周俊東

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

Maple在微分幾何實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

周俊東

（阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

利用Maple的符號計(jì)算和圖形繪制功能，以典型實(shí)例介紹了Maple在微分幾何實(shí)踐教學(xué)中應(yīng)用，改進(jìn)了微分幾何的教學(xué)方法，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和運(yùn)用軟件解決實(shí)際問題的能力。

微分幾何；Maple；曲率；基本形式

微分幾何主要以數(shù)學(xué)分析為工具，研究空間形式，并適當(dāng)采用張量分析的方法討論曲線和曲面的分析性質(zhì)。開設(shè)這門課程旨在使學(xué)生掌握三維歐氏空間中曲線和曲面的基本理論，進(jìn)一步提高分析運(yùn)算能力和空間想象能力，并為學(xué)習(xí)黎曼幾何、微分流形等后繼課程打下基礎(chǔ)。在教學(xué)中，如何激發(fā)學(xué)生對微分幾何的興趣，增強(qiáng)學(xué)生解決幾何問題的能力，以提高教學(xué)質(zhì)量，已成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要課題。Maple是一種具有強(qiáng)大符號計(jì)算和數(shù)學(xué)分析能力的軟件，具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)可視化能力，另外Maple提供了一種結(jié)構(gòu)化的內(nèi)部編程語言，類似于C、BASIC等第四代高級語言，使用戶可以快速地設(shè)計(jì)編寫自己的程序。Maple在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[1-8]。

本文討論了Maple在微分幾何教學(xué)中的應(yīng)用，它不僅可以簡化計(jì)算，而且還可以繪制曲線和曲面的圖形，從而可以更加直觀地幫助學(xué)生理解微分幾何的理論。

1 Maple計(jì)算功能在微分幾何實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

微分幾何課程中有一些公式計(jì)算比較復(fù)雜，例如曲線的曲率和撓率以及曲面的高斯曲率和平均曲率計(jì)算。我們可以利用Maple的計(jì)算功能輔助計(jì)算，提高學(xué)生的計(jì)算能力。

1.1 空間曲線上任意一點(diǎn)的曲率和撓率計(jì)算

曲率和撓率刻畫了空間曲線在一點(diǎn)鄰近的彎曲程度和扭曲情況，曲線論的基本定理證明了除空間位置差別之外，空間曲線形狀可以由曲率和撓率唯一確定。設(shè)C3類曲線參數(shù)方程為，則曲率。曲率和撓率是曲線論中的核心概念，根據(jù)公式計(jì)算曲率和撓率，比較復(fù)雜，我們可以利用Maple來簡化計(jì)算。下面以曲線論中的經(jīng)典曲線——圓柱螺線為例，求圓柱螺線={a cost,a sin t,b t}(-＜t＜)的曲率與撓率。

打開Maple軟件，在主界面輸入程序語句計(jì)算曲率和撓率：

1.2 關(guān)于曲面第一基本形式和第二基本形式的計(jì)算

在Maple命令窗口輸入以下程序語句：

2 Maple的圖形繪制功能在微分幾何實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

為了加強(qiáng)學(xué)生對幾何中一些原理的理解，我們在教學(xué)中經(jīng)常要作圖。手工繪制三維圖形不僅浪費(fèi)時間，而且制作的圖形也不夠準(zhǔn)確；另一方面微分幾何中的原理常常表現(xiàn)為變換中存在不變，為了描述這種現(xiàn)象，就需要作動態(tài)圖。以上問題我們可以采用Maple作圖，根據(jù)所學(xué)的幾何原理畫出動態(tài)的幾何圖形。

圓柱螺線和圓錐螺線在曲線論中是兩個經(jīng)典的例子。圓柱螺線可以看成一個質(zhì)點(diǎn)圍繞圓柱面的運(yùn)動軌跡，這個運(yùn)動可以分解成繞圓柱面勻速轉(zhuǎn)動和向上勻速直線運(yùn)動，圓柱螺線具有常的曲率和常的撓率。圓錐螺線稍稍復(fù)雜一些，它的曲率和撓率都是變化的。下面我們用Maple軟件繪制圓柱螺線和圓錐螺線的圖形。在Maple中輸入以下程序語句：

繪制出的圖形如下圖1和圖2。

正螺面和懸鏈面是曲面論中典型的例子。正螺面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交的漸進(jìn)網(wǎng)，是非可展的直紋面，同時又是極小曲面。微分幾何中證明了極小的旋轉(zhuǎn)曲面一定是懸鏈面，而懸鏈面和正螺面又是等距的。下面我們繪制出正螺面和懸鏈面的圖形，輸入以下程序語句：

繪制出的正螺面如圖3，懸鏈面如圖4。

圖1 圓柱螺線

圖2 圓錐螺線

圖3 正螺面

圖4 懸鏈面

以上利用Maple作出的圖形可以轉(zhuǎn)換不同的視角給學(xué)生觀看，也可以作出動態(tài)的圖形，很好地體現(xiàn)了Maple的繪圖功能在微分幾何教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用性。

3 結(jié)束語

Maple為微分幾何實(shí)踐教學(xué)提供了一個非常好的平臺，它具有超強(qiáng)的符號計(jì)算功能和3D繪圖功能。教師運(yùn)用軟件輔助教學(xué)，能夠把抽象的幾何理論形象地展示出來。學(xué)生在學(xué)習(xí)中使用軟件，可以省去大量復(fù)雜的手工計(jì)算，更加容易接受所學(xué)的理論。Maple應(yīng)用于微分幾何實(shí)踐教學(xué)可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的計(jì)算能力和創(chuàng)新能力，從而獲得更好的教學(xué)效果。

[1]阿榮．Maple在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2013，16(4)：97-99．

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[責(zé)任編輯：桂傳友]

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1674-1104(2014)03-0126-03

10.13420/j.cnki.jczu.2014.03.037

2013-12-13

國家特色專業(yè)教研項(xiàng)目（TS11496）；安徽省教學(xué)研究項(xiàng)目（2012jyxm344）；安徽省教育廳科研項(xiàng)目（KJ2013Z263）。

周俊東（1983-），男，安徽肥東人，阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院講師，碩士，主要研究方向?yàn)槲⒎謳缀巍?/p>