陳俊碩， 劉景林， 張 穎

(西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，陜西 西安 710072)

現(xiàn)代交流伺服系統(tǒng)中，永磁同步電機(PMSM)由于具有體積小、重量輕、結(jié)構(gòu)簡單、維護方便、運行可靠且具備高效率、高功率密度等優(yōu)點[1-2]，在航空航天領(lǐng)域以及工業(yè)自動化、機器人等場所得到了廣泛應(yīng)用．常規(guī)的基于比例積分控制(PI)的矢量控制方案依然能滿足一定范圍內(nèi)的控制要求，但其依賴于系統(tǒng)的準確模型，極易受到外來的擾動以及電機內(nèi)部參數(shù)變化的影響，系統(tǒng)的魯棒性不夠理想[3-4]．

近年來預(yù)測控制理論中一些新型的模型預(yù)測控制(Model Predictive Control，MPC)方法被相繼提出，該模型可以有效地解決類似永磁同步電機這樣多變量、強耦合、非線性、變參數(shù)的復(fù)雜系統(tǒng)控制難題，如H∞魯棒模型預(yù)測控制、約束線性模型預(yù)測控制及非線性模型預(yù)測控制(Nonlinear Model Predictive Control， NMPC)等[5-7]．美國NASA Glenn研究中心從控制角度討論了智能發(fā)動機的發(fā)展，介紹了有關(guān)非線性模型預(yù)測控制的應(yīng)用．該方法通過預(yù)測優(yōu)化手段準確控制目標，在有擾動或模型失配的情況下具有良好的魯棒性．但是，非線性模型預(yù)測控制基本都以單步長泰勒級數(shù)法為基礎(chǔ)，求解泰勒級數(shù)也就是求解多次微積分過程，計算非常復(fù)雜．因此，現(xiàn)有的非線性模型預(yù)測控制大部分只能用于較慢的過程控制．隨著計算方法和電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，近些年非線性模型預(yù)測控制也被嘗試應(yīng)用于各類快動態(tài)系統(tǒng)中．

由于在實際利用非線性最小二乘法實時求解預(yù)測控制的應(yīng)用中，計算效率對于控制方案可行性至關(guān)重要，為此，筆者提出了基于預(yù)測控制的新型矢量控制方案，針對非線性模型預(yù)測控制求解泰勒級數(shù)復(fù)雜問題，引入簡單有效的計算泰勒級數(shù)的自動微分方法[8]，提高了預(yù)測控制算法的效率，降低了對模型的依賴性，并設(shè)計了一個永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)新型矢量控制器．實驗結(jié)果表明，該控制方案滿足了動態(tài)較快的電動機實時性要求，具有一定的抗干擾能力．

1 基于自動微分的非線性模型預(yù)測控制基本原理

首先以常見的一階非線性系統(tǒng)為例，對基于自動微分的非線性模型預(yù)測控制基本原理進行說明，即

(1)

其中，u(t)∈R，是控制輸入；y(t) ∈Rm，是系統(tǒng)輸出；h為步長．若令z=f(x)，則其為一個連續(xù)微分方程，f:Rn→Rm．假設(shè)輸入u(υ)=u[0]+u[1]υ+ …+u[r]υr，r≤d(d為泰勒展開次數(shù))，其中所有的輸入系數(shù)u[k]，k=1，2，…，r為已知，令矢量v= [u[0]T，u[1]T， …，u[r]T]T， 利用自動微分方法，x(υ)和y(υ)的泰勒級數(shù)可以由x[0]和v通過鏈式法則得到[8]，其結(jié)果如下:

(2)

其中，z[k]為z對時間t的d次泰勒展開系數(shù)被系數(shù)向量x[k]惟一確定．

用自動微分法對z[k]求偏微分，定義如下:

(3)

其中，A[k]∈Rn×n，k=0，1，…，d， 為泰勒級數(shù)的雅克比路徑，其定義為

(4)

由式(4)可得，f′(x(t))可以表示為

f′(x(t))=A[0]+A[1]t+…+A[d]td+ξ(td+1) ．

(5)

對于類似式(1)中的微分方程x=f(x(t))，由于展開系數(shù)x[k+1]=z[k]/(k+1)，令x[0]=x(0)，則在t時刻的任意階泰勒級數(shù)都可遞推獲得．從式(4)可得，x[k]對于x[0]和v的靈敏度為

(6)

其中，矩陣B[0]=[I|0]．

針對在非線性模型預(yù)測控制中求解泰勒級數(shù)的不便，引入自動微分方法使泰勒級數(shù)計算變?yōu)楹唵蔚臄?shù)值運算．把求解雅克比矩陣轉(zhuǎn)化為求解泰勒極數(shù)的靈敏度，得出其對于初始量x[0]的靈敏度矩陣，進一步簡化了非線性模型預(yù)測控制中的計算量，使其能滿足動態(tài)較快的永磁同步電機矢量控制要求．

2 永磁同步電機數(shù)學(xué)模型

2.1 永磁同步電機基本矢量控制數(shù)學(xué)模型

基于表面式永磁同步電機，假設(shè)磁路不飽和，在空間磁場呈正弦分布，不計磁滯和渦流損耗影響的條件下，采用id=0 的永磁同步電機矢量控制[9]，轉(zhuǎn)矩大小只與定子電流的幅值成正比，實現(xiàn)了永磁同步電機解耦控制．此時，永磁同步電機的d-q軸數(shù)學(xué)模型為

(7)

其中，ud和uq分別為d和q軸的電壓；id和iq分別為d和q軸的電流；Ld和Lq分別為d軸和q軸的電感；R為定子電阻；J為轉(zhuǎn)動慣量；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負載轉(zhuǎn)矩；np為極對數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子機械角速度；B為粘滯摩擦系數(shù)；φ為永磁體與定子交鏈的磁鏈．

2.2 永磁同步電機新型矢量控制數(shù)學(xué)模型

對永磁同步電機基本模型進行基于自動微分的泰勒展開[10]，對式(7)中的id、iq和ω在t時刻針對于t0時刻d次泰勒展開，其中展開系數(shù)id[0]、iq[0]和ω[0]由t0時刻初始值確定，即

(8)

假設(shè)控制量、負載轉(zhuǎn)矩在t0到t時刻不變，當展開次數(shù)k=1時，泰勒系數(shù)id[1]、iq[1]和ω[1]可由式(7)得到，即

(9)

當展開次數(shù)k>1時，由式(7)得

(10)

由鏈式法則及自動微分算法進行迭代，可以得到階數(shù)k>1時的泰勒系數(shù)，即

(11)

式(8)、(9)和(11)構(gòu)成了一個完整的永磁同步電機的泰勒系數(shù)計算方案．令tf=tn+1和ti+1=ti+h，i=0，1，…，n，在初始值id[0]、iq[0]和ω[0]已知時，在ti時刻永磁同步電機的id、iq和ω的數(shù)值大小可用它們在t時刻針對于t0時刻d次泰勒展開式遞推獲得，最后得到在tf時刻的計數(shù)值．

3 靈敏度計算

在實際利用非線性最小二次方實時求解預(yù)測控制的應(yīng)用中，計算效率是控制方案能否可行的重要條件．實驗結(jié)果表明，在非線性控制中，超過90%的計算量都消耗在微分計算中[11]．因此，為了加快永磁同步電機新型矢量控制的計算速度，根據(jù)式(7)推導(dǎo)出了一個適合永磁同步電機的基于自動微分的泰勒級數(shù)靈敏度的計算方法．

根據(jù)永磁同步電機新型矢量控制的數(shù)學(xué)模型，由式(2)中的x和v可定義永磁同步電機控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量s= [id，iq，ω]，控制量u= [ud，uq]．可定義式(7)的靈敏度矩陣為

(12)

由上述靈敏度矩陣，通過式(6)的靈敏度推導(dǎo)，定義永磁同步電機泰勒級數(shù)展開式t+h時刻對t時刻的靈敏度，即

(13)

對于文中的控制器，滾動優(yōu)化模塊是為了在電流、轉(zhuǎn)速等限制約束范圍內(nèi)，最優(yōu)地實現(xiàn)電機轉(zhuǎn)速恒定．該問題可表示為

(14)

(15)

上述目標函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為求控制量u對E的雅克比矩陣J，使得V為最小．根據(jù)求解非線性方程組的全局收斂的Levenberg-Marquardt算法，結(jié)合雅克比矩陣J和性能矢量E，在輸入約束的條件下，得到優(yōu)化控制序列U= [uT(t0)，uT(t1)，…，uT(tn)]T，可通過下式遞推更新:

Uk+1=Uk-(JTJ+λI)-1JTE,

(16)

其中，λ是性能控制參數(shù)，使得性能指標每一步都收斂．計算得到的控制量U*中只有第1個控制量uT(t0)應(yīng)用到下一個采樣周期中，完成當前控制；重復(fù)上述步驟，進行下一步的控制．

圖1 永磁同步電機系統(tǒng)非線性模型預(yù)測控制框圖

4 新型矢量控制

結(jié)合文中所提的控制方法，新型矢量控制系統(tǒng)框圖如圖1所示．

ω*(t+1)=αωr(t)+(1-α)ω0，α=exp(-T/τ) ,

(17)

其中，ω*(t+1)為t+1時刻轉(zhuǎn)速期望輸出，ωr為t時刻的系統(tǒng)實際輸出，ω0為期望系統(tǒng)穩(wěn)定輸出，τ為參考軌跡的時間常數(shù)．

圖2 dSPACE實時仿真系統(tǒng)的硬件框圖

5 實驗驗證

基于上述設(shè)計 ， 在德斯拜思(dSPACE)實時仿真系統(tǒng)中進行了實驗驗證．設(shè)定系統(tǒng)仿真算法為固定步長Fixed-step，Euler算法，基本步長為 0.000 1．永磁同步電機的dSPACE半實物仿真系統(tǒng)如圖2所示．為了保護dSPACE系統(tǒng)的接口安全，由DS1005板卡各模塊發(fā)出的信號經(jīng)過隔離電路后最終加到驅(qū)動功率主電路上．系統(tǒng)控制需要的電流、電壓、轉(zhuǎn)速等物理信號都需要通過隔離電路傳回dSPACE的各組件模塊中，完成系統(tǒng)的閉環(huán)回路．實驗所用永磁同步電機參數(shù)為：極對數(shù)np=4，交直軸電感Lq=Ld= 0.009 2 H，定子電阻R=3.3 Ω，轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈φ=0.18 Wb，轉(zhuǎn)動慣量J=0.005 kg·m2．

系統(tǒng)采樣時間為0.1 ms，參考軌跡中τ=13，狀態(tài)增益矩陣Q= [1/Ld，1/Lq，1/J]，控制增益矩陣R= [1，0.1]，兼顧系統(tǒng)允許誤差為10-9，選用相對較小又能快速穩(wěn)定的泰勒展開次數(shù)d=3．系統(tǒng)初始速度為0，在 2 s 時加入 600 r/m 的期望轉(zhuǎn)速，同時加入 12 N·m 的負載轉(zhuǎn)矩．圖3為采集的電機轉(zhuǎn)速從0到 600 r/m 的啟動過程中參考轉(zhuǎn)速n*、轉(zhuǎn)速n和相電流I的波形．由于實驗中電源電壓不能加的太快，實際轉(zhuǎn)速比參考轉(zhuǎn)速上升的稍慢，但從中可以看到，在新型矢量控制下電機啟動轉(zhuǎn)速波動小，穩(wěn)態(tài)性能好．

圖3 啟動過程轉(zhuǎn)速和相電流的波形

圖4是在10 s時，增加2 N·m負載轉(zhuǎn)矩，新型矢量控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速和相電流的波形．可以看出，基于新型矢量控制系統(tǒng)對于轉(zhuǎn)矩的突變有更強的適應(yīng)性，轉(zhuǎn)速基本不發(fā)生變化；從相電流波形可以看到，在突變過程新型矢量控制系統(tǒng)中電流較傳統(tǒng)矢量控制變化較?。捎谠诜答佇Ｕh(huán)節(jié)中加入轉(zhuǎn)速偏差可以有效地消除靜差，保證系統(tǒng)具有較好的抗干擾效果．

圖4 負載轉(zhuǎn)矩變化時轉(zhuǎn)速和相電流的波形(新型矢量控制)

圖5為采用傳統(tǒng)矢量控制，當轉(zhuǎn)矩發(fā)生同樣的變化時，卻導(dǎo)致轉(zhuǎn)速有10%的下降，經(jīng)過 10 s 才能恢復(fù)到 600 r/m．同時從相電流波形可以看到，在突變過程中傳統(tǒng)矢量控制系統(tǒng)中相電流明顯增大．

圖5 負載轉(zhuǎn)矩變化時轉(zhuǎn)速和相電流的波形(傳統(tǒng)矢量控制)

6 結(jié) 束 語

設(shè)計了永磁同步電機基于預(yù)測控制的新型矢量控制器，針對在預(yù)測控制中求解泰勒級數(shù)的不便，引入自動微分方法使泰勒級數(shù)計算變成簡單的數(shù)值運算．實驗結(jié)果表明，文中設(shè)計的新型矢量控制器應(yīng)用于永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)中是有效可行的；與常規(guī)矢量控制相比，不僅能夠較好地保證調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以有效地改善系統(tǒng)的魯棒性，使系統(tǒng)具有更好的抗干擾能力．

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