高炳鑫,樊榮霞

(1.中國石化集團管道儲運公司,江蘇徐州 221008;2.南京瑞迪建設(shè)科技有限公司,江蘇南京 210029)

碎石樁復(fù)合地基非線性固結(jié)分析

高炳鑫1,樊榮霞2

(1.中國石化集團管道儲運公司,江蘇徐州 221008;2.南京瑞迪建設(shè)科技有限公司,江蘇南京 210029)

針對非線性偏微分固結(jié)方程難以直接求得解析解答的問題,采用對固結(jié)時間離散化的方法編制固結(jié)計算程序,在每個計算時間段內(nèi)假設(shè)樁周土土體及碎石樁參數(shù)為常數(shù),建立固結(jié)控制方程并求解。根據(jù)上一時間段的計算結(jié)果確定下一時間段的計算參數(shù)和初始條件,實現(xiàn)了同時考慮碎石樁和軟土非線性特征的復(fù)合地基固結(jié)計算。在此基礎(chǔ)上,分析了復(fù)合地基的固結(jié)性狀,得出碎石樁復(fù)合地基隨著Cc/Ck增大其固結(jié)速率變慢的結(jié)論。

復(fù)合地基;非線性偏微分方程;地基固結(jié);碎石樁

軟土的滲透系數(shù)較低,但壓縮性很大,因此在軟土地基上修建工程時,沉降量以及沉降速率難以控制。碎石樁由于其樁身模量和滲透系數(shù)較大,能夠有效減少地基沉降并加快固結(jié)速率,因此被廣泛應(yīng)用于軟土地基處理中[1-4]。

對于碎石樁復(fù)合地基的固結(jié)問題,求解時通常假設(shè)樁周土滲透系數(shù)kh、壓縮模量Es以及碎石樁壓縮模量Ec為常數(shù)。如邢皓楓等[5]在忽略施工引起的涂抹區(qū)影響的基礎(chǔ)上,根據(jù)排水量與體積應(yīng)變相等的條件,給出一種碎石樁復(fù)合地基簡化方程;Xie等[6]考慮了樁體固結(jié)以及涂抹區(qū)滲透系數(shù)的3種變化規(guī)律,推導(dǎo)了碎石樁復(fù)合地基的計算方程;王瑞春等[7]以碎石樁完全排水為前提,根據(jù)正交性條件給出了雙層碎石樁地基的固結(jié)解答;張玉國等[8]在進行碎石樁復(fù)合地基求解時,將模型的頂面和底面假設(shè)為半透水邊界,即考慮了固結(jié)模型邊界的滲透阻力。雖然這些關(guān)于碎石樁復(fù)合地基固結(jié)研究成果各自的側(cè)重點不同,但都是在樁土壓縮模量以及滲透系數(shù)均為常數(shù)的基礎(chǔ)上開展的。而Tavenas等[9]的研究表明,軟土的壓縮性和滲透性隨著孔隙比的變化呈現(xiàn)出非線性的特點;朱志鐸等[10]的研究結(jié)果也表明,碎石樁的壓縮模量是與施加應(yīng)力有關(guān)的指數(shù)函數(shù),亦呈現(xiàn)出非線性的特點。隨著固結(jié)過程的發(fā)展,土體和樁體的孔隙比及有效應(yīng)力不斷變化,因此滲透性和壓縮性必然是非線性的。如果將土體和碎石樁參數(shù)認為是常數(shù),必然會引起固結(jié)計算結(jié)果的偏差。

到目前為止,關(guān)于復(fù)合地基的非線性固結(jié)理論研究較少,主要成果有:Indraratna等[11]采用半對數(shù)模型給出了瞬時加載情況下考慮涂抹區(qū)影響和土體應(yīng)力歷史的砂井徑向固結(jié)解。但由于砂井的壓縮模量與軟土相近,因此砂井地基沒有應(yīng)力集中效應(yīng),從而有別于碎石樁復(fù)合地基。盧萌盟[12]在假設(shè)樁體壓縮模量和樁周土壓縮模量同步變化的基礎(chǔ)上考慮了應(yīng)力集中效應(yīng)和涂抹區(qū)的影響,給出了瞬時加載情況下碎石樁復(fù)合地基徑向固結(jié)解。但需要注意的是,文獻[11-12]中列出的非線性偏微分固結(jié)方程很難直接得到解析解,因此對khEs做了平均化假設(shè),以便于求解。實際中,碎石樁和軟土的滲透系數(shù)及壓縮模量在固結(jié)過程中是不斷變化的,并不能簡單地用平均化假設(shè)進行處理。

本文同時考慮了碎石樁和軟土的非線性,采用對固結(jié)時間離散化的方法,在每個計算時間段內(nèi)假設(shè)樁周土及碎石樁參數(shù)為常數(shù),利用上一步的計算結(jié)果推算下一時間段內(nèi)樁體和樁周土的計算參數(shù),以及固結(jié)方程的初始條件,從而實現(xiàn)同時考慮碎石樁和軟土非線性特點的固結(jié)計算。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 計算簡圖

圖1為碎石樁復(fù)合地基計算簡圖,q為瞬時施加的垂直于影響區(qū)域的均布荷載。圖中rc、rs、re分別為樁體、擾動區(qū)和影響區(qū)域半徑,ks、kh分別為擾動區(qū)和非擾動區(qū)的滲透系數(shù)。模型周邊為不透水邊界。

圖1 復(fù)合地基計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of composite ground

1.2 基本假定

根據(jù)已有研究成果,做出如下假設(shè):

a.樁土間的等應(yīng)變條件成立,復(fù)合地基中樁和樁周土完全飽和,且滲流符合Darcy定律。

b.碎石樁復(fù)合地基中樁周土主要通過徑向滲流向碎石樁排水實現(xiàn)固結(jié),因此對于樁周土僅考慮徑向滲流,外荷載瞬時施加[11]。

c.碎石樁的滲透系數(shù)較高,認為樁體完全透水,即不考慮樁阻作用。

d.擾動區(qū)ks為常數(shù),其他性質(zhì)與未擾動區(qū)相同。

e.樁周土的壓縮性和滲透性隨孔隙比的減小而減小,符合對數(shù)函數(shù)關(guān)系,即

式中:e——軟土孔隙比;e0——軟土的初始孔隙比;Ck、Cc——軟土的滲透指數(shù)和壓縮指數(shù);kh,i、σs,i——軟土的初始滲透系數(shù)和初始豎向有效應(yīng)力;σs——軟土豎向有效應(yīng)力。

f.碎石樁的壓縮模量變化規(guī)律為

式中:Pa——大氣壓(一般取100 kPa);f——試驗參數(shù);km——樁體的滲透系數(shù);σc——均布荷載在樁體中任一深度產(chǎn)生的有效應(yīng)力。

1.3 控制方程

圖2 固結(jié)時間劃分Fig.2 Division of consolidation time

在整個固結(jié)過程中,復(fù)合地基的參數(shù)是隨著超靜孔隙水壓力的消散而不斷變化的,控制方程是關(guān)于超靜孔隙水壓力的非線性偏微分方程,難以求得解析解?，F(xiàn)將固結(jié)時間劃分為M段(圖2),由于在各時間段內(nèi)超靜孔隙水壓力變化有限,因此可以假設(shè)每個時間段內(nèi)復(fù)合地基的參數(shù)為常數(shù)。在復(fù)合地基固結(jié)過程中,初始時間段超靜孔隙水壓力變化劇烈,隨著時間的增長變化趨勢逐漸變緩。因此在初始階段時間間隔劃分較密,隨著固結(jié)的進行,時間間隔逐漸增大。

在任意時間段[tj,tj+1](0≤j≤M-1)內(nèi),推導(dǎo)碎石樁復(fù)合地基的固結(jié)控制方程。

對于碎石樁復(fù)合地基,由豎向平衡條件以及等應(yīng)變條件可得

參照文獻[3,13],可得土體徑向固結(jié)方程:

式中:ρw——孔隙水密度;g——重力加速度;εv——體積應(yīng)變。根據(jù)本文假設(shè),rc≤r≤rs時f(r)=ks/kh,rs≤r≤re時f(r)=1。

求解條件為

式(5)兩邊對r積分2次,利用邊界條件(6)和(7)可得

式中:εj——[tj,tj+1]時間段內(nèi)的體積應(yīng)變。

將式(8)代入式(4)可得

式(9)即為本文的固結(jié)控制方程。

1.4 方程求解

結(jié)合初始條件式(10),對于方程(9)求解可得

2 求解思路

利用MATLAB軟件編寫求解程序,基本編寫思路如下:

a.輸入復(fù)合地基基本參數(shù),包括σ0、rc、、rs、re、ρw,樁體和樁周土的初始壓縮模量Ec,0和Es,0,擾動區(qū)和非擾動區(qū)的初始滲透系數(shù)ks,0和kh,0,碎石樁參數(shù)Pa、km和f,土體和樁體的初始有效應(yīng)力(即自重)σs,i和σc,i。

b.在每個時間段內(nèi)建立固結(jié)控制方程,根據(jù)初始條件對方程進行求解,得到t1時刻土體中的平均超靜孔隙水壓力和有效應(yīng)力(t1)、(t1),碎石樁的有效應(yīng)力(t1)。

c.根據(jù)計算所得的有效應(yīng)力計算得到t1時刻土體的壓縮模量、滲透系數(shù)及碎石樁的壓縮模量。將土體和碎石樁參數(shù)代入固結(jié)方程,并將(t1)作為初始條件,開始[t1,t2]時間段的固結(jié)計算。

d.重復(fù)(b)～(c)步,即可進行后續(xù)各時間段內(nèi)的固結(jié)計算。以(tj)作為控制條件,當(dāng)(tj)＜0.1 kPa時,判斷程序結(jié)束。

3 結(jié)果驗證及固結(jié)性狀計算

假設(shè)某碎石樁復(fù)合地基的基本參數(shù)為:re=1.5 m,rc=0.5 m,σ0=100 kPa,ks/kh=0.1,rs/rc=2,kh,0= 0.0002 m/d,e0=1.0,ρw=1000 kg/m3,碎石樁樁長H=10 m。

3.1 結(jié)果驗證

我國軟土的Cc一般在0.35～0.75的范圍內(nèi)[14];Cc/Ck的取值范圍為0.5～2.0[15]。假設(shè)軟土和碎石樁的ρs=1650kg/m3和ρc=2100kg/m3,則軟土和碎石樁的平均初始豎向應(yīng)力(0.5ρgH)分別為82.5kPa和105kPa。

本文計算中固結(jié)計算時間共取250 d,劃分為M=20個時間段。為證明本文計算程序的正確性,將計算條件取為與文獻[8]相同。文獻[8]假設(shè)在整個固結(jié)過程中樁土壓縮模量比Y不變,對khEs做了平均化假設(shè),因此,本文取Y=15。文獻[15]的研究表明,碎石樁復(fù)合地基的樁土壓縮模量比一般為10～20;并令khEs在整個固結(jié)計算過程中等于(kh,1Es,1+kh,MEs,M)/2。固結(jié)完成時超靜孔隙水壓力為0 kPa,計算得出此時的附加豎向有效應(yīng)力為32.1 kPa,則整體豎向應(yīng)力為114.6 kPa。將豎向應(yīng)力值代入式(1)和式(2),即可計算得到kh,1、Es,1、kh,M以及Es,M。

在相同假設(shè)條件前提下,本文計算結(jié)果與文獻[8]的計算結(jié)果吻合,如圖3所示,說明本文采用對時間離散化的方法求解固結(jié)控制方程的程序是正確可行的。

3.2 固結(jié)性狀計算分析

對于碎石樁,根據(jù)文獻[10]的結(jié)果,取其參數(shù)為Pa=100 kPa,km=412,f=0.27;對于樁周土體,采用本文提出的時間離散化方法進行碎石樁復(fù)合地基非線性固結(jié)計算。

圖3 本文計算程序驗證Fig.3 Verification of accuracy of program in this paper

圖4 Cc和Ck對固結(jié)速率的影響Fig.4 Influences of Ccand Ckon consolidation rate

圖5 固結(jié)系數(shù)隨時間變化規(guī)律Fig.5 Variation of consolidation coefficient with time

如圖4所示,隨著Cc/Ck的增大,碎石樁復(fù)合地基的固結(jié)速率變慢。分析其原因,碎石樁復(fù)合地基的固結(jié)速率與土體的固結(jié)系數(shù)有關(guān),固結(jié)系數(shù)越大,固結(jié)速率越快。而土體的固結(jié)系數(shù)又由土體壓縮模量以及滲透系數(shù)組成。隨著固結(jié)過程的發(fā)展,土體的孔隙比減小,因此土體壓縮模量增大,滲透系數(shù)減小。土體壓縮模量的增大使固結(jié)系數(shù)增大,滲透系數(shù)減小又使固結(jié)系數(shù)減小,所以在固結(jié)過程中土體壓縮模量和滲透系數(shù)的變化對于滲透系數(shù)的影響是相反的。隨著Cc/Ck數(shù)值的增大,固結(jié)過程中軟土壓縮模量的增大速率減小,而滲透系數(shù)的減小速率增大,因此軟土壓縮模量增大對于滲透系數(shù)的影響占優(yōu),如圖5所示。Cc/Ck=1是分界線:當(dāng)Cc/Ck＞1時,隨著固結(jié)時間增加,土體固結(jié)系數(shù)減小;當(dāng)Cc/Ck＜1時,隨著固結(jié)時間增加,土體固結(jié)系數(shù)增大。

在整個固結(jié)過程中,樁土模量比不斷增加,即碎石樁樁體的壓縮模量不斷增加,如圖6所示。如果將樁土模量比假設(shè)為常數(shù)進行計算,可能會使固結(jié)度計算產(chǎn)生偏差。土體的壓縮模量與Cc有關(guān),Cc越大,土體壓縮模量越小。如圖7所示,隨著土體壓縮指數(shù)的增加(即土體壓縮模量減小),碎石樁復(fù)合地基的固結(jié)速率減慢。

圖6 樁土壓縮模量比隨時間變化規(guī)律Fig.6 Variation of pile-soil modular ratio with time

圖7 土體壓縮指數(shù)對固結(jié)速率的影響Fig.7 Influence of Ccon consolidation rate

4 結(jié) 論

采用對時間離散化的方法,在每個時間段內(nèi)將軟土和碎石樁參數(shù)假設(shè)為常數(shù),建立固結(jié)方程并求解。根據(jù)求解結(jié)果,確定下一時間段內(nèi)的軟土和碎石樁參數(shù)以及初始條件,實現(xiàn)了同時考慮碎石樁和軟土非線性特點的復(fù)合地基固結(jié)分析。

a.隨著Cc/Ck的增大,碎石樁復(fù)合地基的固結(jié)速率變慢。

b.當(dāng)Cc/Ck＞1時,隨著固結(jié)時間增加,土體固結(jié)系數(shù)減小;當(dāng)Cc/Ck＜1時,隨著固結(jié)時間增加,土體固結(jié)系數(shù)增大。

c.在整個固結(jié)過程中,樁土模量比不斷增加。如果將樁土模量比假設(shè)為常數(shù)進行計算,可能會使固結(jié)度計算產(chǎn)生偏差。

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Nonlinear consolidation analysis of stone column composite ground

GAO Bingxin1,FAN Rongxia2
(1.Sinopec Pipeline Storage and Transportation Company,Xuzhou 221008,China; 2.Nanjing R&D Tech Group Co.,Ltd.,Nanjing 210029,China)

It is difficult to obtain the analytical solution of a nonlinear consolidation partial differential equation.In order to solve this problem,the consolidation time is segmented into small intervals and the parameters of soft soil and stone columns are assumed to be constants at any time interval.Then,the governing consolidation equation of the stone column composite foundation is built and solved at each time interval.The calculation parameters and initial conditions of the computing unit can be determined by the calculation results of a previous time interval.Finally,consolidation calculation is conducted for the composite ground,with consideration of the nonlinear characteristics of the stone column and soft soil.On this basis,the nonlinear consolidation properties of composite ground are analyzed.The results show that the consolidation rate of the stone column composite ground decreases with the increase ofCc/Ck.

composite foundation;nonlinear partial differential equation;foundation consolidation;stone column

TU46

:A

:1000-1980(2014)06-0518-06

10.3876/j.issn.1000-1980.2014.06.010

2013-11 21

高炳鑫(1955—),男,浙江紹興人,高級工程師,主要從事地基基礎(chǔ)研究。E-mail:lanshanxmb@126.com