周薔,劉長(zhǎng)有

（1.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，南京210016；2.中國(guó)民航大學(xué)空管學(xué)院，天津300300）

考慮No-Show的多航段航空機(jī)票定價(jià)模型

周薔1,劉長(zhǎng)有*2

（1.南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院，南京210016；2.中國(guó)民航大學(xué)空管學(xué)院，天津300300）

本文提出了多航段航空機(jī)票定價(jià)模型，從航空公司與旅客兩個(gè)局中人的博弈的角度，闡述了考慮No-Show下的兼顧多航段航空機(jī)票定價(jià)模型.該模型由價(jià)格控制市場(chǎng)需求出發(fā)，結(jié)合博弈論、概率論等基本理論，完成多航段機(jī)票定價(jià)決策的同時(shí)，通過(guò)價(jià)格變化控制機(jī)票銷量，達(dá)到超售有效克服No Show對(duì)收益的影響，并同步實(shí)現(xiàn)了不同航段艙位的合理分配.算例驗(yàn)證了該模型的可操作性和實(shí)用價(jià)值.

航空運(yùn)輸；收益；多航段；博弈論；No-Show

1 引言

伴隨著航空的迅猛發(fā)展和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的日益加劇，為了合理地優(yōu)化配置航空運(yùn)輸資源，有關(guān)航班在非熱點(diǎn)城市實(shí)行航班轉(zhuǎn)機(jī)運(yùn)輸已成為航空運(yùn)輸與相關(guān)組織研究的一大熱點(diǎn)，這就形成了多航段艙位控制問(wèn)題，而核心問(wèn)題就是在不確定環(huán)境下，航空座艙在起飛地和中轉(zhuǎn)地的分配問(wèn)題.單航段航線只需要考慮一個(gè)起飛點(diǎn)的收益與座艙分配問(wèn)題，而多航段在考慮起飛點(diǎn)的同時(shí)，還必須兼顧中轉(zhuǎn)點(diǎn)的顧客及收益問(wèn)題，因此，承擔(dān)轉(zhuǎn)機(jī)任務(wù)的航空公司更應(yīng)該從收益管理的角度，對(duì)起飛點(diǎn)與中轉(zhuǎn)點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)一考慮，從而實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化[1,2].

目前，航空公司收益管理主要是根據(jù)旅客的需求，將飛機(jī)全部座艙劃分為幾個(gè)等級(jí)的子艙，確定各子艙所對(duì)應(yīng)旅客可承受的價(jià)格水平，預(yù)測(cè)出各艙位所對(duì)應(yīng)的旅客需求，然后再確定各艙位的座位數(shù)量，使航班的收益最大化.

理論研究方面，早在1972年Littlewood就單航段、兩級(jí)票價(jià)的艙位控制問(wèn)題提出了邊際收益的概念[3].1987年美國(guó)的Peter P B在其博士論文中提出了邊際期望座位收益方法（EMSR），這種方法已經(jīng)成為各航空公司艙位控制的經(jīng)典方法[4].EMSR模型是針對(duì)單航段收益最大化的優(yōu)化模型，并未考慮多航段航線收益最優(yōu)化.因此，不能用來(lái)解決多航段航線收益管理問(wèn)題.

Wollmer在1986年引入旅客需求的概率性假設(shè)的EMR（expected marginal revenue）模型[5]，比較完整地描述了多航段座位控制的實(shí)際情況.2005年高強(qiáng)等人根據(jù)遺傳算法構(gòu)建了航空收益管理中的多航段艙位控制模型[6].2010年衡紅軍等人建立了基于橢球體的多航段艙位控制穩(wěn)健優(yōu)化模型[7].2012年樊瑋等建立了基于分布估計(jì)算法的多航段座位分配模型[8].2013年樂(lè)美龍等基于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避研究了多航段艙位分配問(wèn)題[9].可見(jiàn)，近年來(lái)多航段航空收益管理問(wèn)題越來(lái)越受到業(yè)內(nèi)專家學(xué)者的關(guān)注，成為該領(lǐng)域研究的重點(diǎn)問(wèn)題.但大多數(shù)研究?jī)H將焦點(diǎn)聚集到航空艙位的控制策略方面，而忽略了航空收益管理的另一重要手段——“超售”.

文獻(xiàn)[10]基于博弈論，通過(guò)航空公司的機(jī)票價(jià)格決策調(diào)節(jié)機(jī)票銷量，達(dá)到控制超售、艙位分配的目的，建立了將機(jī)票定價(jià)、超售、艙位控制有機(jī)結(jié)合的收益管理模型.該模型能較好克服No-Show隨機(jī)性對(duì)收益的影響，同步實(shí)現(xiàn)定價(jià)、超售及艙位控制，有效提高航空公司收益，但目前模型僅適用于單航段情況.本文主要針對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)研究，解決多航段下定價(jià)、超售及艙位的同步控制問(wèn)題，建立考慮No-Show的多航段航空機(jī)票定價(jià)模型.

2 基本原理

2.1 航空公司與旅客的博弈

在航空公司與旅客關(guān)于機(jī)票票價(jià)的博弈中，局中人分別為航空公司和旅客.博弈過(guò)程中航空公司首先進(jìn)行決策機(jī)票預(yù)售價(jià)格，然后旅客在獲知航空公司決策的條件下根據(jù)票價(jià)來(lái)選擇是否購(gòu)買.因此，該問(wèn)題是完全信息動(dòng)態(tài)博弈.

定義局中人1為航空公司，局中人2為旅客.航空公司與旅客的動(dòng)態(tài)博弈樹(shù)形如圖1所示.

圖1 航空公司與旅客的動(dòng)態(tài)博弈Fig 1 Dynamic game of airlines and passengers

圖1中fi() i=1,2,…表示航空公司全部航段可行的機(jī)票價(jià)格方案集，F(xiàn),V是票價(jià)fi的函數(shù)，分別表示航空公司、旅客的收益，Y表示“接受”，N表示“拒絕”.

如果旅客選擇購(gòu)買機(jī)票，航空公司獲得收益F.考慮到旅客具有出行需求，如拒絕購(gòu)票則只能選擇其他出行方式.因此，旅客購(gòu)票也可獲得選擇其他出行方式需付出的總成本減去機(jī)票價(jià)格的收益V.

根據(jù)博弈論理論，航空公司與旅客關(guān)于機(jī)票定價(jià)的博弈是非對(duì)抗性的合作博弈，局中人共同謀劃獲得最大利益.因此，航空公司博弈中的理想結(jié)局應(yīng)為

顯然，旅客是理性的，會(huì)關(guān)心自身收益得失.飛機(jī)相對(duì)于其他傳統(tǒng)出行方式而言，在效率、舒適性及心理偏好等方面具有一定優(yōu)勢(shì)，只要收益V≥0旅客便會(huì)選擇接受購(gòu)票，反之拒絕購(gòu)票.所以，航空公司可通過(guò)適當(dāng)?shù)臋C(jī)票價(jià)格來(lái)調(diào)整旅客收益V，間接控制旅客決策行為，實(shí)現(xiàn)價(jià)格、超售及艙位控制的有機(jī)結(jié)合，獲得更高收益.

2.2 旅客收益

若想通過(guò)票價(jià)調(diào)節(jié)旅客的收益函數(shù)V，進(jìn)而控制旅客訂票數(shù)量，首先需了解旅客出行成本.設(shè)C為旅客出行總成本，則

將旅客出行總成本分為兩部分：

式中Cp視為旅客選擇其他出行方式所需支付的票價(jià)（如：購(gòu)買的火車車票價(jià)格）；Cs可理解為時(shí)間成本，如選擇其他出行方式與乘坐航班相比，旅途中所耗時(shí)間對(duì)旅客造成的損失.

Cp對(duì)于所有有出行需求的旅客而言是確定的常數(shù)，而Cs卻因人而異.如：通常商務(wù)旅客的時(shí)間觀念較強(qiáng)，相對(duì)來(lái)說(shuō)時(shí)間比較寶貴，所以對(duì)他們來(lái)說(shuō)時(shí)間成本會(huì)更高一些，而時(shí)間充足的旅客旅途中所耗時(shí)間對(duì)他們沒(méi)有任何影響，時(shí)間成本對(duì)他們來(lái)說(shuō)幾乎為零.社會(huì)地位、工作性質(zhì)、所處環(huán)境等不同的旅客對(duì)時(shí)間認(rèn)識(shí)也不同，導(dǎo)致Cs具有隨機(jī)性.因此，旅客出行總成本C是隨機(jī)變量，通常難以確定.

在航空公司定價(jià)問(wèn)題中，某一特定旅客的時(shí)間成本具體取值對(duì)航空公司制定機(jī)票預(yù)售價(jià)格來(lái)說(shuō)意義并不大.航空公司更關(guān)切當(dāng)選擇策略f?時(shí)，有多少旅客會(huì)選擇接受訂票給航空公司帶來(lái)收益.

根據(jù)博弈模型可知，在航空公司做出決策f?后，收益V≥0的旅客會(huì)選擇接受訂票，即出行總成本滿足C≥f?.反之，旅客將拒絕訂票.因此，接受訂票的旅客人數(shù)可通過(guò)C≥f?的概率表達(dá)為

式中 φ為C的分布函數(shù).

顯然，φ的建立需要大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)支持，目前還難以準(zhǔn)確建立.考慮到分布函數(shù)準(zhǔn)確與否僅影響到定價(jià)策略的準(zhǔn)確性，而對(duì)定價(jià)模型有效性等方面的驗(yàn)證并無(wú)影響.因此，文獻(xiàn)[10]中利用一個(gè)簡(jiǎn)單假設(shè)來(lái)驗(yàn)證、分析建立的定價(jià)模型，即

式中fmax為航空公司可選擇的機(jī)票最高售價(jià)；fmin為航空公司可選擇的機(jī)票最低售價(jià)；θ為能夠接受價(jià)格fmax的旅客占有需求旅客總?cè)藬?shù)的比例.

3多航段機(jī)票定價(jià)模型

通過(guò)以上分析可知，當(dāng)預(yù)售期一個(gè)時(shí)間結(jié)點(diǎn)上有出行需求旅客人數(shù)大于1時(shí)，航空公司定價(jià)決策對(duì)結(jié)局影響轉(zhuǎn)化為對(duì)接受訂票旅客人數(shù)的影響.此時(shí)，原博弈退化為航空公司的單人博弈問(wèn)題，航空公司通過(guò)價(jià)格調(diào)控每個(gè)時(shí)間結(jié)點(diǎn)上的訂票人數(shù)(即不同等級(jí)艙位數(shù))，使其利益最大化.

根據(jù)機(jī)票銷售特點(diǎn)，將預(yù)售期按天離散，時(shí)間結(jié)點(diǎn)1≤t≤T表示距航班起飛時(shí)刻的天數(shù)，向量表示當(dāng)天各航段有出行需求的旅客人數(shù)，

式中 下角標(biāo)表示航段編號(hào).

則距航班起飛t天訂票旅客人數(shù)為

航空公司當(dāng)天機(jī)票銷售收益為

式中()T表示對(duì)括號(hào)內(nèi)向量的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，下同.

由于各種因素的影響，對(duì)于航空公司而言，已經(jīng)預(yù)定機(jī)票的旅客在航班起飛時(shí)有登機(jī)或者No-Show兩種可能情況發(fā)生.

如果用ktN表示第t天各航段預(yù)定機(jī)票旅客中發(fā)生No-Show情況的人數(shù)，且假設(shè)No-Show旅客可獲得航空公司機(jī)票退款fN，則航空公司預(yù)售當(dāng)天機(jī)票實(shí)際銷售收益為

機(jī)票預(yù)售期內(nèi)航空公司總銷售收益為

如果，航空公司在機(jī)票銷售過(guò)程中充分考慮了旅客No-Show情況，采用超售控制策略，即對(duì)應(yīng)航班的某一航節(jié)的機(jī)票銷售總量超出航班總座位數(shù).那么，航班在該航節(jié)起飛時(shí)有可能出現(xiàn)三種情況：其一，實(shí)際登機(jī)旅客人數(shù)少于航班座位數(shù)，出現(xiàn)空座影響航空公司收益；其二，實(shí)際登機(jī)旅客人數(shù)等于航班座位數(shù)，航空公司收益最大；其三，實(shí)際到達(dá)旅客超出航班總座位數(shù)，發(fā)生通常所說(shuō)的

DB情況給航空公司帶來(lái)經(jīng)濟(jì)損失.

將預(yù)售期內(nèi)航空公司總收益看作由銷售收益F+和損失F-兩部分組成，則

銷售收益

損失

式中∑DB為航班在各航節(jié)起飛時(shí)DB損失之和.若將航空公司損失寫(xiě)為各航節(jié)損失和的形式

式中F-j為j各航節(jié)起飛時(shí)的損失.根據(jù)分析可知

式中kNj為航班在j航節(jié)起飛時(shí)，剩余各航段No-Show旅客人數(shù)組成的向量；fNj為剩余各航段No-Show旅客獲得退款額組成的向量;c為額定座位數(shù)；ηj為判定參數(shù)

式中kj為航班在j航節(jié)起飛時(shí)，剩余各航段購(gòu)票旅客人數(shù)組成的向量；sum()表示對(duì)括號(hào)內(nèi)向量全部元素求和.

進(jìn)而，各航節(jié)起飛時(shí)的損失函數(shù)為

式中fD為每名DB旅客給航空公司造成的損失（包括退票和賠償）.

所以，航空公司銷售機(jī)票總收益函數(shù)

如果考慮有出行需求的旅客人數(shù)和旅客No-Show人數(shù)的隨機(jī)性，則總收益期望為

因此，銷售期望收益為

由此可見(jiàn)，解決多航段機(jī)票定價(jià)問(wèn)題的關(guān)鍵是求解E(Fj-).各航節(jié)起飛時(shí)的損失函數(shù)為分段函數(shù)，而其判別參數(shù)又為隨機(jī)變量，如果直接求解模型極為困難.所以，將隨機(jī)變量ηj的數(shù)學(xué)期望作為選擇該分段函數(shù)的依據(jù)，簡(jiǎn)化模型.

各航節(jié)起飛時(shí)的損失函數(shù)改寫(xiě)為

ηj的數(shù)學(xué)期望為

為便于討論，對(duì)旅客航段進(jìn)行如表1所示的編碼（以三航節(jié)航班A→B，B→C，C→D為例）

表1 航段編碼Table 1 Segment encoding

表1中編碼原則為：首先從始發(fā)航站開(kāi)始按飛行順序依次對(duì)各起降點(diǎn)編碼.各旅客航段編碼第一位數(shù)字為始發(fā)航站代碼，第二位數(shù)字為降落航站代碼.

采用以上編碼原則后，各航段旅客人數(shù)表示為如表2所示的代碼.

表2 各航段旅客人數(shù)Table 2 The number of visitors each leg

對(duì)于表2所列情況，航班在第1航節(jié)起飛時(shí)

進(jìn)一步分析，航班在第2航節(jié)起飛時(shí)

若用圖示表示其涵蓋范圍，則如表3虛線箭頭圈定部分.

表3 各航節(jié)旅客人數(shù)范圍Table 3 Air passenger numbers for each section range

同理，航班在第3航節(jié)起飛時(shí)

基于以上分析，利用數(shù)學(xué)歸納法，可得通式

注意到在某航節(jié)起飛時(shí)，僅有以該行節(jié)起飛航站為起點(diǎn)的航段上旅客才有可能發(fā)生No-Show情況.同時(shí)，考慮到旅客退票與購(gòu)票時(shí)間及持有機(jī)票時(shí)間的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，即無(wú)論旅客何時(shí)購(gòu)票和已購(gòu)票多久，航班起飛前每名旅客發(fā)生No-Show的概率相同.因此，可以將全部預(yù)售期內(nèi)以當(dāng)前航節(jié)起飛航站為起點(diǎn)的各航段所有訂票旅客人數(shù)作為基數(shù)，來(lái)研究航班起飛時(shí)No-Show旅客的隨機(jī)性問(wèn)題.

假設(shè)每名已經(jīng)預(yù)定機(jī)票旅客發(fā)生No-Show的概率pN相同，預(yù)售期[) 0,t內(nèi)已訂票旅客人數(shù)為n時(shí)，已訂票旅客No-Show的分布律為

若令

代入式（31），即為qm航段全部預(yù)售期內(nèi)已訂票旅客發(fā)生No-Show情況的分布律.

對(duì)該隨機(jī)變量求期望，得

基于以上推導(dǎo)，預(yù)售期內(nèi)航空公司采用超售控制策略時(shí)，各航節(jié)起飛時(shí)的分段損失函數(shù)為

綜上所述，即可將多航段機(jī)票定價(jià)問(wèn)題描述成以票價(jià)ft為基本變量的優(yōu)化模型.

在實(shí)際銷售過(guò)程中，航空公司對(duì)機(jī)票預(yù)售價(jià)格限制為若干種折扣形式，所以動(dòng)態(tài)機(jī)票定價(jià)模型的優(yōu)化可行區(qū)間屬于離散可行域的優(yōu)化問(wèn)題.關(guān)于離散可行域的優(yōu)化問(wèn)題求解方法較多，本文不再?gòu)?fù)述.

4 算例

某航空公司有一條上?！暇錆h的兩航節(jié)三航段航線，按文中所述編碼方法對(duì)航班起降點(diǎn)編碼，上海為1，南京為2，武漢為3，如圖2所示.

圖2 航線示意圖Fig.2 Schematic route

執(zhí)行該航線的飛機(jī)有商用座位數(shù)為150個(gè).每個(gè)艙位在各個(gè)航段上的價(jià)格集，以及對(duì)應(yīng)的泊松強(qiáng)度如表4所示.

表4 各艙位機(jī)票價(jià)格與旅客泊松強(qiáng)度Table 4 Ticket prices and passenger space Poisson intensity

根據(jù)本算例已知統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，文中票價(jià)對(duì)訂票人數(shù)的影響，可直接轉(zhuǎn)化為對(duì)訂票泊松強(qiáng)度的影響，即

因?yàn)椴此蓮?qiáng)度等于每天訂票人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，所以可通過(guò)預(yù)售期T的大小來(lái)調(diào)整訂票旅客總?cè)藬?shù)數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而模擬航空運(yùn)輸?shù)九c旺季訂票旅客人數(shù)的差異，驗(yàn)證方法的可行性.

假設(shè)T=20～120天，即旺季客流大約是淡季客流的6倍，利用文中模型對(duì)該算例進(jìn)行定價(jià)分析.總收益與T關(guān)系如圖3所示.

圖3 航空公司總收益與T關(guān)系Fig.3 Airline total revenue relationship with T

圖3中，收益曲線前期隨T增加而顯著增加，說(shuō)明本文模型可以較好應(yīng)對(duì)不同的客流情況，給出合理定價(jià)策略達(dá)到收益最大化.圖4也很好的印證了這一點(diǎn)，隨著客流量的增大，各航段票價(jià)都在升高以達(dá)到收益最大.當(dāng)T大于100天后，由于機(jī)票價(jià)格已達(dá)到允許價(jià)格的最大值，客流量卻仍然隨著T增大不斷增加，導(dǎo)致DB可能性快速加大，收益下降，所以圖3曲線后期有個(gè)明顯的快速下降段.這也說(shuō)明了根據(jù)不同客流情況制定合理票價(jià)的重要性.

圖4 各航段票價(jià)與T關(guān)系Fig.4 Each leg fare relationship with T

圖4中，12、23航段票價(jià)穩(wěn)定上升，而13航段卻有個(gè)明顯的回落段.主要是因?yàn)?3航段票價(jià)相對(duì)較高，若發(fā)生DB情況航空公司的賠付額越大.所以，在特定客流量組合情況下適當(dāng)降低其票價(jià)，反倒可獲得更高收益.

圖5 各航段售票數(shù)量與T關(guān)系Fig.5 The number of tickets for each leg relationship with T

圖5中，12航段機(jī)票銷售數(shù)量整體上大于13航段，這樣有利于控制票價(jià)相對(duì)較高的13航段旅客發(fā)送DB情況減少航空公司損失.而且通過(guò)模型控制，使折扣較大、票價(jià)相對(duì)較低的12航段具有一定量的銷售量.這樣有利于出現(xiàn)DB情況時(shí)，盡可能將其移至12航段旅客中，有效降低航空公司的經(jīng)濟(jì)、聲譽(yù)損失.

本文模型還成功實(shí)現(xiàn)了價(jià)格控制的多航段超售，進(jìn)一步提升了收益.各航節(jié)的超售情況如圖6所示.

圖6中，實(shí)線表示該航班額定座位數(shù)，可見(jiàn)銷量曲線大部分處于該實(shí)線之上，說(shuō)明該模型成功地通過(guò)價(jià)格控制實(shí)現(xiàn)了超售.

圖6 超售情況Fig.6 Overbooking situation

T≤25和T≥100時(shí)，銷量曲線分別遠(yuǎn)低于和遠(yuǎn)高于實(shí)線，是因?yàn)榇藭r(shí)機(jī)票價(jià)格分別達(dá)到了可行價(jià)格的上下界，模型喪失調(diào)控能力.

25≤T≤100時(shí)，有部分低于實(shí)線情況是因?yàn)閮r(jià)格可行集為離散的，出現(xiàn)了選擇較高價(jià)格減少銷量反倒比選擇較低價(jià)格實(shí)現(xiàn)超售獲得的收益更高.

5 研究結(jié)論

本文建立的多航段機(jī)票價(jià)格模型，主要基于價(jià)格控制市場(chǎng)需求的思路.通過(guò)價(jià)格調(diào)控市場(chǎng)需求，控制機(jī)票銷量，抑制超售，克服No-Show對(duì)航空公司造成的損失，達(dá)到收益最大化.

本文模型可以較好地應(yīng)對(duì)航空客流的旺淡季變化，針對(duì)不同客流情況制定針對(duì)性價(jià)格決策，消除No Show影響，控制超售，有效提升航空公司收益.

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Air Ticket Pricing Model of Multi-leg Airline Considering No-Show

ZHOU Qiang1,LIU Chang-you2
(1.College of CivilAviation,Nanjing University ofAeronautics andAstronautics,Nanjing 210016,China; 2.ATC College,CivilAviation University of China,Tianjin 300300,China)

ract:Air ticket pricing model of multi-leg airline is put forward,and it is analyzed in detail from the perspective of airline-passengers game,with No-Show considered.Based on the price-controlling market demand and the basic theories including game theory and probability theory,this model defines the multi-leg air ticket pricing decision.In addition,the changing price can control the ticket sales,so that the excessive sales can effectively overcome the impact of No-Show on earnings,and the freight space of different legs can be reasonably distributed.Moreover,case studies are conducted to verify the operability and practical value of this model.

rds:air transport;revenue;multi-leg;game theory;No-Show

1009-6744（2014）04-0201-08

F224

A

2013-12-24

2014-03-26錄用日期：2014-04-03

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目（60736045，60472130）.

作者介紹：周薔(1978-)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，博士生. *

cy_liu511@163.com