雍霄駒， 方洋旺， 高 翔， 張 磊， 封普文

(空軍工程大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，陜西 西安 710038)

在導(dǎo)彈的中制導(dǎo)過程中，探測傳感器經(jīng)常受到自身限制和敵方干擾，無法提供對目標(biāo)的精確觀測信息．若能同時(shí)使用多個(gè)傳感器對目標(biāo)進(jìn)行探測，并由信息融合算法得到對目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)信息，可顯著提高目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的精度[1]．但各傳感器之間起始采樣時(shí)間、采樣頻率不同，數(shù)據(jù)鏈傳輸數(shù)據(jù)的時(shí)延也不同，若直接使用各傳感器數(shù)據(jù)，往往得到比非信息融合更差的估計(jì)結(jié)果[2]．因此，在信息融合處理前，對各傳感器的探測數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間配準(zhǔn)處理的效果是關(guān)系到信息融合最終效果的關(guān)鍵問題．

目前常用的時(shí)間配準(zhǔn)算法主要包括內(nèi)插外推法[3]、濾波方法[4]、曲線擬合法[5-6]、最小二乘法[7]等，各算法都有其優(yōu)缺點(diǎn)．內(nèi)插外推法是一種較常用的方法，采用三點(diǎn)插值法或拉格朗日插值法，將配準(zhǔn)時(shí)刻定為插值點(diǎn)，從而得到配準(zhǔn)時(shí)刻的數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)時(shí)間配準(zhǔn)．根據(jù)插值法的算法原理，插值數(shù)據(jù)應(yīng)處在插值區(qū)間中部，才能保證較高的精度[8]，因此用于事后處理效果較好，但無法滿足導(dǎo)彈飛行中制導(dǎo)的實(shí)時(shí)性要求．文獻(xiàn)[4]采用UKF算法同時(shí)對時(shí)間和空間進(jìn)行配準(zhǔn)，不失為一次較好的嘗試，但其推導(dǎo)過程基于目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，若模型失配，則誤差較大．曲線擬合算法根據(jù)一段區(qū)間內(nèi)的采樣數(shù)據(jù)，由最小二乘準(zhǔn)則擬合出一條以時(shí)間為變量的多項(xiàng)式曲線，從而得到配準(zhǔn)時(shí)刻的數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)時(shí)間配準(zhǔn)．但是，配準(zhǔn)時(shí)刻在端點(diǎn)處時(shí)存在發(fā)散現(xiàn)象[9]，因此同樣存在實(shí)時(shí)性問題，同時(shí)，曲線擬合算法還需解決擬合階次與窗口長度選擇的問題[10]．Blair等[11]提出的最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法在目標(biāo)勻速直線運(yùn)動(dòng)及傳感器采樣頻率與配準(zhǔn)頻率之比為整數(shù)兩個(gè)前提條件下，利用最小二乘算法得到配準(zhǔn)時(shí)刻的虛擬采樣值，從而實(shí)現(xiàn)時(shí)間配準(zhǔn)．但是這兩個(gè)假設(shè)極大地限制了最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的應(yīng)用．針對此問題，筆者采用多模型的思想，將假設(shè)目標(biāo)勻速直線運(yùn)動(dòng)改為假設(shè)目標(biāo)分別為勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻加速直線運(yùn)動(dòng)和加加速直線運(yùn)動(dòng)，并分別推導(dǎo)其所對應(yīng)的最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)結(jié)果，將結(jié)果擴(kuò)展到速度、加速度、加加速度等狀態(tài)的求解;隨后利用模型求解過程中得到的速度、加速度、加加速度進(jìn)行外推，得到配準(zhǔn)周期與采樣周期不成比例時(shí)的配準(zhǔn)結(jié)果．

1 多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法

1.1 單模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法

基于單模型的最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法有兩個(gè)基本假設(shè)[2]:

(1) 傳感器S的采樣周期為τ，配準(zhǔn)周期為T，則配準(zhǔn)周期與傳感器采樣周期之比為整數(shù)，即T=nτ;

(2) 目標(biāo)在時(shí)間配準(zhǔn)的時(shí)間段內(nèi)一直保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法就是將配準(zhǔn)周期T的時(shí)間范圍內(nèi)的n個(gè)S的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到一個(gè)虛擬的采樣值，從而實(shí)現(xiàn)時(shí)間配準(zhǔn)．

(1)

其中，vi是量測噪聲．將上式改寫為向量形式:

Zn=WnU+Vn,

(2)

(3)

1.2 多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法

根據(jù)單模型的最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的原理可以看出，其兩個(gè)基本假設(shè)極大地限制了實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際的時(shí)間配準(zhǔn)問題中，配準(zhǔn)頻率與傳感器的采樣頻率很難成整數(shù)倍關(guān)系，且在時(shí)間配準(zhǔn)過程中，目標(biāo)幾乎不可能一直保持勻速直線運(yùn)動(dòng)．因此，筆者給出了非整數(shù)周期比條件下的多模型的時(shí)間配準(zhǔn)算法．

當(dāng)采用勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型時(shí)，

當(dāng)采用加加速直線運(yùn)動(dòng)模型時(shí)，

1.3 模型求解

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，有目標(biāo)函數(shù)

(4)

(5)

(6)

(7)

由此，可以得到3種模型下的最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)的位置以及各模型所對應(yīng)的位置的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)．

根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則，得配準(zhǔn)值為

圖1 非整數(shù)周期比條件下的最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)

通過后端的濾波算法進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型的辨識來獲得量測噪聲方差[σ(1)]2、[σ(2)]2和[σ(3)]2，反饋給時(shí)間配準(zhǔn)算法，采用式(9)進(jìn)行計(jì)算，減少以往時(shí)間配準(zhǔn)過程中對于目標(biāo)勻速運(yùn)動(dòng)假設(shè)與實(shí)際運(yùn)動(dòng)不符所帶來的誤差，提高了時(shí)間配準(zhǔn)算法的精度和適應(yīng)性．

1.4 非整數(shù)周期比條件下的多模型算法

若配準(zhǔn)周期與傳感器的采樣周期之比為非整數(shù)倍，其情形如圖1所示．

(1) 勻速直線運(yùn)動(dòng)模型

(10)

(2) 勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型

(11)

(3) 加加速直線運(yùn)動(dòng)模型

(12)

根據(jù)式(8)和式(9)，可以得到周期之比為非整數(shù)倍情況下的多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)的結(jié)果．

2 仿真分析

2.1 目標(biāo)為弱機(jī)動(dòng)狀態(tài)

假定目標(biāo)在0～60 s內(nèi)勻速直線運(yùn)動(dòng)；在60～200 s內(nèi)勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為 6g．目標(biāo)的初始位置為(100，3 000)，初始速度為 420 m/s，初始速度傾角為 π/4．在 10～ 180 s 內(nèi)進(jìn)行時(shí)間配準(zhǔn)．

仿真1 雷達(dá)傳感器的采樣周期為0.15 s，配準(zhǔn)周期為1 s，雷達(dá)的測距誤差為 10 m，則多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差(RMSE)如圖2所示．

由圖2可以看出，當(dāng)目標(biāo)為弱機(jī)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，從時(shí)間配準(zhǔn)效果上看，勻速模型優(yōu)于多模型并優(yōu)于常加速模型且優(yōu)于加加速模型．勻速模型的X方向與Y方向的均方根誤差在8上下震蕩，而常加速模型與加加速模型的X方向與Y方向的均方根誤差在11和15上下震蕩．多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差與雷達(dá)探測精度相當(dāng)，在10上下震蕩．總體來說，在此情形下，4種算法的時(shí)間配準(zhǔn)誤差相差不大．

圖2 當(dāng)目標(biāo)弱機(jī)動(dòng)時(shí)算法效果比較圖3 均方根誤差隨雷達(dá)測距誤差變化曲線

仿真2 假定雷達(dá)的采樣周期為0.08 s，時(shí)間配準(zhǔn)周期為1 s，雷達(dá)的測距誤差由 10 m 至 100 m 變化，則多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差隨雷達(dá)測距誤差情況如圖3所示．

由圖3可以看出，當(dāng)雷達(dá)的探測誤差增大時(shí)，3種模型的時(shí)間配準(zhǔn)算法的誤差隨著探測誤差也線性增大．勻速模型的時(shí)間配準(zhǔn)效果保持最好，且勻速模型的配準(zhǔn)誤差增加速率最小，對誤差的抑制效果最好．

圖4 均方根誤差隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載變化曲線

仿真3 假定目標(biāo)勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度從1g至9g變化．雷達(dá)采樣周期為 0.08 s，時(shí)間配準(zhǔn)周期為 1 s，雷達(dá)測距誤差為 10 m，則多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載的變化情況如圖4所示．

由圖4可以看出，3種模型的時(shí)間配準(zhǔn)誤差不隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)的過載增大而增大，勻速模型的時(shí)間配準(zhǔn)均方根誤差保持在5上下，勻加速模型的時(shí)間配準(zhǔn)均方根誤差保持在8上下，加加速模型的時(shí)間配準(zhǔn)均方根誤差保持在10上下．因此，當(dāng)目標(biāo)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差不受目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載的影響．

2.2 目標(biāo)為強(qiáng)機(jī)動(dòng)狀態(tài)

假定目標(biāo)在0～20 s為勻速直線運(yùn)動(dòng)；在20～50 s為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為5g；在 50～ 80 s 為勻速圓周運(yùn)動(dòng)；在 80～ 200 s 為勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度為 6g，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 3 000 m．目標(biāo)的初始位置為(100，3 000)，初始速度為 420 m/s，初始速度傾角為 π/4．在10～ 180 s 內(nèi)進(jìn)行時(shí)間配準(zhǔn)．

圖5 均方根誤差隨時(shí)間變化曲線

仿真4 雷達(dá)傳感器的采樣周期為0.08 s，配準(zhǔn)周期為1 s，雷達(dá)的測距誤差為 10 m，則多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差如圖5所示．

由圖5可以看出，在10～50 s階段，目標(biāo)為直線運(yùn)動(dòng)，勻速模型的時(shí)間配準(zhǔn)誤差依然最?。窃?50 s 以后，目標(biāo)進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)，勻速模型的時(shí)間配準(zhǔn)誤差迅速增大，最終在20上下震蕩；而常加速模型和加加速模型的時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差一直在7上下．多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差在圓周運(yùn)動(dòng)階段雖然有所增大，但是也沒有劇烈的惡化．

仿真5 假定雷達(dá)傳感器的采樣周期為0.08 s，配準(zhǔn)周期為 1 s，雷達(dá)的測距誤差由 10 m 至 100 m 變化，則多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差隨雷達(dá)測距誤差情況如圖6所示．

由圖6可以看出，在雷達(dá)探測誤差小于30 m時(shí)，勻速模型時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差最大，常加速模型時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差最??；當(dāng)雷達(dá)探測誤差大于 60 m 時(shí)，勻速模型時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差最小，加加速模型時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差最大．無論雷達(dá)的探測誤差如何變化，多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差均保持在一個(gè)較小的水平． 因此， 多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法在目標(biāo)為強(qiáng)機(jī)動(dòng)的情況下， 其優(yōu)越性不受雷達(dá)探測誤差的影響．

圖6 均方根誤差隨雷達(dá)測距誤差變化曲線圖7 均方根誤差隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載變化曲線

仿真6 假定目標(biāo)勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度從1g至9g變化．雷達(dá)采樣周期率為 0.08 s，時(shí)間配準(zhǔn)周期為 1 s，雷達(dá)測距誤差為 10 m，則多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載的變化情況如圖7所示．

由圖7可以看出，當(dāng)目標(biāo)圓周運(yùn)動(dòng)的機(jī)動(dòng)過載小于3g時(shí)，勻速模型的時(shí)間配準(zhǔn)算法均方根誤差仍然和雷達(dá)的探測誤差相當(dāng)；如果目標(biāo)的機(jī)動(dòng)過載繼續(xù)增大，勻速模型的時(shí)間配準(zhǔn)均方根誤差急劇惡化，遠(yuǎn)大于雷達(dá)的探測誤差．常加速模型和加加速模型的時(shí)間配準(zhǔn)均方根誤差不隨目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載的增大而增大，保持在平穩(wěn)狀態(tài)．多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的配準(zhǔn)均方根誤差在目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載為9g時(shí)依然為超過雷達(dá)的探測誤差，因此，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)過載較大時(shí)，多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的均方根誤差均保持在一個(gè)較小的水平．

由以上兩組仿真可以看出，當(dāng)目標(biāo)弱機(jī)動(dòng)時(shí)，勻速模型的時(shí)間配準(zhǔn)算法取得較好效果．當(dāng)目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)時(shí)，若雷達(dá)探測誤差小于 30 m，則加加速模型時(shí)間配準(zhǔn)取得較好效果；若雷達(dá)探測誤差大于 30 m，則常加速模型和勻加速模型取得較好效果．而筆者提出的多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法雖不能取得最佳的時(shí)間配準(zhǔn)結(jié)果，但是無論目標(biāo)為何種機(jī)動(dòng)，雷達(dá)探測精度如何，配準(zhǔn)結(jié)果的X方向與Y方向的均方根誤差一直保持較低水平，且不發(fā)散，結(jié)果均值得信賴．

3 總 結(jié)

針對傳統(tǒng)最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法的不足，結(jié)合多模型的思想，在推導(dǎo)了常加速模型、加加速模型時(shí)間配準(zhǔn)算法的基礎(chǔ)上，筆者提出了多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法．而且筆者所研究的多模型最小二乘可應(yīng)用于時(shí)間配準(zhǔn)周期與雷達(dá)采樣周期之比為非整數(shù)的情況．通過大量仿真，驗(yàn)證了多模型最小二乘時(shí)間配準(zhǔn)算法在目標(biāo)機(jī)動(dòng)過載從 1g至 9g變化時(shí)保持算法的有效性，在雷達(dá)的探測誤差從 10 m 至 100 m 變化時(shí)也保持算法的有效性．

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