馬慶鵬，魏英杰，王聰，趙成功

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001哈爾濱)

運(yùn)動(dòng)體高速入水過(guò)程中，在其運(yùn)動(dòng)軌跡上將形成一個(gè)由空氣和空化產(chǎn)生的水蒸氣構(gòu)成的空腔，稱為入水空泡.隨著運(yùn)動(dòng)體不斷向下運(yùn)動(dòng)，入水空泡不斷拉長(zhǎng)，其徑向也將呈現(xiàn)出先擴(kuò)張、后收縮的趨勢(shì).與此同時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)體速度較高，在撞擊水面以后，其頭部將承受較大的沖擊載荷并隨著速度的衰減不斷降低.入水空泡的形態(tài)及入水沖擊載荷都與運(yùn)動(dòng)體的尺寸、頭型有著密切聯(lián)系，對(duì)于高速入水問(wèn)題的研究，多采用實(shí)驗(yàn)與理論方法相結(jié)合的方法開(kāi)展.文獻(xiàn)［1］以口徑12.7 mm及14.5 mm穿甲彈為主要研究對(duì)象，開(kāi)展了以800～1 070 m/s初始速度入水的實(shí)驗(yàn)，研究了高速入水空泡發(fā)展、潰滅的發(fā)展規(guī)律及流體載荷，并從能量守恒角度給出了預(yù)測(cè)空泡半徑的公式.文獻(xiàn)［2］在文獻(xiàn)［1］基礎(chǔ)上提出了空泡深閉合的理論分析方法，對(duì)初始速度為500～1 500 m/s的球體入水空泡發(fā)展過(guò)程開(kāi)展了相關(guān)研究，并與基于LSDYNA的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果吻合較好.

文獻(xiàn)［3］基于 Besant(1859)-Rayleigh(1917)空泡壓力平衡理論，將空泡流場(chǎng)看做有勢(shì)流，推導(dǎo)得到空泡半徑隨時(shí)間變化的方程.對(duì)于球體和圓柱體入水空泡發(fā)展的理論求解結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得到了較好的一致性.文獻(xiàn)［4］將文獻(xiàn)［5］提出的獨(dú)立擴(kuò)張?jiān)韺?duì)小型運(yùn)動(dòng)體傾斜入水過(guò)程的空泡形態(tài)進(jìn)行了預(yù)測(cè)和分析，并將理論分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，二者具有較高的一致性.文獻(xiàn)［6-7］利用二級(jí)輕氣炮、高速攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)設(shè)備，開(kāi)展了初始入水速度在100～600 m/s范圍內(nèi)的小型運(yùn)動(dòng)體水平入水實(shí)驗(yàn)，對(duì)比分析了運(yùn)動(dòng)體入水速度、深度的變化規(guī)律，并基于文獻(xiàn)［3］的理論分析模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，獲得了較好的一致性.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，通過(guò)CFD(computational fluid dynamics)方法對(duì)入水問(wèn)題開(kāi)展數(shù)值模擬，得到較為精確的空泡形態(tài)及載荷數(shù)據(jù).文獻(xiàn)［8］基于雷諾時(shí)均的Navier-Stokes方程，并采用k-ε湍流模型及三維動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，對(duì)航行體入水過(guò)程的空泡形態(tài)及流體動(dòng)力開(kāi)展數(shù)值模擬研究，分析了空泡形態(tài)的發(fā)展規(guī)律及阻力系數(shù)、升力系數(shù)、俯仰力矩系數(shù)等流體動(dòng)力系數(shù)，為下一步入水彈道的研究提供了輸入?yún)?shù).文獻(xiàn)［9-10］等通過(guò)求解雷諾平均的Navier-Stokes方程，針對(duì)小型運(yùn)動(dòng)體在低速(10～50 m/s)條件下的入水問(wèn)題開(kāi)展了數(shù)值模擬研究，分析了入水空泡發(fā)展規(guī)律，并研究了大氣壓強(qiáng)對(duì)入水空泡面閉合的影響規(guī)律.

目前國(guó)內(nèi)對(duì)入水問(wèn)題的數(shù)值模擬研究多基于低速條件下(＜50 m/s)，本文基于有限體積法，求解雷諾平均的Navier-Stokes方程，對(duì)帶有錐頭的圓柱體以500 m/s的較高速度垂直自由入水問(wèn)題開(kāi)展了數(shù)值模擬研究.針對(duì)帶有3種不同角度錐頭的圓柱體模型，分析了入水彈道、空泡半徑及流場(chǎng)特性與頭型的關(guān)系，并通過(guò)理論方法進(jìn)行了驗(yàn)證分析.

1 數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)［2］認(rèn)為，對(duì)于初始速度＜700 m/s的入水問(wèn)題，可以忽略流體可壓縮性的影響，因此，本文數(shù)值模擬假設(shè)流體不可壓縮，忽略入水過(guò)程中由于流體黏性產(chǎn)生的熱耗散，考慮運(yùn)動(dòng)體高速入水引起的空化效應(yīng).對(duì)于氣、汽、液組成的多相流動(dòng)，本文采用VOF法進(jìn)行求解.VOF多相流模型將多相流體看作密度可變的單相介質(zhì)，對(duì)流體微團(tuán)中的各相構(gòu)成采用體積分?jǐn)?shù)來(lái)表示，任一流體微團(tuán)三相體積分?jǐn)?shù)滿足:

式中αg、αv、αl分別為氣相、水蒸汽相及水相體積分?jǐn)?shù).

混合相的連續(xù)性方程為

混合相的動(dòng)量守恒方程為

式中:ui為速度分量;ρm、μm分別為混合相的密度和動(dòng)力黏度;μt=ρmCμk2/ε為混合相的湍流黏度系數(shù).ρm、μm表達(dá)式分別為

根據(jù)伯努利方程，在運(yùn)動(dòng)體高速穿過(guò)水域時(shí)，將在周?chē)纬梢粋€(gè)低壓區(qū)，當(dāng)壓力低于飽和蒸汽壓時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生空化現(xiàn)象.本文采用Schnerr and Sauer空化模型對(duì)流動(dòng)中的空化問(wèn)題進(jìn)行求解，該模型描述水蒸汽相體積分?jǐn)?shù)的輸運(yùn)方程為

式中:RB=1×10-6m為瑞利方程中的氣核半徑;αnuc=5×10-4為不可凝結(jié)氣體的體積分?jǐn)?shù);Fvap=50和Fcond=0.001為經(jīng)驗(yàn)常數(shù).

對(duì)于流動(dòng)中的湍流現(xiàn)象，本文采用文獻(xiàn)［11］提出的k-ωSST湍流模型對(duì)流體控制方程進(jìn)行封閉求解.該模型綜合了k-ε模型對(duì)充分發(fā)展湍流求解的優(yōu)勢(shì)和k-ω模型的近壁面穩(wěn)定性特點(diǎn)，并加入了渦黏度限制方程，能夠更恰當(dāng)?shù)拿枋鐾牧骷羟袘?yīng)力的傳輸.

2 數(shù)值計(jì)算

2.1 計(jì)算模型及網(wǎng)格劃分

本文針對(duì)帶有3種不同角度圓錐頭型的圓柱體高速入水問(wèn)題開(kāi)展了數(shù)值模擬研究，運(yùn)動(dòng)體幾何外形如圖1(a)所示，柱段直徑D=10 mm，柱段長(zhǎng)度L=5D，錐頭錐角分別為60°、90°、127°，初始入水速度均為vp|t=0=500 m/s.同時(shí)，為排除質(zhì)量的影響，3種外形的運(yùn)動(dòng)體質(zhì)量取相同數(shù)值.計(jì)算流場(chǎng)外形采用圓柱體，計(jì)算域二維剖面圖如圖1(b)所示，其中x軸為重力方向，y軸為徑向方向.由于入水速度較高，為排除壁面邊界對(duì)運(yùn)動(dòng)體附近流場(chǎng)影響，計(jì)算域直徑取值Dd=100D.計(jì)算域總高度為230D，其中空氣域高度為32D，水域高度為198D.初始時(shí)刻，保證運(yùn)動(dòng)體肩部位置相同，肩部拐點(diǎn)距自由液面高度約為2.25D.

由于運(yùn)動(dòng)體及外流場(chǎng)外形均為軸對(duì)稱體，本文采用二維軸對(duì)稱模型開(kāi)展計(jì)算，運(yùn)動(dòng)體附近網(wǎng)格如圖2所示.3種頭型條件下采用相同的網(wǎng)格劃分方法.運(yùn)動(dòng)體附近為空泡形成區(qū)域，流動(dòng)較為復(fù)雜，對(duì)于這一區(qū)域的網(wǎng)格劃分，首先在運(yùn)動(dòng)體徑向6D、軸向2D范圍內(nèi)使用三角形網(wǎng)格加密過(guò)渡，運(yùn)動(dòng)體壁面首層網(wǎng)格高度為D/400，加密區(qū)最外層網(wǎng)格高度為D/20，加密區(qū)外為過(guò)渡四邊形網(wǎng)格，其中沿x軸負(fù)向?yàn)镈/20高度均布，沿徑向及x軸正向按一定比例均勻過(guò)渡.3 種條件下(θ=60°、90°、127°)網(wǎng)格數(shù)量分別為282 502、275 768、273 284.

圖1 運(yùn)動(dòng)體及計(jì)算域示意

圖2 運(yùn)動(dòng)體附近網(wǎng)格

2.2 數(shù)值計(jì)算及動(dòng)網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)

本文采用有限體積法對(duì)離散RANS方程，壓力及速度場(chǎng)的求解采用PISO(pressure-implicit with splitting operators)算法［12］，這種算法既具有與迭代的隱式算法相同的精度，又可以取較大的時(shí)間步長(zhǎng);對(duì)壓力場(chǎng)的空間離散采用PRESTO!格式實(shí)現(xiàn);單元內(nèi)各相體積率離散采用CICSAM格式.計(jì)算中嵌入U(xiǎn)DF自編程語(yǔ)句，實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)體沿重力方向的垂直自由運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，網(wǎng)格的更新與生成采用動(dòng)態(tài)層法實(shí)現(xiàn).

動(dòng)態(tài)層法的主要思想是預(yù)設(shè)合并或分裂新網(wǎng)格的網(wǎng)格高度臨界值，當(dāng)緊靠運(yùn)動(dòng)邊界的網(wǎng)格高度低于或超出臨界值時(shí)，合并或分裂動(dòng)態(tài)層網(wǎng)格來(lái)實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的更新.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中:hj為運(yùn)動(dòng)邊界的網(wǎng)格高度;hideal為預(yù)設(shè)的網(wǎng)格更新臨界高度;αc、αs分別為網(wǎng)格層合并因子及分裂因子.

網(wǎng)格合并和分裂過(guò)程如圖3所示，圖3(a)、(b)分別為臨近運(yùn)動(dòng)邊界網(wǎng)格層被壓縮和拉伸的過(guò)程.圖3(a)中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)邊界向上運(yùn)動(dòng)，網(wǎng)格高度hj滿足式(1)時(shí)，第j層網(wǎng)格被壓縮并與第i層合并;在圖3(b)中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)邊界向下運(yùn)動(dòng)，網(wǎng)格高度hj滿足式(2)時(shí)，第j層網(wǎng)格就分裂為兩層新的網(wǎng)格.

圖3 動(dòng)態(tài)層網(wǎng)格更新方法

由于空氣域及產(chǎn)生空泡的區(qū)域流動(dòng)較為復(fù)雜，為保證該區(qū)域計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，運(yùn)動(dòng)體后部網(wǎng)格更新高度均為0.5 mm，即D/20，從而保證該區(qū)域網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布保持不變，以提高結(jié)果的精確性.

3 結(jié)果分析

3.1 入水彈道

圖4為3種頭型條件下運(yùn)動(dòng)體入水速度vp及入水深度的變化曲線，其中，對(duì)入水深度H進(jìn)行了量綱一的處理(H/D).可以看出，角度不同的錐頭運(yùn)動(dòng)體，入水后速度衰減趨勢(shì)基本一致，但是速度值有較大差別.錐角越小，阻力系數(shù)越小，速度衰減更緩慢，在相同的入水時(shí)刻入水深度也更大.隨著入水深度的增加，運(yùn)動(dòng)體速度逐漸降低，阻力也隨之減小，因此在入水初期速度衰減較快，然后逐漸放緩.

圖4 不同頭型運(yùn)動(dòng)體入水彈道曲線

3.2 空泡形態(tài)

圖5給出了3種頭型條件下，不同時(shí)刻的入水空泡形態(tài)，其中，對(duì)空泡半徑R進(jìn)行了量綱一的處理(R/ro).可以看出，由于3種頭型阻力系數(shù)不同，每種時(shí)刻下，運(yùn)動(dòng)體的入水深度也有明顯的差別，因此在接近運(yùn)動(dòng)體端面位置空泡形態(tài)產(chǎn)生了交叉.4種時(shí)刻下，入水空泡形態(tài)均表明，頭部錐角越大，上方同一深度處空泡半徑越大，而空泡整體輪廓發(fā)展規(guī)律則保持一致.

圖6、7給出了3種頭型運(yùn)動(dòng)體在4種不同入水深度及4種不同瞬時(shí)速度時(shí)的入水空泡形態(tài).從圖6、7可以看出，當(dāng)入水深度相同時(shí)，頭部錐角越大，同一深度處的空泡半徑越大.當(dāng)入水瞬時(shí)速度相同時(shí)，頭部錐角越小，其入水深度越深，同一深度空泡半徑也越大;另一方面，自由液面處空泡半徑基本相同.

圖5 不同時(shí)刻下空泡形態(tài)對(duì)比

圖6 不同入水深度下空泡形態(tài)對(duì)比

為進(jìn)一步分析3種頭型對(duì)入水空泡形態(tài)的影響，在相關(guān)文獻(xiàn)基礎(chǔ)上對(duì)入水空泡半徑的影響因素進(jìn)行分析.

文獻(xiàn)［2］從能量守恒的角度給出了入水空泡半徑預(yù)測(cè)公式，其基本假設(shè)條件為流體不可壓縮，忽略流體黏性引起的能量損耗及重力勢(shì)能，得出運(yùn)動(dòng)體入水過(guò)程的動(dòng)能損失量等于排開(kāi)水的動(dòng)能及壓力勢(shì)能之和.式(3)給出了t時(shí)刻距自由液面距離為xb深度的空泡半徑表達(dá)式.

式中:tb為運(yùn)動(dòng)體到達(dá)xb深度的時(shí)刻;r0為運(yùn)動(dòng)體特征半徑;A(xb)、B(xb)為引入變量，其表達(dá)式為

圖7 不同瞬時(shí)速度下空泡形態(tài)對(duì)比

將式(4)、(5)代入式(3)，可以得到

忽略重力影響，由牛頓第二定律可得

式中:A0為運(yùn)動(dòng)體特征面積;Cdx=Cd0+σ［13］為運(yùn)動(dòng)體阻力系數(shù);為空化數(shù);Cd0為空化數(shù)為零時(shí)的阻力系數(shù).

將式(7)代入式(6)，式(6)右側(cè)可改寫(xiě)為

對(duì)于本文研究，在自由液面處，近似取xb=0、tb=0，并考慮到，式(6)可表達(dá)為

由于vp(0)=vp|t=0為已知量，因此從式(8)可以看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)體特征面積一定時(shí)，在自由液面處，影響空泡半徑的主要因素為運(yùn)動(dòng)體阻力系數(shù)及入水時(shí)間.進(jìn)一步，考慮入水前期空泡擴(kuò)張階段，此階段入水時(shí)間較小，可略去pg(0)/(ρlN)及t2兩項(xiàng)相對(duì)高階小量，則式(8)可表達(dá)為

由式(9)可以得到，對(duì)于本文3種頭型條件下入水問(wèn)題，vp(0)可近似認(rèn)為均等于初始入水速度500 m/s.因此，在同一時(shí)刻，3種頭型入水過(guò)程中，自由液面處空泡半徑主要取決于項(xiàng)，即運(yùn)動(dòng)體的阻力系數(shù).

根據(jù)式(9)，對(duì) 3種頭型情況下，從入水0.3～1.0 ms這8種時(shí)刻自由液面處空泡半徑數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行分析，得到了各工況下C0=的值，如圖8所示，其中各頭型阻力系數(shù)Cd0由文獻(xiàn)［14］得到，如表1所示.

圖8 不同頭型各時(shí)刻C0

表1 文獻(xiàn)［14］中不同錐角在水中阻力系數(shù)

從圖8可以看出，對(duì)于同一錐角運(yùn)動(dòng)體，不同時(shí)刻下的C0隨著入水時(shí)間的增大而呈現(xiàn)出逐漸增大的趨勢(shì);對(duì)于θ=60°及θ=90°的情況，C0在稍微上升后又呈現(xiàn)出下降的趨勢(shì)，通過(guò)對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的分析發(fā)現(xiàn)，在C0最大時(shí)刻附近是空泡發(fā)生了表面閉合，這表明，表面閉合對(duì)空泡半徑的擴(kuò)張有一定的影響.對(duì)于不同錐角運(yùn)動(dòng)體，當(dāng)入水時(shí)間相同時(shí)，錐角較大時(shí)，C0也較大.

通過(guò)以上分析可以看出，對(duì)于同一錐角的入水問(wèn)題，C0的值近似等于某一常數(shù)，對(duì)于不同的入水時(shí)刻，其大小在一定的誤差范圍內(nèi);對(duì)于不同的錐角，C0有一定的差異.這表明式(8)簡(jiǎn)化至式(9)時(shí)有一定的誤差，對(duì)于不同錐角大小，省略部分有一定的差異.

此外，通過(guò)常數(shù)C0的表達(dá)式可知，入水后在相同時(shí)刻下，阻力系數(shù)越大，自由液面處空泡半徑越大.對(duì)于本文研究的3種不同頭型，錐角較大時(shí)，阻力系數(shù)也較大，因此圖5中，在同一時(shí)刻，錐角為127°時(shí)空泡半徑最大，90°錐角次之，60°錐角時(shí)空泡半徑最小.

3.3 壓力場(chǎng)分布

圖9為3種頭型運(yùn)動(dòng)體入水過(guò)程錐頭頂點(diǎn)量綱一的壓力曲線.從圖9(a)可以看出，3種頭型條件下，壓力變化規(guī)律保持一致，在峰值上稍有差別.圖9(b)為入水初期0.2 ms以內(nèi)的局部放大曲線，可以清晰地看出，頭部錐角越大，入水壓力峰值也越高，θ=127°時(shí)可達(dá)到約4 000倍大氣壓力.不同頭型條件下，入水沖擊壓力峰值脈寬基本相同，約為0.02 ms.在該壓力峰值之后，3種條件下的壓力值趨于一致，但此時(shí)，錐角較小時(shí)，壓力值較高，這是由于在相同的入水時(shí)刻下，錐角較小時(shí)運(yùn)動(dòng)體的瞬時(shí)速度較高，頭部也相應(yīng)承受更大的壓力.

圖9 不同頭型運(yùn)動(dòng)體入水過(guò)程錐頭頂點(diǎn)壓力變化曲線

圖10給出了3種頭型運(yùn)動(dòng)體入水速度衰減為300 m/s時(shí)錐頭母線壓力系數(shù)曲線.壓力系數(shù)Cp表達(dá)式為

式中:p為當(dāng)?shù)貕毫?p∞為無(wú)窮遠(yuǎn)處環(huán)境壓力;vp為運(yùn)動(dòng)體速度.

由圖10可以看出，3種頭型下，運(yùn)動(dòng)體錐頭母線位置壓力系數(shù)趨勢(shì)相同，距離錐頭頂端量綱一的距離(l/l0)越小，壓力系數(shù)越大，在母線末端與柱體連接處，壓力系數(shù)值在0附近.此外，對(duì)比3條曲線可知，在相同的速度下，錐角越大，運(yùn)動(dòng)體頭部壓力系數(shù)越大.這表明，錐頭角度對(duì)運(yùn)動(dòng)體入水時(shí)受到的壓力載荷有較大的影響.

圖10 速度為300 m/s時(shí)錐頭母線壓力系數(shù)

3.4 速度場(chǎng)分布

圖11給出了運(yùn)動(dòng)體在水下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度衰減為300 m/s時(shí)流場(chǎng)速度矢量分布.首先，可以看出，在運(yùn)動(dòng)體肩部附近，排開(kāi)水的速度最大，而空泡壁位置速度較小，且越接近自由液面，速度值越小.這表明，運(yùn)動(dòng)體后方空泡擴(kuò)張受到周?chē)黧w靜壓的作用，擴(kuò)張速度逐漸減小;其次，對(duì)比3種頭型肩部位置流體速度值可以看出，不同錐角條件下，排開(kāi)水的速度值也有較大區(qū)別，錐角較大時(shí)，排開(kāi)水的速度也較高.這表明運(yùn)動(dòng)體與前方流體撞擊分離時(shí)損失的能量因?yàn)轭^型的不同而有較大差異，頭型阻力系數(shù)較大時(shí)，能量傳遞較大，周?chē)w獲得的動(dòng)能較高，向徑向排開(kāi)的速度也較大.

圖11 300 m/s速度時(shí)運(yùn)動(dòng)體周?chē)翱张荼谒俣仁噶糠植?/p>

4 結(jié)論

1)錐角不同時(shí)，其入水后速度衰減及彈道也有較大差異，錐角越大，其速度衰減也越快，相同時(shí)間內(nèi)運(yùn)行距離越短.

2)入水空泡半徑與頭型直接相關(guān)，對(duì)于不同頭型的運(yùn)動(dòng)體，入水空泡半徑的主要影響因素為阻力系數(shù)Cd0，對(duì)于同一錐角的頭型，在自由液面處，空泡半徑r(0，t)近似滿足)結(jié)果為一常數(shù);對(duì)于不同的錐角，角度越大，Cd0越大，得到的C0也越大.

3)入水初期，運(yùn)動(dòng)體受到極強(qiáng)的沖擊載荷，壓力峰值可達(dá)數(shù)千倍大氣壓力，且錐角越大，壓力峰值越高.

4)相同速度條件下，錐角不同，錐體母線壓力系數(shù)趨勢(shì)相同，但在壓力系數(shù)數(shù)值上，錐角越大時(shí)，壓力系數(shù)也越大.

5)運(yùn)動(dòng)體在水下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其肩部附近排開(kāi)水速度遠(yuǎn)大于后方空泡擴(kuò)張速度，空泡擴(kuò)張速度受周?chē)w影響較大;在相同速度下，錐角較大時(shí)，肩部排開(kāi)水的速度也較大.

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