申建平，孫菲，黃敏

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶401331)

基于M-Copula-GJRSK-M模型的滬深兩市的相依性分析*

申建平，孫菲，黃敏

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶401331)

金融資產(chǎn)不但存在方差風(fēng)險(xiǎn)，還存在時(shí)變偏度風(fēng)險(xiǎn)和時(shí)變峰度風(fēng)險(xiǎn)，這使得僅從金融資產(chǎn)的前兩階矩出發(fā)來研究風(fēng)險(xiǎn)變化顯得十分局限。GJRSK-M模型是描述金融資產(chǎn)的高階矩風(fēng)險(xiǎn)的有效工具，可對單個(gè)金融資產(chǎn)的分布進(jìn)行擬合，而M-Copula函數(shù)能連接組合金融資產(chǎn)的邊緣分布，因此本文建立了M-Copula-GJRSK-M模型來研究滬深兩股票市場的相依性。實(shí)證表明，上證綜指和深圳成指對數(shù)收益率存在高階矩風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)的非對稱性，即指數(shù)下跌時(shí)，條件方差風(fēng)險(xiǎn)和條件高階矩風(fēng)險(xiǎn)會增大，且在極端情況下，兩市上漲的概率要大于下跌的概率。

M-Copula函數(shù);GJRSK-M模型;高階矩風(fēng)險(xiǎn)

一、引言

Samuelson［1］在1970年指出:不但可能而且應(yīng)該在更高階矩意義下去探討組合投資及風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避問題。Lim(1989)［2］討論三階矩資產(chǎn)的定價(jià)問題;Jondeau(2003)［3］利用基于非中心t分布提出了廣義自回歸條件偏度、峰度模型(GARCHSK); Davies等(2004)［4］利用多項(xiàng)式目標(biāo)規(guī)劃的方法確定均值-方差-偏度-峰度有效前沿;Leon (2005)［5］等給出了基于正態(tài)密度的Gram-Charlier展開的GARCHSK模型;2006、2007［6，7］年許啟發(fā)和張世英給出了一元GARCHSK模型的整套建模方法，提出了一個(gè)新的高階矩波動模型——NAGARCHSK-M，并用此模型度量了高階矩風(fēng)險(xiǎn)的動態(tài)特征、考察了時(shí)變高階矩風(fēng)險(xiǎn)對金融投資決策的影響;蔣翠俠(2007)［8］利用高階矩風(fēng)險(xiǎn)測度給出了高階矩風(fēng)險(xiǎn)的動態(tài)組合投資策略;張世英和蔣翠俠(2008)［9］將Copula函數(shù)和GARCHSK模型相結(jié)合解決了高階矩建模中出現(xiàn)的“維數(shù)災(zāi)難”問題;王鵬等(2009)［10］提出了一種新的自回歸條件異方差-偏度-峰度模型(GJRSK-M)模型，并驗(yàn)證了它的預(yù)測能力優(yōu)于其他高階矩模型。而以上文獻(xiàn)多數(shù)文獻(xiàn)僅對單一金融資產(chǎn)建模，并對單一資產(chǎn)的高階矩風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評估預(yù)測，沒有涉及資產(chǎn)間的相關(guān)性風(fēng)險(xiǎn)問題;雖有少量的文獻(xiàn)對金融資產(chǎn)的多維高階矩建模，但是沒有能夠克服由此帶來的“維數(shù)災(zāi)難”問題，而采用Copula技術(shù)能夠?qū)⒉煌愋头植嫉倪吘夁B接成一個(gè)新的多元分布，并且能夠?qū)⒍嘣植嫉慕７纸獬蛇吘壏植嫉慕：拖嚓P(guān)結(jié)構(gòu)建模兩部分，從而解決上述問題;又因部分文獻(xiàn)中Copula-NAGARCHSK-M模型體系的NAGARCHSK-M模型不能很直觀、明確地對經(jīng)濟(jì)含義進(jìn)行解釋，而GJRSK-M模型能很好克服這一毛病，并且GJRSK-M可以很方便地將一些可能的波動解釋變量納入分析框架內(nèi)。因此，本文選用GJRSK-M模型刻畫資產(chǎn)組合的邊緣分布，以反映單個(gè)資產(chǎn)價(jià)格波動的高階矩風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)變性和非對稱性，再結(jié)合混合Copula函數(shù)建立M-Copula-GJRSK-M模型來研究組合資產(chǎn)的相依結(jié)構(gòu)并展開實(shí)證研究。實(shí)證表明，該建模方法效果良好，能有效地解決組合資產(chǎn)的相依性問題。

二、Copula函數(shù)的相關(guān)理論知識

Sklar定理［11］:令H(，)為具有邊緣分布函數(shù)F(．)和G(．)的聯(lián)合邊緣分布函數(shù)，那么存在一個(gè)Copula函數(shù)C(·，·)，滿足:

H(x，y)=C(F(x)，G(y))(1)

若F(．)和G(．)連續(xù)，則C(·，·)唯一確定;反之，若F(．)和G(．)為一元分布函數(shù)，C(·，·)為相應(yīng)的Copula函數(shù)，那么由式(1)定義的函數(shù)H(·，·)是具有邊緣分布F(．)和G(．)的聯(lián)合分布函數(shù)。Gunble Copula函數(shù)［12］的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為:

Gumble Copula函數(shù)的密度函數(shù)具有非對稱性，其密度分布呈“J”字形，即上尾高下尾低。分布函數(shù)對分布變量在分布上尾部的變化十分敏感，能夠快速地捕捉到上尾相關(guān)的變化，但難以捕捉到下尾的相關(guān)的變化。Clayton Copula函數(shù)［12］的分布函數(shù)和密度函數(shù)分布為:

Clayton Copula的密度函數(shù)具有非對稱性，其分布呈“L”字形，即上尾低下尾高。故函數(shù)對變量在分布下尾的變化十分敏感，能夠快速捕捉到下尾相關(guān)的變化，但卻對上尾的變化不敏感。Frank Copula函數(shù)［12］的分布函數(shù)和密度函數(shù)分布為:

其中λ為相關(guān)系數(shù)，λ≠0。λ＞0表示隨機(jī)變量u與v正相關(guān)，λ→0表示隨機(jī)變量趨向于獨(dú)立，λ＜0表示隨機(jī)變量u與v負(fù)相關(guān)。Frank Copula的密度分布呈“U”字形，具有對稱性，因此無法捕捉到隨機(jī)變量間非對稱的相關(guān)關(guān)系。

以上三種阿基米德Copula函數(shù)，涵蓋了相關(guān)結(jié)構(gòu)變化的各種情況，但由于金融市場之間的相關(guān)關(guān)系是變化的，不會拘泥于某種特定的模式，因此很難用一個(gè)簡單的Copula函數(shù)，如Gumble、Clayton和Frank Copula函數(shù)來全面地刻畫金融市場之間的相關(guān)模式。因此本文選用三者的線性組合來構(gòu)造混合Copula函數(shù)，記作M-Copula函數(shù)［12］，其表達(dá)式為

其中wG、wCl、wF均大于等于0，wG+wCl+wF= 1;MC3表示由三個(gè)Copula函數(shù)的線性組合組成的混合Copula函數(shù)，CG、CCl和CF分別表示Gumble、Clayton和Frank Copula函數(shù)，wG、wCl和wF為相應(yīng)的Copula函數(shù)的權(quán)重系數(shù)。

三、GJRSK-M模型

王鵬(2009)［10］等人提出了一個(gè)新的自回歸條件方差模型GJRSK-M模型，并通過樣本外預(yù)測方法研究表明此模型比現(xiàn)有的高階矩波動模型有更強(qiáng)的預(yù)測能力。模型的形式如下:

式(9)中Et－1(rt)為基于t－1時(shí)刻的條件期望收益;D(0，ht，St，kt)為包含均值、方差、偏度、峰度的任一分布;{ηt}為經(jīng)過條件標(biāo)準(zhǔn)差調(diào)整的殘差序列，它是一個(gè)獨(dú)立同分布(i．i．d)的隨機(jī)變量序列;It－1為t－1時(shí)刻的信息集;α1、α2、α3分別為條件方差方程、條件偏度方程、條件峰度方程中的杠桿效應(yīng)系數(shù);Ψt－1，i為引入的啞變量;p1、q1、p2、q2、p3、q3分別為滯后的階。在(9)式中，GJRSK-M模型中四個(gè)方程都為線性形式，而條件方差、條件偏度和條件峰度的杠桿效應(yīng)是通過各自的方程中增加符號啞變量進(jìn)行刻畫的，并且在各個(gè)方程中以線性形式增加其他可能的解釋變量，使得其能更加全面地考察收益率高階矩序列的時(shí)變特征。

四、M-Copula-GJRSK-M模型的建立

為了捕捉資產(chǎn)價(jià)格或收益的高階矩風(fēng)險(xiǎn)以及波動的非對稱性，許啟發(fā)(2006)［6］在GARCH-M模型的基礎(chǔ)上，建立了NAGARCHSK-M模型。王鵬等(2009)［10］提出了自回歸條件異方差-偏度-峰度模型(GJRSK-M)，并研究了中國股市的條件方差、條件偏度和條件峰度的波動效應(yīng)持續(xù)性和杠桿效應(yīng)。當(dāng)方差和峰度增加時(shí)，收益波動和極端值出現(xiàn)的概率增大，投資者應(yīng)該為承擔(dān)的這部分風(fēng)險(xiǎn)而要求獲得更高的利益，因此應(yīng)該有α1≥0和α3≥0;而在其他條件不變的情況下，投資者喜歡收益偏度為正的投資組合，而討厭收益偏度為負(fù)的投資組合，因此應(yīng)該有α2≤0。對于方差的杠桿效應(yīng)，我們用β3，i來刻畫，若β3，i＞0，則存在方差杠桿效應(yīng)。由于金融出現(xiàn)負(fù)收益的頻率和幅度常常大于正收益，會使收益負(fù)偏度的絕對值增大，這一偏度杠桿效應(yīng)，可以用γ3，i來刻畫，若這一效應(yīng)存在，則γ3，i＞0。絕對值較大的負(fù)收益經(jīng)常出現(xiàn)，會使得收益極值出現(xiàn)的概率大于正態(tài)分布下極端值出現(xiàn)的概率，使得收益分布的峰度增加，即為峰度杠桿效應(yīng)。故本文研究資產(chǎn)組合之間相依結(jié)構(gòu)特征時(shí)，利用GJRSK-M模型刻畫組合資產(chǎn)的邊緣分布，以反映單個(gè)資產(chǎn)價(jià)格波動的高階矩風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)變性和非對稱性，再結(jié)合M-Copula函數(shù)理論建立M-Copula-GJRSK-M模型對動態(tài)高階矩風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行計(jì)量，討論高階矩之間的相互關(guān)系。以下為N個(gè)資產(chǎn)的M-Copula-GJRSK-M模型表達(dá):

式(10)中對各個(gè)資產(chǎn)的邊緣分布的建模采用了(9)式，用M-Copula函數(shù)將各個(gè)邊緣分布進(jìn)行連接，得到(10)式。其中Et－1(rt)為t－1直到時(shí)刻的信息集It－1上條件期望價(jià)格或收益，是金融資產(chǎn)不受風(fēng)險(xiǎn)影響的基本回報(bào)，αn，1、αn，2和αn，3分別為各資產(chǎn)的方差、偏度和峰度的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià);Dn(0，1，sn，t，kn，t)是第n個(gè)邊緣分布的任意分布，因此可和的分布對應(yīng)的偏度和峰度分別為各資產(chǎn)方差方程、偏度方程和峰度方程中的杠桿效應(yīng)參數(shù)，p1、q1、p2、q2、p3、q3分別為滯后的階數(shù)。

模型由五組方程組成:均值方程、方差方程、偏度方程、峰度方程和相依結(jié)構(gòu)方程，在波動方程中引入度量各資產(chǎn)價(jià)格波動過程中出現(xiàn)的杠桿效應(yīng);在均值方程中引入高階矩的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)之后，能夠衡量各資產(chǎn)單位風(fēng)險(xiǎn)變化對資產(chǎn)價(jià)格和收益的影響;通過M-Copula函數(shù)來捕捉各資產(chǎn)間的相依結(jié)構(gòu)，因?yàn)樗詒n，t是ηn，t的單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)Copula函數(shù)理論，(η1，t，…，ηN，t)和(r1，t，…，rN，t)有相同的Copula函數(shù)C。因此(η1，t，…，ηN，t)的相依結(jié)構(gòu)即是(r1，t，…，rN，t)的相依結(jié)構(gòu)。

(一)模型參數(shù)估計(jì)

模型(10)的參數(shù)估計(jì)分為兩部分，第一部分為對GJRSK-M模型的估計(jì)，本文應(yīng)用文獻(xiàn)［10］的方法，即運(yùn)用正態(tài)分布的Gram-Charlier展開并在四階矩處截?cái)啵梢垣@得:

其中，φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，θ(·)為(11)式中的多項(xiàng)式部分。對殘差分布的偏度和峰度的估計(jì)等價(jià)于對上式條件密度函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)。但是，由于多項(xiàng)式中的φ(·)可能取值為負(fù)，導(dǎo)致會取得負(fù)值;另外，g(·)在定義域上的積分可能不等于1，因此Leon對的定義式做了一定的修正，得到條件密度函數(shù):

(二)模型檢驗(yàn)

對M-Copula函數(shù)對模型擬合度的檢驗(yàn)，參考Hu(2002)［13］提出的利用一個(gè)服從χ2分布的M經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來評價(jià)Copula函數(shù)的擬合度，具體實(shí)施步驟如下:令{ui}和{vi}(i=1，…，T)都服從i．i．d．(0，1)均勻分布序列，它們是根據(jù)估計(jì)得到的邊緣分布，對觀測序列{xi}和{vi}進(jìn)行概率積分變換之后得到。構(gòu)造一個(gè)包含k×k個(gè)單元格的表格G，表格中處于第i行、第j列的單元格記作G(i，j)，表示一個(gè)下界為［(i－1)/k，(j－1)/k］、上界為(i/k，j/k)的概率組合，其中k的選取根據(jù)樣本總體和觀測點(diǎn)的總數(shù)來確定，既保證有足夠多的單元格用于模型擬合度的評價(jià)，又要保證每個(gè)單元格中有足夠多的觀測點(diǎn)。對于任何一點(diǎn)(ui，vi)，若(i－1)/k≤ui＜i/k且(j－1)/k≤vi＜j/k，則點(diǎn)(ui，vi)∈G(i，j);若用Ai，j表示落在單元格G(i，j)內(nèi)的實(shí)際觀測點(diǎn)個(gè)數(shù)，用Bi，j表示由模型預(yù)測得到的落在單元格G(i，j)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)(即預(yù)測頻數(shù))，其中i，j=1，2，…，k，則評價(jià)Copula函數(shù)對模型擬合度的χ2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量M表示為:

統(tǒng)計(jì)量M服從自由度為(k－1)2的χ2分布。

五、實(shí)證研究

(一)數(shù)據(jù)選取與基本特征

本文選取上證綜指和深證成指的收盤價(jià)為研究對象，將它們分別記為SH和SZ。日收盤價(jià)的對數(shù)收益率{RLt}定義公式為:RLn，t=ln Pn，tln Pn，t－1，其中為收盤價(jià)序列，n代表滬市和深市，t=1，2，…，T，選取的樣本時(shí)間段是19980928—20120323，本文使用Eviews6．0和Matlab R22010a進(jìn)行計(jì)算。

表1 SH和SZ的對數(shù)收益率序列的基本統(tǒng)計(jì)量

由表1可以看出上證綜指與深圳成指對數(shù)收益率序列具有以下特征:(1)樣本峰度都遠(yuǎn)大于3，表明上證綜指與深圳成指對數(shù)收益率呈現(xiàn)明顯的尖峰厚尾性;(2)Jarque－Bera正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的值遠(yuǎn)大于臨界值5．99，表明序列的分布不是正態(tài)分布;(3)波動具有聚集性和左偏性。

(二)模型估計(jì)及檢驗(yàn)

應(yīng)用Gram-Charlier展開的準(zhǔn)極大似然估計(jì)方法對GJRSK-M模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì):(1)均值方程SH和ZH的估計(jì)結(jié)果中系數(shù)α1分別為－1．423 5 (－1．423 6)和0．294 6(0．294 6)統(tǒng)計(jì)不顯著，說明在滬深兩市中，不存在明顯的方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)現(xiàn)象;而系數(shù)α2為0．000 9(4．273 6)和－0．000 4 (－4．873)，α3為0．000 6(12．748)和0．000 6 (13．259)是顯著的，說明兩市存在明顯的偏度和峰度風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)現(xiàn)象，且偏度的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)要大于峰度的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)?？梢钥吹溅?＞α2＞α3，如果α1是顯著的，則意味著投資者要將方差風(fēng)險(xiǎn)視為是最重要的，承擔(dān)方差風(fēng)險(xiǎn)理應(yīng)獲得的較高的回報(bào)，但也不能忽略偏度和峰度風(fēng)險(xiǎn)。(2)方差方程中系數(shù)都是顯著的，SH和ZH估計(jì)方程中的β2為0．948 7和0．955 6比β1(0．086 5和0．075 8)大得多，說明波動主要由前一天的波動決定，有明顯的波動連續(xù)性;β3為0．086 4(13．456 9)和0．043 6 (28．339 6)顯著大于0，說明滬深兩市之間方差存在波動的杠桿效應(yīng)，負(fù)的沖擊將比相同程度的正的沖擊導(dǎo)致更大程度的波動或者導(dǎo)致更多極值事件的出現(xiàn)。(3)偏度和偏度方程中，系數(shù)都是顯著的，與方差方程的結(jié)果類似，都存在偏度和峰度的波動持續(xù)性以及杠桿效應(yīng)。

利用上面GJRSK-M模型得到的條件高階矩波動率估計(jì)序列，結(jié)合遺傳算法對M-Copula函數(shù)進(jìn)行極大似然估計(jì)，參數(shù)估計(jì)結(jié)果為:α=34．871 2，β=32．823 5，λ=18．493 1，wG=0．662 9，wCl= 0．330 1，wF=0．00 7，似然估計(jì)值為3 008．7，而統(tǒng)計(jì)量M為1 987．5。

從兩市指數(shù)對數(shù)收益率序列相依結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的估計(jì)值來看，估計(jì)的參數(shù)都是非常顯著的，Gumble函數(shù)占主要的權(quán)重，說明兩市場的指數(shù)收益之間表現(xiàn)為上尾高、下尾低的較強(qiáng)的正相依結(jié)構(gòu)。也就是說兩市場同漲同跌;同時(shí)對于極端的波動又表現(xiàn)為非對稱的上尾高、下尾低的特征，即兩市大漲的概率要大于大跌的概率。Clayton函數(shù)的權(quán)重為0．330 1，說明兩市的下尾變化的相關(guān)性不容忽視，即兩個(gè)市場在處于熊市時(shí)期時(shí)，會有同步增強(qiáng)的相依性;而由Frank函數(shù)的權(quán)重系數(shù)可知，M-Copula-GJRSK-M對刻畫兩市對稱的正相依或?qū)ΨQ的負(fù)相依不顯著。

(三)實(shí)證結(jié)果分析

本文基于資產(chǎn)的高階矩風(fēng)險(xiǎn)的非對稱性，將GJRSK-M模型與M-Copula函數(shù)相結(jié)合，建立了基于邊緣分布的高階矩非對稱風(fēng)險(xiǎn)的相依結(jié)構(gòu)模型，研究滬深股市的指數(shù)對數(shù)收益率之間的相依關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn):上證綜指和深圳成指對數(shù)收益率存在高階矩風(fēng)險(xiǎn)，雖然條件方差風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)顯著性不強(qiáng)，但如果其溢價(jià)現(xiàn)象存在，則風(fēng)險(xiǎn)的由高到低順序是:條件方差風(fēng)險(xiǎn)、條件偏度風(fēng)險(xiǎn)、條件峰度風(fēng)險(xiǎn);滬深兩市還存在風(fēng)險(xiǎn)的非對稱性，即指數(shù)下跌時(shí)，條件方差風(fēng)險(xiǎn)和條件高階矩風(fēng)險(xiǎn)會增大。在相依結(jié)構(gòu)方面，上證綜指和深圳成指的指數(shù)對數(shù)收益率之間表現(xiàn)出上尾高、下尾低的非對稱的正相依的特征，說明在極端情況下，兩市暴漲的概率要大于暴跌的概率，這可能與我國股市正在處于一個(gè)發(fā)展的上升過程有關(guān)。

六、結(jié)束語

金融市場風(fēng)險(xiǎn)因素相依結(jié)構(gòu)的研究是金融市場風(fēng)險(xiǎn)分析的重要內(nèi)容之一，現(xiàn)有很多研究也對股市之間的相依性關(guān)系進(jìn)行了探討，但是在結(jié)合Copula函數(shù)考慮邊緣分布時(shí)，很少考慮金融資產(chǎn)的高階矩波動對資產(chǎn)價(jià)格的影響，對高階矩風(fēng)險(xiǎn)的研究還沒有做夠給予足夠的關(guān)注和重視，對資產(chǎn)高階矩風(fēng)險(xiǎn)的相依關(guān)系研究的相關(guān)論文更是很少。下一步可將二維的M-Copula-GJRSK-M模型向多維擴(kuò)展，并且將此模型應(yīng)用于投資組合領(lǐng)域。

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(責(zé)任編校:朱德東，夏東)

Analysis of the Interdependence between Shanghai and Shenzhen Stock Market Based on M-Copula-GJRSK-M Model

SHEN Jian-ping，SUN Fei，HUANG Min
(School of Mathematics and Statistics，Chongqing University，Chongqing 401331，China)

Financial assets notonly have variance risk，butalso have time-varying skewness risk and kurtosis risk，whichmakes risk change study very limited if only based on the firstor the secondmomentof the financialassets．GJRSK-M model is an effective tool for highermoments risk description of the financial assets and can fit for the distribution of individual financial assets，however，M-Copula function can connectmarginal distribution of portfolio financial assets，thus，this paper establishesM-Copula-GJRSK-M model to study the interdependence between Shanghaiand Shenzhen stockmarket．The empirical results show that there are highermoment risk and risk asymmetry of the logarithm earnings rate of Shanghai composite index and Shenzhen component index，i．e，conditional variance risk and conditional highermoment risk increasewhen the index falls，furthermore，the probability for the index rise of the two stock markets is bigger than that of the index fall under the extreme condition．

M-Copula function;GJRSK-M model;highermoments risk

F224．0;F830．91

A

1672-0598(2014)01-0016-06

12．3969/j．issn．1672-0598．2014．01．003

2013-10-29

申建平(1989—)，男，云南人;重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院碩士研究生，主要從事金融工程研究。