黃尚鵬

(監(jiān)利縣朱河中學 湖北 荊州 433325)

題目:如圖1，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L.導軌上端接有一平行板電容器，電容為C.導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面.在導軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g.忽略所有電阻.讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求:

(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；

(2)金屬棒的速度大小隨時間變化的關系.

圖1

1 問題的提出

金屬棒從靜止開始下滑,其在磁場中運動切割磁感線將產(chǎn)生感應電動勢,金屬棒相當于電源,電容器被充電.由于“忽略所有電阻”,故電容器兩極板電壓U恒等于金屬棒產(chǎn)生的感應電動勢ε，即U=ε=BLv.顯然，“忽略所有電阻”是本題的一個關鍵條件，也是一個特殊條件，即本題給出的是一種理想化的物理過程.若金屬棒的電阻不能忽略，設其電阻為R，本題還能用初等方法得出金屬棒的運動規(guī)律嗎？

2 問題的解決

筆者經(jīng)過深入研究，發(fā)現(xiàn)這種情況用初等方法無法求解，必須借助高等數(shù)學工具才能得出一般情況下金屬棒的運動規(guī)律，請看下文.

F=mgsinθ-μmgcosθ

由牛頓第二定律及歐姆定律

(1)

(2)

由于電容器被充電，q增大，故

(3)

式(2)兩邊對時間求導，得

由式(1)和(3)知，上式可化為

(4)

式(4)是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，其有如下形式的特解:q=kt，將特解代入式(4)，得

解得

故特解

式(4)對應的齊次微分方程為

其特征方程為

解得

λ1=0

故式(4)的通解為

則

由初始條件

故

C1+C2=0

解得

故

(5)

則

(6)

將式(5)、(6)代入式(2)，得

(7)

則

(8)

故當t→∞時

(9)

3 結(jié)束語

原題，即“忽略所有電阻”時，金屬棒運動的加速度恒為

而一般情況下，即金屬棒的電阻不能忽略時，由式(8)、式(9)知，金屬棒運動的加速度逐漸減小，且穩(wěn)定狀態(tài)時金屬棒運動的加速度等于“忽略所有電阻”時金屬棒做勻加速運動的加速度.

參考文獻

1 梁燦彬,秦光戎,梁竹健.普通物理學教程·電磁學(第1版).北京:高等教育出版社,1980

2 中國科學技術大學高等數(shù)學教研室編.高等數(shù)學導論(第3版).合肥:中國科學技術大學出版社,2007