許 暢，王 聰，高晶波，張春芳

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院，150001哈爾濱)

在軌柔性結(jié)構(gòu)是指衛(wèi)星主體以外的柔性附件，包括太陽能帆板，天線等.這些柔性附件的自由振動具有低頻、密頻的特點［1-3］.在軌時飛輪或推力器工作會引起柔性附件長時間振動，產(chǎn)生低頻擾動力矩，給衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定性帶來了較大的影響［4-6］.柔性附件的模態(tài)參數(shù)對衛(wèi)星姿態(tài)控制和振動控制至關重要，但由于其尺寸較大，且在軌空間環(huán)境復雜，地面模態(tài)測試難以獲得所需精度，因此，在軌模態(tài)辨識方法受到越來越多的重視［7-9］.

傳統(tǒng)的位移/加速度傳感器由于設備復雜，會大大降低在軌結(jié)構(gòu)的可靠性，也增加了有效載荷的質(zhì)量和成本.同時，接觸性測量也會影響柔性結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能，數(shù)字攝像測量能在實現(xiàn)非接觸測量的同時保證較高的精度，而且能降低傳感器帶來的在軌設備復雜度和成本，是非常有前景的一種在軌響應測量方法.

攝影測量是基于專業(yè)攝像設備和數(shù)字圖像處理算法的測量技術，被廣泛應用于物體幾何尺寸和空間位置、姿態(tài)等測量.Chang等［10］對建筑結(jié)構(gòu)振動進行了攝像測量，采用數(shù)字圖像相關法進行測點特征匹配;Barrows［11］將攝像測量法用于風洞實驗模型形變的測量;Burner等［12］利用攝影測量技術進行了機翼形變測量;Ryall等［13］采用單相機測量法實現(xiàn)了對機翼的振動測量.在航天領域，NASA早在1996年就利用攝像測量技術獲得了和平號空間站太陽能帆板的在軌動力學特性［14］，1998年NASA還利用攝像測量法獲得了不同環(huán)境下哈勃望遠鏡太陽帆版的變形信息［15］，這些測量任務都是在航天飛機上完成的.對于大型星載天線，由于其結(jié)構(gòu)較太陽能帆板復雜，對攝像測量系統(tǒng)要求更高.國內(nèi)利用攝像測量進行結(jié)構(gòu)振動測試的文獻較少，一般只針對大型柔性附件進行有限元分析以獲得其在軌動態(tài)特性，其精度往往難以滿足要求.

本文提出一種基于數(shù)字攝像測量的柔性星載天線的在軌模態(tài)辨識方法，利用兩臺或以上攝像機測量柔性天線在軌動態(tài)響應，如圖1所示.其關鍵技術包括相機標定，像素提取和三維重構(gòu)及辨識算法等.利用天線模型和兩臺高速攝像機進行了實驗驗證，測得了各個測點的振動曲線，并成功地辨識出了天線模型前5階固有頻率和阻尼比，為在軌柔性結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識提供了一種有效的方法.

圖1 星載柔性天線在軌響應的攝像測量

1 雙目三維重構(gòu)技術

1.1 三維動態(tài)重構(gòu)

圖像三維重構(gòu)是指利用兩個或兩個以上相機對被測物進行成像，然后從圖像中獲得物體三維坐標的過程，過程中涉及4個坐標系，分別為:

1)世界坐標系——根據(jù)自然環(huán)境所選定的坐標系，坐標值用(Xw，Yw，Zw)表示;

2)圖像坐標系——坐標原點在CCD圖像平面的中心，X軸、Y軸分別為平行于圖像平面的兩條垂直邊，坐標值用(x，y)表示;

3)像素坐標系——坐標原點在CCD圖像平面的左上角，X軸、Y軸分別平行于圖像坐標系的X軸和Y軸，坐標值用(u，v)來表示;

4)光心坐標系——以相機的光心為坐標原點，X軸、Y軸分別平行于圖像坐標系的X軸和Y軸，相機的光軸為Z軸，坐標值用(Xc，Yc，Zc)表示.三維重構(gòu)的步驟是將像素坐標系轉(zhuǎn)換到圖像坐標系，再從圖像坐標系轉(zhuǎn)換到光心坐標系，最后由光心坐標系轉(zhuǎn)換到世界坐標系.最終像素坐標和世界坐標可由如下關系表述:

式中:(u0，v0)是圖像坐標系原點在像素坐標系中的坐標;(dx，dy)分別是像素坐標系在x方向和y方向相鄰像素間的距離;f為相機焦距;R和t是旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣.可將式(1)簡化成

式中:N為相機的內(nèi)部參數(shù)矩陣，包含了相機的焦距，像素單元距離等自身參數(shù);M為相機的外部參數(shù)矩陣，包括了相機安裝位置和角度等信息;Q為投影矩陣.通過兩個相機同時拍攝被測點，可以建立以下方程組:

當相機內(nèi)外參數(shù)Q1，Q2已知，則上式消去Zc1和Zc2后得到3個未知數(shù)4個方程，可解得被測點的世界坐標值，理論上采用的攝像機數(shù)目越多，得到的結(jié)果越精確.利用不同時刻拍攝得到的圖像序列，就可以得到測點的位移振動曲線，完成對測點的三維動態(tài)重構(gòu).

1.2 相機標定

將式(2)改寫成

相機的內(nèi)部參數(shù)包括f、(dx，dy)及(u0，v0)，內(nèi)參數(shù)標定方法有很多，本文采用張正友標定法［16］.當內(nèi)部參數(shù)已經(jīng)確定時，可以進行外部參數(shù)的標定，以下重點敘述用于三維重構(gòu)的相機外參數(shù)標定方法.

從式(4)可見內(nèi)部參數(shù)矩陣N為滿秩矩陣，令:αx=dx/f;αy=dy/f，用N-1左乘式(4)的兩邊并整理得

令k=αx(u-u0)，l=αy(v-v0)，M=Rt[ ]，進一步將式(5)改寫成

其中:(Xwi，Ywi，Zwi)是世界坐標系中的第i點坐標，(ki，li)是由對應的圖像像素坐標(ui，vi)的計算值.

將式(6)展開可得到如下3個方程:

將式(7)中的第3式分別代入上兩式消去Zci可得到如下兩個方程:

若在世界坐標系中取n個點，將會產(chǎn)生2n個方程，用矩陣形式寫出這些方程如下:

從式(9)可見，若已知世界坐標系中n個點的坐標，同時也知道各對應點在像素坐標系中的坐標，將式(9)兩邊同時除以m34(m34≠0)或取m34=1不影響方程的求解.式(9)可簡寫成

式中h，U分別為式(9)等號左側(cè)向量和右側(cè)向量除以m34后的向量.當2n＞11時，上式成為一個超定方程，其最小二乘解可用下式表示:

則數(shù)碼相機的外部參數(shù)矩陣與其有如下關系:

因R是正交矩陣，所以有

2 圖像角點檢測

在相機標定和三維重構(gòu)中，如何準確地得到測點的像素坐標是攝像測量的關鍵.當測點的灰度值與背景灰度值相差較大時，利用角點檢測算法可以準確地獲得測點的像素坐標，本文采用Harris角點檢測算法［17］對每一測點進行像素點提取.Harris角點檢測算法將每一像素點的相似度抽象為

式中:Ⅰx，y表示像素點(x，y)的灰度值，x，y分別為像素點在u，v方向的變化量，且

其中?為卷積算子.

因此，對于比較小的位移，E可表示為

式中:

為了解決響應噪聲的問題，算法引入一個平滑的高斯窗，通過對w的設定實現(xiàn)，其中

由式(9)Harris角點檢測區(qū)域變化式，E可以通過矩陣形式表現(xiàn)出來:

式中:

Harris算法的核心是計算矩陣M的特征值.M的兩個特征值分別指示了該像素點在X，Y兩個方向上的強度.若兩個值都很大，則該像素點可認為是角點，只有一個較大而另一個較小時則認為是邊緣點.在實際操作中，算法將M的兩個特征值進行混合運算得出單一的強度值，并取局部強度值的最大點為特征點.

綜上所述，利用數(shù)字攝像測量法測量在軌柔性結(jié)構(gòu)振動的步驟可以總結(jié)如下:

1)分別對兩個相機進行內(nèi)外參數(shù)的標定;

2)選擇合適的幀率對振動結(jié)構(gòu)進行動態(tài)拍攝;

3)利用角點檢測算法獲得測點的像素坐標;

4)利用三維重構(gòu)算法獲得測點的世界坐標;

5)利用測點不同時刻的世界坐標得到其位移振動曲線.

3 星載天線模型實驗

為驗證上述方法的可行性，對一個星載柔性桁架天線模型進行了振動測試，并利用測試結(jié)果，采用特征系統(tǒng)實現(xiàn)法(ERA)［18］對其進行了模態(tài)辨識.

星載天線模型示意圖如圖2所示，反射面直徑為750 mm，上下兩層之間距離為150 mm，兩層之間采用四根均勻分布直桿支撐，長度為150 mm.兩根長支撐桿之間距離為50 mm，支撐桿長度為700 mm，所用材料直徑均為3 mm，為了使其具有高柔性，低頻的特性，采用了低剛度材料.在天線模型外圈測點上粘貼標志點便于圖像處理，將天線支撐桿懸掛起來，兩臺高速攝像機一左一右放置于天線模型約1.5 m處，調(diào)節(jié)相機視場使其覆蓋模型上所有測點，實驗裝置相對位置關系如圖3所示.

圖2 星載天線模型

圖3 雙目攝像測量裝置

實驗步驟如下:

1)對相機進行標定時采用黑白相間的棋盤圖，如圖4所示.相機參數(shù)標定時采集標定板的多個位置的靜態(tài)圖片，找出每個圖像中的角點，根據(jù)每個角點已知的物理坐標關系，利用1.2節(jié)中的標定方法得到相機的內(nèi)外參數(shù).

圖4 相機內(nèi)外參數(shù)標定

2)保持相機位置不變，設置相機觸發(fā)模式與幀率，保證兩個相機同步觸發(fā).本實驗中，采用幀率150 fps進行圖像采集，即對應采樣頻率為150 Hz.

3)給定天線模型一個初始位移，同時觸發(fā)相機進行記錄，直至振動衰減.

4)保存圖像數(shù)據(jù)，用于分析處理.

利用相機標定方法求解出左側(cè)相機內(nèi)外參數(shù)矩陣分別為:

右側(cè)相機內(nèi)外參數(shù)矩陣分別為:

兩個相機在某一時刻得到的圖像如圖5、圖6所示.利用角點檢測算法獲得圖中18個測點的像素坐標.以4號測點為例，兩個相機圖像中的像素位移曲線分別如圖7～10所示.

圖5 某一時刻左側(cè)相機圖像

圖6 某一時刻右側(cè)相機圖像

圖7 左側(cè)相機4號側(cè)點X方向像素振動

圖8 左側(cè)相機4號側(cè)點Y方向像素振動

圖9 右側(cè)相機4號側(cè)點X方向像素振動

圖10 右側(cè)相機4號側(cè)點Y方向像素振動

采用三維動態(tài)重構(gòu)算法得到每個測點三自由度位移振動曲線，其中4號點三軸位移響應分別如圖11～13所示.

圖11 4號測點X方向振動位移

圖12 4號測點Y方向振動位移

圖13 4號測點Z方向振動位移

采用測得的天線模型上8個測點的振動響應，利用特征系統(tǒng)實現(xiàn)(ERA)法對天線模型進行模態(tài)參數(shù)辨識，得到其前5階固有頻率和阻尼比如表1所示，振型如圖14(a)～14(e)所示，從圖中可以看出，前三階表現(xiàn)為反射器整體變形，是連接桿的彎曲和扭轉(zhuǎn)所致，從第四階開始出現(xiàn)了反射器本身的扭轉(zhuǎn)變形.從表1中還可以看出，該天線模型固有頻率較低，且第二、三階頻率接近.因此，采用攝像測量法能有效地辨識低頻、密頻在軌柔性結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù).

表1 天線模型ERA辨識結(jié)果

圖14 天線模型前5階振型

4 誤差與精度分析

對天線進行模態(tài)分析的精度取決于成像系統(tǒng)分辨力、圖像處理算法和辨識算法等眾多因素.這里主要考慮攝像測量法特有的成像系統(tǒng)分辨力.成像系統(tǒng)對空間光學圖像的最小細節(jié)的分辨能力稱為成像分辨力，一般用圖像物面分辨率或成像系統(tǒng)角分辨率來衡量.對于具體的測量對象，鏡頭焦距、光敏傳感器芯片面積和成像物距決定了成像視場大小.當待測物體物距確定時，圖像物面分辨率給出了圖像中一個像素所代表的感興趣的物面尺寸大小，因此這時用圖像物面分辨率來衡量成像系統(tǒng)分辨率真具有直觀性.而對于成像物距不定或變化的情況，對于鏡頭焦距一定的成像系統(tǒng)，其視場角是確定的，此時則適合用角分辨率來衡量成像系統(tǒng)分辨率.

每個像素所代表物面空間的尺寸稱為圖像物面分辨率.設拍攝視場大小為W×H，攝像機分辨率為M×N(稱為硬件分辨率)，則圖像物面分辨率為

本次實驗拍攝視場大小為100 mm×100 mm，分辨率為512×512，由上式可得圖像物面分辨率為0.20 mm.角點檢測算法提取像素點精度為1個像素，因此，本實驗系統(tǒng)位移測量精度0.20/2=0.1 mm.為了提高拍攝精度，可以減小拍攝視場，或者提高相機分辨率，在相機與被測物距離受限時也可以通過長焦鏡頭減小視場.

測量中的誤差主要由圖像中存在的噪聲引起，這種噪聲不但影響測量過程，同時也會給標定帶來誤差.由于在軌和溫度環(huán)境的復雜性，圖像噪聲會比地面試驗中更大，需要采用合適的圖像處理算法濾除以獲得更精確地結(jié)果.

5 結(jié)語

針對大型柔性附件在軌模態(tài)辨識問題，提出了一種基于攝像測量的三維動態(tài)重構(gòu)方法.首先對相機進行內(nèi)外參數(shù)的標定，然后利用兩個相機同時記錄被測物的動態(tài)圖像，通過角點檢測算法獲得測點的像素坐標，再根據(jù)三維重構(gòu)算法得到測點的三維坐標，每一時刻測點三維坐標時間序列即是測點的三自由度位移振動曲線.利用天線模型和高速攝像機進行了地面驗證實驗，獲得了模型上各個測點的振動曲線并據(jù)此辨識出了模型的前5階模態(tài)參數(shù)，包括固有頻率，阻尼比和振型.本文所述攝像測量法設備簡單，可以根據(jù)實際測量要求選擇合適的相機參數(shù)，以達到精度要求.實驗表明，攝像測量法能有效地對大型柔性天線進行在軌模態(tài)辨識，且易于在軌實現(xiàn)，保證了衛(wèi)星系統(tǒng)的可靠性，是一種具有良好應用前景的在軌響應測量方法.

［1］司宏偉，李東旭，陳衛(wèi)東.大撓性航天桁架結(jié)構(gòu)動力學及其主動控制研究進展［J］.力學進展，2008，38(2):167-176.

［2］周舟，陸秋海，任革學，等.低密頻太陽能帆板動力學參數(shù)在軌辨識和振動控制［J］.工程力學，2004，21(3):84-89.

［3］黃文虎，曹登慶，韓增堯.航天器動力學與控制的研究進展與展望［J］.力學進展，2012，42(4):367-394.

［4］張逸群，段寶巖，李團結(jié).基于濾波的柔性可展開天線展開過程控制方法［J］.機械工程學報，2012，48(3):180-188.

［5］游斌弟，趙志剛，李文博，等.空間熱載荷作用下星載天線耦合動態(tài)影響分析［J］.振動與沖擊，2012，31(17):61-66.

［6］GENG L H，XIAO D Y，WANG Q，et al.Attitudecontrol model identification of on-orbit satellites actuated by reaction wheels［J］.Acta Astronautica，2010，66(5):714-721.

［7］ANTHONY T，ANDERSEN G.On-orbit modal identification of the hubble space telescope［C］//American Control Conference， 1995. Proceedings of the IEEE.Piscataway:IEEE，1995，1:402-406.

［8］趙壽根，程偉，孫國江，等.航天器動力學特性參數(shù)在軌辨識技術［J］.北京航空航天大學學報，2005，31(9):999-1003.

［9］黨朝輝，項軍華.超低軌衛(wèi)星氣動參數(shù)及轉(zhuǎn)動慣量在軌實時辨識［J］.上海航天，2012，29(5):20-24.

［10］CHANG C C，JI Y F.Flexible videogrammetric technique for three-dimensional structural vibration measurement［J］.Journal of Engineering Mechanics，2007，133(6):656-664.

［11］BARROWS D A.Videogrammetric model deformation measurement technique for wind tunnel applications［C］//45th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhitbit.Reston VA:AIAA，2007:AIAA 2007-1163.

［12］BURNER A W，LIU T.Videogrammetric model deformation measurement technique［J］.Journal of Aircraft，2001，38(4):745-754.

［13］RYALL T G，F(xiàn)RASER C S.Determination of structural modes of vibration using digital photogrammetry［J］.Journal of Aircraft，2002，39(1):114-119.

［14］GILBERT M G，WELCH S S.STS-74/MIR photogrammetric appendage structural dynamics experiment［R］.Washington DC:NASA，1996.

［15］SAPP C A，DRAGG J L，SNYDER M W，et al.Photogrammetric assessment of the hubble space telescope solar arrays during the second servicing mission:final report［R］.Washington DC:NASA，1998.

［16］ZHANG Z.A flexible new technique for camera calibration［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2000，22(11):1330-1334.

［17］HARRIS C，STEPHENS M.A combined corner and edge detector［C］//Proceedings of the Fourth Alvey Vision Conference.Sheftield:University of Sheffield，1988:147-151.

［18］JUANG J N，PAPPA R S.An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction［J］.Journal of Guidance， Control， and Dynamics，1985，8(5):620-627.