邊少鋒,李忠美,李厚樸

海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系,湖北武漢 430033

極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示

邊少鋒,李忠美,李厚樸

海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系,湖北武漢 430033

在高斯投影復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)上,引入復(fù)變等角緯度的概念,避免等量緯度在極點的奇異性。其次,在復(fù)變等角緯度的基礎(chǔ)上引入復(fù)變等角余緯度,并將極點作為高斯投影的坐標(biāo)原點,建立了極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示形式。最后,與傳統(tǒng)高斯投影冪級數(shù)及以往復(fù)變函數(shù)表示式相比較,驗證了該公式的準(zhǔn)確性。新的極區(qū)高斯投影表達(dá)式克服了傳統(tǒng)高斯投影分帶的缺陷,使得高斯投影在極區(qū)有一個統(tǒng)一的完整的“一體化表示形式”。

高斯投影;非奇異公式;復(fù)變函數(shù);極區(qū);余緯度

1 引 言

近年來,隨著極區(qū)的戰(zhàn)略地位越來越受到國際關(guān)注,我國也日益重視極地考察工作,但與美俄等國相比,仍存在較大差距。為保障我國在極區(qū)事務(wù)中的國際地位及相關(guān)權(quán)益,須重視和加強極區(qū)的科學(xué)研究[1-3]。選擇合適的投影方式對極區(qū)航海及科考圖的繪制至關(guān)重要。極區(qū)通常采用日晷投影[4-5],該投影以極點為中心,且投影變形有對稱的優(yōu)點,但日晷投影僅與地球橢球相切于一點,隨著極距增加投影變形也逐漸變大。而高斯投影與地球橢球相切于經(jīng)圈,故在極區(qū)的長度變形必定小于日晷投影,且其在中央子午線上無投影變形。再考慮高斯投影具有保角優(yōu)勢,可正確反映極區(qū)的方位關(guān)系。可以說,極區(qū)高斯投影對于極區(qū)航海及科考圖的繪制具有較重要的參考價值。然而傳統(tǒng)高斯投影公式被表示成經(jīng)差的冪級數(shù)形式,投影區(qū)域通常被劃分為3°或6°帶,使得極區(qū)難以形成完整的表達(dá)[6-7]。針對這一問題,文獻(xiàn)[8—11]研究了高斯投影的復(fù)變函數(shù)表示,可使高斯投影避免分帶現(xiàn)象,但因表達(dá)式中的等量緯度在極點存在奇異問題,不便于在極區(qū)應(yīng)用。因此,既不受限于帶寬又適用于極區(qū)的高斯投影公式仍待推導(dǎo)。又陸圖通常采用高斯投影,海圖在非極區(qū)使用墨卡托投影,在極區(qū)采用日晷投影,多種投影方式使得海圖、陸圖難以統(tǒng)一[12-15]。鑒于此,本文推導(dǎo)出極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式,該表達(dá)式使得極區(qū)無需分帶且便于極區(qū)陸圖與海圖的統(tǒng)一應(yīng)用,非常適于南極洲及北冰洋海域的一體化表示,可為極區(qū)科考及航海制圖提供重要參考。

2 等角緯度的解析開拓

欲研究高斯投影,離不開等量緯度,由文獻(xiàn)[16]可知,等量緯度q與大地緯度B有如下數(shù)學(xué)關(guān)系

式中,arctanh(·)表示反雙曲正切函數(shù)。

考慮到復(fù)變函數(shù)在解決等角映射問題中具有不可替代的作用[17],將上式拓展至復(fù)數(shù)域,以等量緯度q與經(jīng)差l組成的復(fù)變量w＝q＋il代替q,則式(3)等號右端等角緯度φ開拓為復(fù)變等角緯度,記為φ,因此有

3 復(fù)變等角緯度表示的高斯投影正解

復(fù)變等角緯度表示的高斯投影正解可在子午線弧長展開的基礎(chǔ)上經(jīng)解析開拓得到。首先,寫出用大地緯度表示的子午線弧長展開式為

式中,a、e分別為地球橢球長半軸和第一偏心率;系數(shù)a0、a2、…、a8可表示為橢球偏心率的冪級數(shù),具體見文獻(xiàn)[18]。

又大地緯度表示的等角緯度展開式為

式中,各系數(shù)b2、b4、b6、b8表達(dá)式具體可見文獻(xiàn)[18]。

采用符號迭代法[19]推導(dǎo)出等角緯度反解展開式,并將展開式代入式(6)。最后,借助計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica[20]對之進(jìn)行級數(shù)展開和化簡,則式(6)可變形為

將解析開拓后的復(fù)變等角緯度φ代入式(8),并將等式左端相應(yīng)改寫為高斯投影的復(fù)數(shù)坐標(biāo)

式(11)的正確性可進(jìn)一步闡述如下:

(1)因為由w所決定的φ及由φ所決定的z均為初等函數(shù),且在其主值范圍內(nèi)是單值單葉解析函數(shù),而解析函數(shù)必然滿足保角映射條件,即高斯投影“正形”條件得以保證。

(2)l＝0時,式(11)虛部消失,即橫坐標(biāo)y＝0,縱坐標(biāo)x即為子午線弧長公式。高斯投影條件“中央子午線投影后為直線”和“中央子午線投影后長度不變”得以保證。

因此,式(11)滿足了高斯投影的全部條件。但與傳統(tǒng)的高斯投影相比,避免了冪級數(shù)展開和分帶現(xiàn)象。

4 極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示

由于式(11)中的復(fù)變等角緯度φ是通過式(5)得到的,在極點時等量緯度趨近于無窮,會出現(xiàn)無法計算的奇點,但事實上這種只是數(shù)學(xué)定義上出現(xiàn)的可去奇點,將尋求另外的方法解決這一問題。

因此,復(fù)變等角余緯度表達(dá)式已知。

式(17)中θ表達(dá)式是根據(jù)建立極區(qū)球近似推算出的。通過引入復(fù)變等角余緯度的概念,式(14)在極區(qū)應(yīng)用時無奇異性問題,也無需分帶。因此,本文稱之為“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”。

5 算 例

以CGCS2000參考橢球[22-23](a＝6 378 137 m,α＝1/298．257 222 101)為例,在極區(qū)范圍內(nèi)對以往高斯投影公式與本文推導(dǎo)出的極區(qū)非奇異公式進(jìn)行比較并分析。(記x、x1、x2分別為本文推導(dǎo)的極區(qū)高斯投影復(fù)變函數(shù)、傳統(tǒng)高斯投影冪級數(shù)、高斯投影復(fù)變函數(shù)縱坐標(biāo),y、y1、y2分別為這3個公式的橫坐標(biāo)。)

為驗證本文公式的準(zhǔn)確性和可靠性,首先與高斯投影傳統(tǒng)冪級數(shù)形式作比較,分別計算出二者在一個高斯條帶內(nèi)的x、y方向上的差異,如圖1、圖2所示。

圖1 本文公式與高斯投影冪級數(shù)間縱坐標(biāo)差異Fig．1 Differences ofxcoordinates between traditional power series and new expression of Gauss projection

圖2 本文公式與高斯投影冪級數(shù)間橫坐標(biāo)差異Fig．2 Differences ofycoordinates between traditional power series and new expression of Gauss projection

從圖1、圖2可以看出,在B∈[66．55°,90°]范圍內(nèi),本文推導(dǎo)出的“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”與傳統(tǒng)高斯投影冪級數(shù)公式在λ∈[0,3°]內(nèi)的計算結(jié)果相比:地球橢球體上的點愈接近極點,兩公式差異愈小;同一經(jīng)差上,縱坐標(biāo)值的差異隨著緯度的增大而漸趨于0;同一緯線圈上,橫坐標(biāo)值差異隨經(jīng)差的增大而增大;在極區(qū)一個高斯條帶內(nèi),兩公式縱坐標(biāo)差異在[－0．15× 10－3m,0]范圍內(nèi),橫坐標(biāo)差異在[0,5×10－6m]范圍內(nèi)。即本文推導(dǎo)出的“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”在一個高斯投影條帶內(nèi)具有相當(dāng)高的準(zhǔn)確度。

為確保本文公式在極區(qū)無限制帶寬內(nèi)的適用性,除驗證該公式在一個高斯投影條帶內(nèi)的準(zhǔn)確度之外,需與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式進(jìn)行比較。由于以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式在極點附近不適用,故以下對B∈[66．55°,88°],λ∈[0, 90°]范圍內(nèi)它與本文公式的縱、橫坐標(biāo)進(jìn)行比較,如圖3、圖4所示。

圖3 本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式縱坐標(biāo)差異Fig．3 Differences ofxcoordinates between traditional expression by complex numbers and new expression of Gauss projection

圖4 本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式橫坐標(biāo)差異Fig．4 Differences ofycoordinates between traditional expression by complex numbers and new expression of Gauss projection

從圖3、圖4中可以看出,在該范圍內(nèi)本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示間縱坐標(biāo)絕對差異最大點位于在北極圈上,經(jīng)差為0處,且該絕對差值小于0．000 15 m,即0．15 mm。而橫坐標(biāo)絕對差異最大點位于北極圈上,經(jīng)差為90°處,且該絕對差值小于0．000 2 m,即0．2 mm。故得出結(jié)論:極區(qū)范圍內(nèi),本文公式與以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式在無限制帶寬間的差異非常小,可滿足極區(qū)測量及制圖要求,且避免了以往公式在極區(qū)難以應(yīng)用的問題。

相對于傳統(tǒng)高斯投影冪級數(shù)形式僅適用于高斯投影中繪制條帶圖,而以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示式在極區(qū)難以應(yīng)用,本文推導(dǎo)出的極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示滿足以極點作為投影中心,對極區(qū)進(jìn)行連續(xù)投影作圖,可實現(xiàn)極區(qū)海、陸圖統(tǒng)一表示。又高斯投影具有保角優(yōu)勢,能更好地體現(xiàn)極區(qū)的方位關(guān)系,對于擬定航線、制定航行計劃具有重要意義?；诒疚耐茖?dǎo)出的極區(qū)非奇異公式,可分別繪制出南北極地區(qū)具有海岸線數(shù)據(jù)的高斯投影示意圖,如圖5、圖6所示。

圖5 南極高斯投影示意圖Fig．5 The sketch of Gauss projection in Antarctica region

圖6 北極高斯投影示意圖Fig．6 The sketch of Gauss projection in Arctic region

6 結(jié) 論

本文通過引入復(fù)變等角緯度和復(fù)變等角余緯度的概念,討論了高斯投影在極區(qū)的復(fù)變函數(shù)表示,得出如下結(jié)論:

(1)本文推導(dǎo)出的公式克服了以往高斯投影復(fù)變函數(shù)表示在極區(qū)的奇異性,并避免傳統(tǒng)高斯投影展成經(jīng)差冪級數(shù)且需要分帶的缺陷,形成了比較完美的“極區(qū)非奇異高斯投影一體化復(fù)變函數(shù)表示”。

(2)與高斯投影傳統(tǒng)冪級數(shù)形式及以往復(fù)變函數(shù)表示作比較,驗證了“極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示”的高準(zhǔn)確度與可靠性,解決了傳統(tǒng)高斯投影在極區(qū)難以應(yīng)用的問題。

(3)“極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示”在一定程度上豐富了現(xiàn)代地圖投影數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ),對極區(qū)航海及科考制圖具有重要的參考價值。

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

The Non-singular Formula of Gauss Projection in Polar Regions by Complex Numbers

BIAN Shaofeng,LI Zhongmei,LI Houpu
Department of Navigation,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China

Based on expressions of Gauss projection by complex numbers,the conformal latitude by complex numbers was introduced to solve the singularity problem of isometric latitude in polar regions．Secondly,conformal colatitude by complex numbers was introduced on the basis of conformal latitude by complex numbers,with the polar point taken as the origin of coordinates in Gauss projection,the nonsingular formula of Gauss projection in polar regions by complex numbers was set up．Finally,compared with traditional power series and expressions by complex numbers of Gauss projection,the non-singular formula proved to be highly accurate．The new expression of Gauss projection in polar regions could overcome imperfection of zonation of traditional Gauss projection,which makes Gauss projection a uniform integrated form in polar regions．

Gauss projection;non-singular formula;complex numbers;polar regions;colatitude

BIAN Shaofeng(1961—),male,PhD,professor,PhD supervisor,majors in geodesy and satellite navigation．

LI Zhongmei

P282

A

1001-1595(2014)04-0348-05

2013-05-25

邊少鋒(1961—),男,博士,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向為大地測量和衛(wèi)星導(dǎo)航。

E-mail:sfbian＠sina．com

李忠美

E-mail:15827116839＠163．com

BIAN Shaofeng,LI Zhongmei,LI Houpu．The Non-singular Formula of Gauss Projection in Polar Regions by Complex Numbers[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(4):348-352．(邊少鋒,李忠美,李厚樸．極區(qū)非奇異高斯投影復(fù)變函數(shù)表示[J]．測繪學(xué)報,2014,43(4):348-352．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0052

國家自然科學(xué)基金(41071295;41201478)

修回日期:2014-01-17