用了所有的子濾波器相關(guān)性信息，并且能夠?qū)崟r(shí)準(zhǔn)確地跟蹤模型切換情況，進(jìn)而提高了飛行器目標(biāo)跟蹤的估計(jì)精度.理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)都印證了這一結(jié)論.

除了在本文條件下得到的OMTM-IMM算法以外，還可以考慮如下兩種情況：

1）πij（k-1）維數(shù)為1×1，將μj（k-1）擴(kuò)展為n×n維矩陣，模型概率可以區(qū)分每一維狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響.此時(shí)算法的估計(jì)精度較OMTM-IMM算法提高，但計(jì)算量變大.

2）將πij（k-1）和μj（k-1）均擴(kuò)展為n×n維矩陣，模型傳遞矩陣和模型概率都可以區(qū)分每一維狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響.此時(shí)算法的估計(jì)精度最高，但計(jì)算量最大.

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（編輯 苗秀芝）

Interacting multiple model algorithm with optimal mode transition matrix

ZHOU Weidong，CAI Jianan，SUN Long

（College of Automation，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China）

The traditional interacting multiple model（IMM）algorithm usually models the mode evolutions as Markov processes with constant mode transition matrix and leaves the correlative information among sub?filters out.However，because of the complexity of the practical application，the traditional IMM algorithm is unsuitable in aircraft tracking.To solve these problems，an optimal mode transition matrix IMM algorithm（OMTM?IMM）is presented.The new algorithm uses the linear minimum variance theory to calculate the optimal mode transition matrix according to the correlations between sub?filters.In this case，the new matrix further approaches the truth one，and the estimation accuracy can be improved.This conclusion can be support by the following theoretical derivation and simulations in aircraft tracking.

IMM；constant mode transition matrix；adaptable mode transition matrix；linear minimum variance theory；correlation

U666.12

：A

：0367-6234（2014）11-0101-06

2013-12-30.

國家自然科學(xué)基金（61374208）.

周衛(wèi)東（1966—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

蔡佳楠，happycaijianan＠163.com.