秦詩月，陳淮莉

(上海海事大學(xué)物流研究中心，上海 201306)

考慮需求替代的部分短缺量拖后采購模型

秦詩月，陳淮莉

(上海海事大學(xué)物流研究中心，上海 201306)

研究了缺貨情形下價(jià)格折扣的部分短缺量拖后以及客戶需求替代對(duì)最優(yōu)采購量及折扣定價(jià)的影響。分別對(duì)單一產(chǎn)品和存在需求替代的多產(chǎn)品情形建立了拖后短缺量與折扣價(jià)格成正線性相關(guān)的多周期批量訂貨的混合整數(shù)規(guī)劃模型。使用優(yōu)化軟件對(duì)模型進(jìn)行求解，得出優(yōu)惠折扣帶來的短缺量拖后有利于避免部分客戶需求流失，從而增加利潤。驗(yàn)證了該模型的有效性和科學(xué)性。

部分短缺量拖后;需求替代;多周期;動(dòng)態(tài)價(jià)格折扣

現(xiàn)實(shí)生活中，當(dāng)零售商產(chǎn)品缺貨時(shí)，部分顧客會(huì)選擇購買同類型的其他產(chǎn)品，另外部分客戶會(huì)放棄購買，除非得到足夠的補(bǔ)償，只有極少數(shù)的客戶愿意等待。電子、軟件等產(chǎn)品更新速度較快，存在一定的生命周期，新產(chǎn)品的出現(xiàn)容易使顧客轉(zhuǎn)移或減少，顧客因?yàn)槿必浂艞壻徺I帶來的需求流失會(huì)給零售商帶來較大的損失。目前已有不少文章針對(duì)短缺量拖后問題進(jìn)行了相關(guān)研究。Ding等［1］提出零售商可以從需求管理的角度出發(fā)，利用折扣定價(jià)來引導(dǎo)需求，補(bǔ)償顧客的等待成本，提高顧客保留需求的積極性。這樣可以減少需求流失以及部分庫存持有成本，從而獲得最大利潤，同時(shí)減少顧客忠誠度的流失，實(shí)現(xiàn)客戶與零售商的雙贏。Yücel等［2］則發(fā)現(xiàn)同類型的多種產(chǎn)品之間會(huì)存在不同程度的替代關(guān)系，缺貨時(shí)部分對(duì)時(shí)間更為敏感的客戶會(huì)選擇同類型其他產(chǎn)品替代該產(chǎn)品以滿足需求。因此，如何在零售商缺貨情形下設(shè)置合理的價(jià)格折扣及每次批量采購的數(shù)量有重要的指導(dǎo)意義。

目前相關(guān)的文獻(xiàn)多集中在對(duì)短缺量拖后以及需求替代的單方面研究。例如，皮星等［3］提出一種易腐品的供應(yīng)商管理庫存模型，考慮了需求指數(shù)的時(shí)變情況。何偉等［4］構(gòu)造了一個(gè)與銷售價(jià)和等待時(shí)間相關(guān)的短缺量拖后率的促銷商品庫存模型。趙林等［5］研究了允許短缺部分拖后條件下變質(zhì)性物品的聯(lián)合定價(jià)與訂貨模型。但上述研究均未考慮客戶驅(qū)動(dòng)的需求替代影響。對(duì)于消費(fèi)者的需求替代行為，官振中等［6］討論了在庫存驅(qū)動(dòng)的兩種產(chǎn)品相互替代情形下零售商的定價(jià)策略。陳淮莉等［7］研究了通過合理的折扣對(duì)即將到期的多周期生鮮產(chǎn)品進(jìn)行打折出售并確定訂貨批量以確保零售商獲取最大利潤的模型。劉曉峰等［8］討論面對(duì)策略型消費(fèi)者時(shí)，廠商如何在確定性和不確定性需求情形下確定自己的庫存和制定相應(yīng)的價(jià)格。徐賢浩等［9］考慮策略消費(fèi)者和非策略消費(fèi)者并存的細(xì)分市場，研究限量策略實(shí)施的條件。

本文基于Ding［1］的短缺拖后量與折扣價(jià)格呈一定的相關(guān)關(guān)系的思想，借鑒Yücel等［2］從需求和供給角度建立的產(chǎn)品均衡公式，將需求細(xì)分為原始需求和替代需求，并對(duì)一組隨機(jī)的需求分布進(jìn)行模擬;基于陳淮莉等［7］提出的模型的構(gòu)造思想，綜合考慮了短缺量拖后以及顧客驅(qū)動(dòng)的需求替代2個(gè)因素，分別建立了單產(chǎn)品的短缺量拖后模型和存在庫存驅(qū)動(dòng)的替代關(guān)系的多產(chǎn)品短缺量拖后模型。同時(shí)，本文假設(shè)拖后短缺量與零售商提供的價(jià)格折扣成正比，從而求得多周期下產(chǎn)品的最優(yōu)折扣以及批量采購量。

1 模型建立

本文主要研究在消費(fèi)者需求替代行為下，考慮部分短缺量拖后的動(dòng)態(tài)折扣定價(jià)策略時(shí)的批量訂貨問題。數(shù)學(xué)規(guī)劃模型以零售商利潤最大化為目標(biāo)，假定接受拖后的需求與價(jià)格折扣成正相關(guān)關(guān)系，在服從隨機(jī)分布的市場需求數(shù)據(jù)下確定商品的最優(yōu)采購數(shù)量，研究最優(yōu)折扣對(duì)零售商的采購及折扣定價(jià)的影響。模型主要分為單一產(chǎn)品和具有替代關(guān)系的多產(chǎn)品2種情形下的批量訂貨模型。

1.1 模型描述

庫存系統(tǒng)采用周期性檢查并及時(shí)補(bǔ)充的策略。假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)有時(shí)刻0到時(shí)刻n的n個(gè)連續(xù)的周期。為簡化問題，模型假定零售商在每個(gè)周期的期初瞬時(shí)補(bǔ)貨而不考慮訂貨提前期因素。當(dāng)產(chǎn)品缺貨時(shí)，零售商提供價(jià)格折扣優(yōu)惠，從而會(huì)有部分對(duì)價(jià)格更為敏感的顧客接受取貨時(shí)間上的一定延遲而出現(xiàn)部分短缺量拖后。假設(shè)第t周期出現(xiàn)缺貨狀況時(shí)，接受折扣價(jià)格的客戶需求會(huì)在t+1周期被滿足，每一期的訂貨量和折扣價(jià)格是決策變量。

1.2 單一產(chǎn)品的批量訂貨模型

零售商在每個(gè)周期期初訂貨，即在t周期的t－1時(shí)刻瞬時(shí)訂貨，t=1，2，…，n。當(dāng)t=1時(shí)，時(shí)刻0到時(shí)刻1為第1周期。對(duì)于每一周期市場的隨機(jī)需求量，本文模型假設(shè)服從泊松分布［7］。每個(gè)周期t的訂貨量Qt及產(chǎn)品的折扣率Yt為決策變量。為保證模型的有效性，設(shè)定B0=0，I0=0，Bn=0。單一產(chǎn)品訂貨批量模型如表1所示。

表1 單一產(chǎn)品批量訂貨模型的集合與變量

模型的目標(biāo)函數(shù)為零售商一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)的最大利潤，主要為收益減去訂貨成本、缺貨損失成本以及庫存成本。假設(shè)每個(gè)周期零售商面對(duì)的外部隨機(jī)市場需求服從泊松分布［7］，具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)由計(jì)算機(jī)根據(jù)泊松分布生成進(jìn)行運(yùn)算。約束(1)表示收益，包括當(dāng)期產(chǎn)品按正常價(jià)格出售的銷售收益和用于滿足短缺拖后量的銷售收益。約束(2)為采購成本。約束(3)為客戶流失成本，即需求流失的懲罰成本。約束(4)為庫存持有成本。約束(5)從產(chǎn)品市場的需求角度將每期市場需求細(xì)分為可滿足原始需求量xot、缺貨情形下的拖后短缺量Bt以及放棄購買量St。約束(6)表示當(dāng)產(chǎn)品缺貨時(shí)，部分客戶會(huì)放棄購買，部分對(duì)價(jià)格更為敏感的客戶會(huì)選擇優(yōu)惠價(jià)格延期購買。約束(7)從產(chǎn)品的供給平衡方面分析將每期的采購量細(xì)分為上一期的延期購買量Bt和當(dāng)期可滿足需求量xot(即被滿足的當(dāng)期需求)兩部分。約束(8)為延期購買量約束。約束(9)為當(dāng)期可滿足需求量約束。約束(10)給出了零售商的最大庫存控制。約束(11)為供應(yīng)商采購量約束。約束(12)表示每期采購量要優(yōu)先滿足上一期的延期購買量。約束(13)表明滿足拖后短缺量需求的優(yōu)惠價(jià)格不得低于采購成本。約束(15)為變量約束。約束(16)表示拖后短缺量期望值與折扣率之間的函數(shù)關(guān)系，其中拖后短缺量折扣率系數(shù)b為大于0的常數(shù)，當(dāng)折扣力度越大(即Y越大)時(shí)，拖后短缺量越大。

1.3 多產(chǎn)品的批量訂貨模型

現(xiàn)實(shí)中零售商每一期需要訂購多種同質(zhì)性產(chǎn)品。從市場需求角度來說，顧客可選擇性增多，但客戶存在的替代需求行為給零售商的訂貨和定價(jià)決策的制定增加了難度，因而考慮零售商多產(chǎn)品的訂貨批量和定價(jià)問題是必要的。與單一產(chǎn)品的情況類似，為實(shí)現(xiàn)最低程度的客戶流失以獲取最大利潤，零售商在每個(gè)周期的期初訂貨，優(yōu)先彌補(bǔ)上一期的拖后短缺量。但不同的是，當(dāng)本期出現(xiàn)缺貨時(shí)，顧客可選擇商家提供的折扣優(yōu)惠延遲購買產(chǎn)品，也可能會(huì)選擇購買其他同質(zhì)品。在多產(chǎn)品模型中，產(chǎn)品維度表示同種系列的多種產(chǎn)品。假設(shè)總的需求量均衡，各種產(chǎn)品的市場隨機(jī)需求均服從泊松分布，同種系列的不同產(chǎn)品之間存在替代關(guān)系。此外，由于本文側(cè)重研究缺貨情形下基于客戶的替代選擇以及短缺量拖后存在時(shí)如何制定最優(yōu)采購量及定價(jià)使得目標(biāo)利潤最大化，所以相對(duì)其他成本來說較低的單位產(chǎn)品的庫存持有成本在模型中暫不考慮。為保證模型的有效性，約束:Bi，n= 0;Bi，0= 0;Ii，0=0。第t期產(chǎn)品i的訂貨量Qi，t及第t期產(chǎn)品i的折扣Yi，t為決策變量。多產(chǎn)品訂貨批量模型如表2所示。

表2 多產(chǎn)品批量訂貨模型的集合與變量

如上述模型所述，目標(biāo)函數(shù)同樣表示為零售商運(yùn)營一個(gè)計(jì)劃期內(nèi)多個(gè)周期的最大利潤，即收益減去采購成本、缺貨損失成本。模型考慮了存在替代關(guān)系的多種產(chǎn)品，假設(shè)同質(zhì)的多產(chǎn)品在市場的總需求是固定的，且每種產(chǎn)品在每個(gè)周期內(nèi)的隨機(jī)市場需求服從泊松分布。約束(17)將總收益分為當(dāng)期產(chǎn)品按正常價(jià)格出售的銷售收益、用于滿足短缺拖后量的銷售收益以及某種產(chǎn)品用于替代其他缺貨產(chǎn)品需求而帶來的額外收益。約束(18)和(19)表示采購成本及客戶流失成本。約束(20)定義缺貨量的構(gòu)成。約束(21)從供給角度描述了產(chǎn)品的均衡，即期末庫存與采購量之和是用于滿足上一期的拖后量加上本期的第一原始需求量以及被某些客戶用于替代其他缺貨產(chǎn)品的需求，出現(xiàn)剩余時(shí)會(huì)有期末庫存。約束(22)從需求角度描述了產(chǎn)品的市場需求分別由可滿足需求量、缺貨情形下的放棄購買量及接受優(yōu)惠價(jià)格的拖后短缺量、被其他產(chǎn)品替代從而滿足需求的數(shù)量幾部分組成。約束(23)表示第t期產(chǎn)品i的被替代量與延遲量之和不超過產(chǎn)品i的當(dāng)期缺貨量。約束(24)表示當(dāng)產(chǎn)品出現(xiàn)剩余時(shí)才可用于替代其他產(chǎn)品。約束(25)～(29)的意義同約束(9)～(13)。同樣，約束(30)表示拖后短缺量期望值與折扣率之間的函數(shù)關(guān)系，即折扣價(jià)和能夠售出量的期望值之間存在的函數(shù)關(guān)系，其中bi為大于零的常數(shù)，E(Bi，t)為打折后能夠出售量的期望值。約束(31)表明只有存在替代關(guān)系的產(chǎn)品之間才能夠替代。(34)為變量約束。

2 算例分析

為了驗(yàn)證模型的有效性，本文使用優(yōu)化軟件LINGO9.0針對(duì)以上提出的單一產(chǎn)品和多產(chǎn)品的兩個(gè)模型進(jìn)行算例求解和數(shù)據(jù)分析。對(duì)于單產(chǎn)品模型，假設(shè)隨機(jī)的市場需求服從均值為100的泊松分布，且產(chǎn)量服從均值為100的均勻分布。為反映市場趨勢，本文選取了10個(gè)代表性周期，主要參數(shù)值如表3所示。在多產(chǎn)品模型中，本文主要考慮了5種可相互替代的同質(zhì)性產(chǎn)品，并假定5種產(chǎn)品的市場需求服從均值分別為80，120，80，120和100的泊松分布，產(chǎn)品供給量服從均值分別為90，120，90，110，100的均勻分布。同樣選取具有代表性的10個(gè)周期，主要參數(shù)值如表4所示。

表3 單一產(chǎn)品模型的主要參數(shù)設(shè)值

表5為單一產(chǎn)品模型的計(jì)算結(jié)果。分別列舉了在假設(shè)前提下程序運(yùn)行的每一期的訂貨量Q(t)、拖后短缺商品的折扣率Y(t)以及拖后短缺量B(t)的計(jì)算結(jié)果。表6為多產(chǎn)品模型中5種產(chǎn)品各自的訂貨量、折扣率以及拖后短缺量的計(jì)算結(jié)果。

表4 多產(chǎn)品模型的主要參數(shù)設(shè)值

表5 單一產(chǎn)品模型的計(jì)算結(jié)果

表6 多產(chǎn)品模型的計(jì)算結(jié)果

圖1對(duì)比了單產(chǎn)品模型中存在短缺量拖后與否對(duì)放棄購買量即零售商流失的客戶需求的變化趨勢的影響。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn):存在部分短缺量拖后時(shí)會(huì)挽留部分客戶需求流失從而使利潤增加。在對(duì)多階段訂貨問題的研究中，當(dāng)出現(xiàn)缺貨情形時(shí)，顧客只能選擇放棄購買或是選擇同類型的其他產(chǎn)品替代，零售商較少考慮短缺量拖后，從而導(dǎo)致大量客戶流失，造成無形損失(在此體現(xiàn)為放棄購買懲罰成本增多)。圖1中的期望利潤的比較較為明顯地證明了部分短缺量拖后的有效性及科學(xué)性。圖2對(duì)比了在最大采購能力及庫存能力不變的情況下，隨著平均需求量的增加存在的短缺量拖后與否對(duì)利潤的影響。因?yàn)槟Ｐ椭性O(shè)置了最大供應(yīng)商供應(yīng)能力SP及庫存能力g，所以當(dāng)市場的平均需求量不斷增多時(shí)，本案例中為滿足流失需求增多導(dǎo)致懲罰成本增大使得圖中的總利潤曲線呈下降趨勢。圖3給出了單產(chǎn)品模型中隨著短缺量拖后系數(shù)b的變化，預(yù)期利潤、放棄購買懲罰成本以及短缺量拖后的商品收益的變化。對(duì)于同樣的折扣優(yōu)惠，拖后短缺量越大，流失的客戶需求越小，從而使利潤增多。因而在實(shí)際銷售過程中，當(dāng)顧客對(duì)于折扣比時(shí)間更為敏感時(shí)，短缺量拖后能給零售商帶來較大的利潤增長。圖4分析了多產(chǎn)品模型中訂貨能力(供應(yīng)商能提供的最大訂貨量)以及庫存容量改變對(duì)零售商總利潤的影響，橫坐標(biāo)表示每種產(chǎn)品的訂貨能力及庫存容量均以20%為單位增加或減少，曲線上相鄰兩點(diǎn)間線段的斜率是相應(yīng)訂貨能力增量的邊際利潤。當(dāng)訂貨能力或庫存能力過低時(shí)，零售商會(huì)損失大量的銷售機(jī)會(huì)，進(jìn)而損失大量的利潤;當(dāng)訂貨能力或庫存能力過高時(shí)，其增量的邊際利潤降低，甚至為0，會(huì)導(dǎo)致較低的投資效益。

圖1 放棄購買量比較

圖2 批貨定量決策的利潤比較

圖3 短缺量拖后系數(shù)對(duì)利潤、放棄購買懲罰成本及拖后的商品收益的影響

圖4 訂貨能力和庫存容量對(duì)期望利潤值的影響

3 結(jié)束語

本文綜合考慮了缺貨情形下通過價(jià)格折扣產(chǎn)生短缺量拖后從而挽回部分客戶需求以及客戶對(duì)于同質(zhì)品的需求替代行為，根據(jù)單一產(chǎn)品和存在替代的多產(chǎn)品兩種情形建立了短缺量拖后與折扣價(jià)格成正線性相關(guān)的多周期批貨定量模型，從而給出零售商的最優(yōu)訂貨批量以及最優(yōu)折扣定價(jià)。通過研究發(fā)現(xiàn)，優(yōu)惠價(jià)格帶來的短缺量拖后有利于避免部分客戶需求流失，從而增加利潤，且客戶對(duì)價(jià)格比對(duì)時(shí)間的敏感度越大，利潤越高。另外，本文進(jìn)行了利潤對(duì)于供應(yīng)商供貨能力以及零售商庫存能力的靈敏度分析，對(duì)零售商分配適當(dāng)?shù)膸齑婺芰σ约坝嗀浤芰τ幸欢ㄖ笇?dǎo)意義。多產(chǎn)品模型中因?yàn)楫a(chǎn)品大多處于缺貨情形，導(dǎo)致可替代量相對(duì)較小，所以未在本文列出。

本文的局限是只考慮了產(chǎn)品間庫存驅(qū)動(dòng)的替代，未考慮價(jià)格驅(qū)動(dòng)的替代，未來可進(jìn)一步考慮折扣價(jià)格對(duì)替代量的影響。此外，本文未對(duì)顧客進(jìn)行差異化分析，未考慮針對(duì)不同客戶群體對(duì)價(jià)格、時(shí)間及其他因素的不同敏感性而提供差異化折扣配給策略。

［1］Ding Q，Kouvelis P，Milner J M.Dynamic pricing for multiple class deterministic demand fulfillment［J］.IIE Transactions，2007，39(11):997－1013.

［2］Yücel E，Karaesmen F，Salman F S，et al.Optimizing product assortment under customer－driven demand substitution［J］.European Journal of Operational Research，2009，199(3):759－768.

［3］皮星，孟衛(wèi)東，黃波，等.短缺量拖后率與價(jià)格折扣相關(guān)變質(zhì)品VMI模型［J］.工業(yè)工程與管理，2010，15 (1):21－24.

［4］何偉，徐福緣.需求依賴庫存且短缺量部分拖后的促銷商品庫存模型［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2013，33(10):2950－2953.

［5］趙林，俞能福.短缺部分拖后的變質(zhì)性物品的聯(lián)合定價(jià)與訂貨模型［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，33(2):308－312.

［6］官振中，任建標(biāo).價(jià)格和庫存驅(qū)動(dòng)替代的兩產(chǎn)品動(dòng)態(tài)定價(jià)策略［J］.系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2012，22(2):177－184.

［7］陳淮莉，韓偉.基于保質(zhì)期約束的生鮮品訂貨批量以及定價(jià)決策研究［J］.工業(yè)工程與管理，2013，18(3): 19－23.

［8］劉曉峰，黃沛.基于策略型消費(fèi)者的最優(yōu)動(dòng)態(tài)定價(jià)與庫存決策［J］.管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2009，12(5):18－26.

［9］徐賢浩，陳雯，彭紅雯.基于策略消費(fèi)者行為和市場細(xì)分的聯(lián)合定價(jià)庫存策略［J］.中國管理科學(xué)，2012，20 (6):78－86.

(責(zé)任編輯 楊黎麗)

An EOQ Model with Demand Substitution and Partial Backlogging

QIN Shi－yue，CHEN Huai－li
(Logistics Research Center，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China)

Optimal order quantity and the best discount prices considering partial backlogging and demand substitution in the period of shortage was studied in this paper.The multi－cycle EOQ model that the backlogging rate is dependent on the price discount which the buyer offers to his customer in the period of shortage is established，and a set of examples were analyzed to show the application of the model.The partial backlogging caused of the discount can increase the profit for saving the customers＇demand is founded though the optimization software and to verify the validity and scientificity of the model.

partial backlogging;demand substitution;multi－cycle;dynamic price discounts

O 21;F274

A

1674－8425(2014)05－0132－07

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.05.025

2014－02－25

上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(12ZR1412800);上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(12YZ119)

秦詩月(1990—)，女，湖北黃岡人，碩士研究生，主要從事采購與供應(yīng)鏈管理、高級(jí)計(jì)劃與排程等研究;陳淮莉(1971—)，女，安徽合肥人，博士，教授，主要從事供應(yīng)鏈管理、高級(jí)計(jì)劃與排程等研究。

秦詩月，陳淮莉.考慮需求替代的部分短缺量拖后采購模型［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014 (5):132－138.

format:QIN Shi－yue，CHEN Huai－li.An EOQ Model with Demand Substitution and Partial Backlogging［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(5):132－138.