冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂域的求解探討
——如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

劉 洋

(廣東省佛山市廣州工商學(xué)院三水校區(qū) 510850)

一、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

關(guān)于此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法可直接利用下面的定理.

二、不同類型的冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂域的求法

本文對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)求它們的收斂半徑和收斂域的求解進(jìn)行研究.冪級(jí)數(shù)的形式多樣，不同類型冪級(jí)數(shù)的求解方法各異，但本文主要把不同類型冪級(jí)數(shù)通過換元的方法化為標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)后，再進(jìn)行求解.

(2)求收斂域(即考察端點(diǎn)x=±R的斂散性).

2.“一般型”化為“標(biāo)準(zhǔn)型”的求法

通過換元將“一般型”化為“標(biāo)準(zhǔn)型”，利用標(biāo)準(zhǔn)型求解.

綜上，原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇4,6)，收斂半徑R=1.

3.“有缺型”化為“標(biāo)準(zhǔn)型”的求法

通過逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)或換元將“有缺型”化為“標(biāo)準(zhǔn)型”，利用標(biāo)準(zhǔn)型求解.

三、歸納總結(jié)一般規(guī)律

(3)求收斂域(即考察端點(diǎn)x=±R的斂散性).由于求收斂域和收斂半徑題目類型多樣，為更好更快地解決問題，需要按“標(biāo)準(zhǔn)型”、“一般型”和“有缺項(xiàng)”三種類型求解.在上述過程中我們以“標(biāo)準(zhǔn)型”、“一般型”和“有缺項(xiàng)”三種類型的三個(gè)例題通過換元化為“標(biāo)準(zhǔn)型”來具體說明求收斂域和收斂半徑的求解方法，最后總結(jié)出一般的規(guī)律.

本文利用現(xiàn)有的有用信息定理1，舉例講解例1，讓學(xué)生自己去理解體會(huì)標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)求解收斂半徑和收斂域的步驟，進(jìn)一步探索和想出可供選擇的信息進(jìn)行考慮不同類型的冪級(jí)數(shù)的求解方法.本文中冪級(jí)數(shù)收斂半徑和收斂域的求解方法按不同的類型化歸同一種類型求解的對(duì)分課堂，不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維.