賈尚帥，李明高，李強(qiáng)，丁千

(1.中國(guó)北車集團(tuán) 唐山軌道客車有限責(zé)任公司 產(chǎn)品技術(shù)研究中心，河北 唐山 063035;2.北京交通大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京 100044;3.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)*

0 引言

干摩擦廣泛存在于各種機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)當(dāng)中，在系統(tǒng)低速運(yùn)行時(shí)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性特性，會(huì)引起部件的振動(dòng)和失穩(wěn)，從而降低系統(tǒng)的性能.干摩擦系統(tǒng)的摩擦顫振是由于Hopf分岔導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)而產(chǎn)生的一種非常有害的高頻振動(dòng)［1-3］.合理的解決機(jī)械和工程中由于干摩擦引起的非線性振動(dòng)極其穩(wěn)定性問題，已成為當(dāng)前該領(lǐng)域研究的重點(diǎn)問題.

分岔控制是抑制摩擦顫振的有效手段［4-5］.文獻(xiàn)［6］將基于微分幾何法和線性二次型最優(yōu)控制方法結(jié)合在一起，針對(duì)剎車系統(tǒng)的分岔臨界速度進(jìn)行控制器設(shè)計(jì).Chatterjee［7］通過 Lyapunov第二方法得到控制摩擦自激振動(dòng)的控制率.Lignon等［8］證明μ-synthesis控制方法能夠有效抑制剎車系統(tǒng)的自激振動(dòng).

本文考慮Stribeck摩擦力的兩自由度干摩擦系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，利用平均法分析系統(tǒng)純滑動(dòng)自激振動(dòng)的特性.設(shè)計(jì)滑模變結(jié)構(gòu)控制器并推廣其在干摩擦系統(tǒng)中的應(yīng)用，有效地抑制摩擦顫振現(xiàn)象.

1 干摩擦自激振動(dòng)

1.1 系統(tǒng)模型分析

圖1為考慮Stribeck摩擦力的兩自由度干摩擦系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型.

圖1 考慮Stribeck摩擦力的兩自由度干摩擦系統(tǒng)

當(dāng)只考慮純滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)，干摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程［9］.

Stribeck摩擦力為

1.2 純滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析

當(dāng)傳輸帶速度始終大于兩質(zhì)體的速度時(shí)為純滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)，干摩擦力系數(shù)中的符號(hào)函數(shù)sgn(vri)=－1.

取系統(tǒng)參數(shù)為

系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

令

在阻尼項(xiàng)和非線性項(xiàng)前加入小參數(shù)，得到

其中

派生方程組為

對(duì)式(5)采用變換

由派生方程組和共軛方程組基礎(chǔ)解系正交關(guān)系

對(duì)式(8)應(yīng)用KB變換

新變量

式中，Yk和Zk不顯含時(shí)間t.Uk，Vk和為?的以2π為周期的周期函數(shù)和t的周期函數(shù).綜合式(8)、(9)和式(10)得

確定函數(shù)Yk和Zk

由式(6)λ1=5.5，λ2=3.2，Δ1=2.05，Δ2=1.95

進(jìn)而得到一次近似解的振幅

令式(13)左邊為零，得到定常解振幅

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制

針對(duì)干摩擦系統(tǒng)模型，將系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型寫成仿射非線性形式

式中，y為狀態(tài)變量同式(4);u為控制量;ξ為系統(tǒng)輸出，其他表達(dá)式

應(yīng)用微分幾何法，通過非線性狀態(tài)反饋和坐標(biāo)變換，將非線性系統(tǒng)精確線性化

精確線性化得到的獨(dú)立子系統(tǒng)式(16)為單輸入單輸出且狀態(tài)變量是相變量的線性系統(tǒng)，當(dāng)子系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)僅僅取決于相應(yīng)的滑動(dòng)面參數(shù).

系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制的原理圖如圖2，其中滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)包括切換面的設(shè)計(jì)和變結(jié)構(gòu)控制律的設(shè)計(jì).

圖2 控制原理圖

對(duì)于系統(tǒng)(16)，設(shè)計(jì)切換方程

切換面s(z)=0通過原點(diǎn)，廣義滑模存在條件為

式(18)為不等式條件，可以采用趨近律約束系統(tǒng)達(dá)到切換面

指數(shù)趨近律為

式(19)使得式(18)自然成立，并可得到等式

其中 c= ［ci1］，f(z， v， t)=Az+Bv.

變結(jié)構(gòu)控制律

等效控制作用下的滑模運(yùn)動(dòng)方程為

若使滑模狀態(tài)反饋?zhàn)灾蜗到y(tǒng)穩(wěn)定，需要式(22)特征根無正實(shí)部，可以給定一組滑模面參數(shù)c，隨后驗(yàn)證式(22)特征根條件是否成立，這樣即滿足滑模穩(wěn)定性條件［10］.

3 仿真結(jié)果

系統(tǒng)參數(shù)同1.2中所示，采用四階精度龍格-庫塔法，考慮v=0.47的速度狀態(tài)，SMC參數(shù)c=［1，1］，ε =5，k=10.

圖3為兩質(zhì)體振幅的分岔圖，由圖可見，當(dāng)v＞0.482和0.496時(shí)，m1和m2的定常解振幅為零，當(dāng)v小于以上速度邊界點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生自激振動(dòng)且振幅隨著v減小而增大，為典型的超臨界Hopf分岔.

圖3 分岔圖

圖4為質(zhì)量塊m1在控制函數(shù)作用下的狀態(tài)軌線，由圖可見，在顫振曲線上的初始點(diǎn)在趨近律的作用下迅速趨近到控制函數(shù)(s=0)，此時(shí)控制律在v+和v-間快速切換，系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面兩側(cè)穿行，最終系統(tǒng)狀態(tài)沿設(shè)計(jì)的控制函數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定于平衡狀態(tài).

圖4 SMC控制曲線圖

圖5為控制參數(shù)對(duì)抖振的影響，相應(yīng)的控制參數(shù)ε=0.5，k=100時(shí)的抖振變小，即減小ε的同時(shí)增大k值有利于減弱SMC中的抖振現(xiàn)象.

圖5 控制抖振圖

圖6 漸進(jìn)穩(wěn)定曲線圖

圖7 切換函數(shù)

圖6、圖7分別為SMC漸進(jìn)穩(wěn)定曲線時(shí)間歷程和切換函數(shù)，其中控制時(shí)間響應(yīng)在經(jīng)歷3 s的振蕩后穩(wěn)定.

4 結(jié)論

研究干摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性及控制，應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，設(shè)計(jì)了非線性控制器，主要結(jié)論:①兩自由度干摩擦系統(tǒng)純滑動(dòng)運(yùn)動(dòng)為典型的超臨界Hopf分岔;②滑模變結(jié)構(gòu)控制器能夠有效抑制干摩擦系統(tǒng)的摩擦顫振，并具有一定魯棒性;③通過調(diào)節(jié)ε、k可以有效地抑制控制器自身的抖振，提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

［1］丁千，陳艷，周翔.純滑動(dòng)形式的干摩擦自激振動(dòng)研究［C］.第十一屆全國(guó)非線性振動(dòng)、第八屆全國(guó)非線性動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性學(xué)術(shù)會(huì)議，2007.

［2］黃毅.摩擦自激振動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特征與分岔控制研究［D］.天津:天津大學(xué)，2008.

［3］李博，丁千，陳艷.剎車系統(tǒng)摩擦自激振動(dòng)的數(shù)值研究［J］.科技導(dǎo)報(bào)，2007，25(23):28-32.

［4］郭桂梅.摩擦自激系統(tǒng)的分岔控制研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2009，31(4):523-526.

［5］黃毅，王太勇，張瑩，等.機(jī)械系統(tǒng)中摩擦顫振機(jī)理的非線性分析［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2008，19(14):1677-1680.

［6］賈尚帥，丁千.剎車系統(tǒng)的摩擦自激振動(dòng)和控制［J］.工程力學(xué)，2012，29(3):252-256.

［7］CHATTERJEE S.Nonlinear control of friction-induced self-excited vibration［J］.International Journal of Nonlinear Mechanics，2007，42(3):459-469.

［8］LIGNON S，SINOU J J，JEZEQUEI L.Stability analysis and μ-synthesis control of brake systems［J］.Journal of sound and vibration，2006，298(4-5):1073-1087.

［9］黃毅，王太勇，李強(qiáng)，等.干摩擦系統(tǒng)的自激振動(dòng)數(shù)值研究［J］.機(jī)械強(qiáng)度，2008，30(4):539-543.

［10］JEAN-JACQUES E.Slotine，Weiping Li，應(yīng)用非線性控制［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006.