許致華，王岳飛，洪振宇，張志旭

(中國(guó)民航大學(xué)航空自動(dòng)化學(xué)院，天津300300)

為適應(yīng)我國(guó)航空業(yè)的快速發(fā)展，加快飛機(jī)牽引車關(guān)鍵技術(shù)的研究迫在眉睫。夾持舉升機(jī)構(gòu)是無(wú)桿飛機(jī)牽引車的關(guān)鍵部件之一，直接與飛機(jī)機(jī)輪相作用，將機(jī)輪抬離地面，實(shí)現(xiàn)牽引功能。文獻(xiàn) ［1］提出一種新型吊籃式夾持舉升機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)在保證安全的條件下，減少對(duì)飛機(jī)機(jī)輪自由度的限制。由于飛機(jī)牽引車在工作時(shí)，夾持舉升機(jī)構(gòu)托起飛機(jī)前輪，承受飛機(jī)部分重力，承受載荷大，因此靜剛度是其重要指標(biāo)，在夾持舉升機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)前期，建立其靜剛度模型是非常必要的。

對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度研究，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量工作，主要有:GOSSELIN［2］根據(jù)虛功原理在只考慮主動(dòng)關(guān)節(jié)彈性的前提下，研究了平面3自由度和空間6自由度并聯(lián)機(jī)器人靜剛度矩陣;文獻(xiàn) ［3－4］采用虛設(shè)鉸鏈法研究了含恰約束從動(dòng)支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度建模問(wèn)題，但所建模型采用一維彈簧描述約束支鏈的彎曲變形，建模精度不高;HUANG等［5－6］利用子系統(tǒng)原理，考慮構(gòu)件變形，利用虛功原理、線性疊加原理建立機(jī)床整體剛度模型并對(duì)其進(jìn)行分析;韓書葵等［7］采用螺旋理論推導(dǎo)出了4自由度并聯(lián)機(jī)器人的剛度計(jì)算公式并進(jìn)行了分析;WOO-KEUN等［8］基于構(gòu)件的彈性變形研究了并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度，所建模型僅考慮了機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)剛度;王友漁等［9］基于全變形雅克比矩陣，提出了一種建立Tricept類并聯(lián)機(jī)構(gòu)完備靜剛度映射矩陣的方法，解決了含有恰約束支鏈的彎曲剛度建模問(wèn)題;HUANG等［10］證明在靜剛度建模過(guò)程中忽略幾何變形對(duì)系統(tǒng)剛度有一定影響，并把考慮幾何變形后求得的剛度矩陣稱為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的守衡轉(zhuǎn)換剛度矩陣;Charles PINTO等［11］在考慮預(yù)應(yīng)力的情況下，用理論和實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法分析了2自由度和4自由度等少自由度并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度模型;周玉林等［12］通過(guò)靜力學(xué)平衡方程求得3-RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)各桿件的受力及變形情況，利用小變形疊加原理，建立了機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣，但忽略了桿件的軸向拉壓變形和垂直方向的扭轉(zhuǎn)和彎曲變形。

以新型吊籃式夾持舉升機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，根據(jù)靜力學(xué)平衡方程分析其受力情況，求出各支鏈的變形，再利用虛擬機(jī)構(gòu)法求出支鏈變形引起的承載斗的位姿變化，利用小變形疊加原理求出機(jī)構(gòu)的整體變形，并建立外載荷和機(jī)構(gòu)的整體變形之間的映射關(guān)系，求出機(jī)構(gòu)的剛度矩陣。利用正交化法，求出機(jī)構(gòu)的主剛度，并用ANSYS有限元軟件加以驗(yàn)證。

1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介及坐標(biāo)系的建立

如圖1所示，吊籃式夾持舉升機(jī)構(gòu)由轉(zhuǎn)盤、承載斗、兩組結(jié)構(gòu)相同的RUS支鏈與一個(gè)被動(dòng)支鏈組成。RUS支鏈一端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副與轉(zhuǎn)盤相連，另一端通過(guò)球鉸鏈與承載斗相連;被動(dòng)支鏈一端通過(guò)虎克鉸與承載斗相連，另一端通過(guò)移動(dòng)副與轉(zhuǎn)盤相連。在此，R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，U表示虎克鉸，表示主動(dòng)移動(dòng)副，S表示球鉸。

圖1 吊籃式夾持舉升機(jī)構(gòu)

圖2為該新型夾持舉升機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。

將轉(zhuǎn)盤視為機(jī)架，與機(jī)架相連的被動(dòng)支鏈等效為PU支鏈。設(shè)被動(dòng)支鏈3與轉(zhuǎn)盤固連于點(diǎn)A，與承載斗通過(guò)虎克鉸相連，設(shè)虎克鉸轉(zhuǎn)軸中心點(diǎn)為C3。兩組RUS支鏈1、2與承載斗通過(guò)球形鉸相連，設(shè)球鉸中心分別為C1、C2，移動(dòng)副液壓缸通過(guò)虎克鉸與后擋板相連，設(shè)虎克鉸中心點(diǎn)分別為D1、D2。后擋板與轉(zhuǎn)盤通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副相連，過(guò)點(diǎn)D1、D2作轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的垂線，與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線分別相交于點(diǎn)E1、E2。在點(diǎn)A處建立固定坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，其中x軸沿AC3方向，y軸豎直向上，z軸滿足右手定則。在點(diǎn)C3處建立坐標(biāo)系C3－x3y3z3，z3軸沿BC3方向，y3軸垂直于BC3向上，x3軸滿足右手定則。在點(diǎn)Ei(i=1，2)處分別建立坐標(biāo)系Ei－xiyizi與后擋板相固連，xi軸沿EiDi方向，yi軸豎直向上，zi軸滿足右手定則。設(shè)坐標(biāo)系Ei－xiyizi、C3－x3y3z3可由坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz通過(guò)坐標(biāo)變換得到，其姿態(tài)變換矩陣分別為Ri、R3。

圖2 夾持舉升機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

變換矩陣R1、R2、R3分別為:

式中:α表示坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz變換到坐標(biāo)系C3－x3y3z3時(shí)，繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度;

β表示坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz變換到坐標(biāo)系C3－x3y3z3時(shí)，繞z軸旋轉(zhuǎn)的角度;

θ表示坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz變換到坐標(biāo)系E1－x1y1z1時(shí)，繞y軸旋轉(zhuǎn)的角度;

φ表示坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz變換到坐標(biāo)系E2－x2y2z2時(shí)，繞y軸旋轉(zhuǎn)的角度。

1.2 機(jī)構(gòu)的位置逆解

采用閉環(huán)矢量法進(jìn)行機(jī)構(gòu)位置逆解分析，在坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz下，構(gòu)造閉環(huán)約束方程對(duì)式 (1)兩端取模，得

式中:qi和wi分別表示支鏈i中液壓缸的長(zhǎng)度和單位矢量;c3、ei表示點(diǎn)C3、Ei在坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz的度量;ci表示點(diǎn)C1、C2在坐標(biāo)系C3－x3y3z3下的度量;di表示點(diǎn)Di在系Ei－xiyizi下的度量。

2 機(jī)構(gòu)的靜剛度分析

2.1 機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)分析

為了分析機(jī)構(gòu)的受力情況，對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)作加以分析，抬起機(jī)輪的過(guò)程可分為以下兩步:

(1)主動(dòng)支鏈1、2中的液壓缸收縮，由于拖動(dòng)后擋板轉(zhuǎn)動(dòng)所需的摩擦力小于提起承載斗所需要的拉力，所以承載斗位置不變，后擋板繞固連在轉(zhuǎn)盤上的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)到止動(dòng)點(diǎn)位置，停止轉(zhuǎn)動(dòng);

(2)液壓缸繼續(xù)收縮，承載斗向后移動(dòng)，機(jī)輪滾上承載斗，承載斗繞z3軸轉(zhuǎn)動(dòng)，抬起機(jī)輪至離地面100～150 mm的高度。

在第一步中，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)所需克服的阻力為后擋板與轉(zhuǎn)動(dòng)軸之間的摩擦力，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于提升機(jī)輪所需要的拉力，因此可以忽略不計(jì)。僅對(duì)第二步機(jī)構(gòu)的受力加以分析。做如下假設(shè):忽略各鉸鏈的間隙對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響;將轉(zhuǎn)臺(tái)、承載斗、各鉸鏈視為剛體。

如圖2所示，承載斗在點(diǎn)P處所受載荷為 (FM)，點(diǎn)P在坐標(biāo)系C3－x3y3z3下的度量為p。支鏈i(i=1，2，3)對(duì)承載斗的作用力為Fi，由于支鏈1，2均為二力桿，故F1、F2沿w1、w2方向，設(shè)F3沿w3方向。以承載斗為研究對(duì)象，列其平衡方程有:

對(duì)點(diǎn)P求矩有

式中:Gi為過(guò)點(diǎn)P做Fi所在直線的垂線的垂足，rP、rGi表示點(diǎn)P、Gi在坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz下的度量。

Fi所在直線li的方程為

式中:ri、r3分別為以ti、t3為變量的函數(shù)。過(guò)點(diǎn)P作直線li的垂線的方程為

綜合式 (4)、(5)可得外載荷與承載斗所受各支鏈的作用力之間的關(guān)系為

設(shè)wi= ［wixwiywiz］T(i=1，2)，υi=［υixυiyυiz］T(i=1，2)，點(diǎn)P在坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz下的坐標(biāo)為 (xpypzp)。

2.2 桿件的變形

機(jī)構(gòu)的連桿在外載荷作用下發(fā)生變形，其中連桿1、2為二力桿，其變形僅為拉壓變形，連桿3受軸向力和徑向力，其變形有拉壓變形和彎曲變形。

連桿i因軸向力引起的變形為

式中:ki、k3分別為連桿i、連桿3的軸向剛度，F(xiàn)3x為力F3沿x軸方向的投影。力F3在平面yoz內(nèi)的投影F3yoz使連桿3產(chǎn)生彎曲變形，將連桿3簡(jiǎn)化為懸臂梁，在力F3yoz作用下連桿的最大撓度和轉(zhuǎn)角為

連桿3的軸向變形為

其中:EI為抗彎剛度，E為材料的彈性模量，I為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩，f沿F3yoz方向。

2.3 桿件變形對(duì)承載斗的影響

假定承載斗為剛體，不考慮各鉸鏈的變形和間隙，連桿變形引起承載斗的位姿變化，設(shè) (Δ'，δ')表示承載斗的位姿變化，Δ'表示承載斗的線位移，δ'表示承載斗的角位移。由機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式可知，承載斗的線位移由支鏈3的變形所引起，角位移由支鏈1、2的變形所引起。所以有

以第i支鏈為研究對(duì)象。假設(shè)連桿長(zhǎng)度為變量，可以得到以下關(guān)系式

對(duì)式 (20)兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有通過(guò)承載斗的位姿變形，可求出點(diǎn)Ci的速度

將式 (19)代入式 (23)中得

對(duì)式 (24)進(jìn)行化簡(jiǎn)得出承載斗角位移與各支鏈變形之間的關(guān)系為

2.4 機(jī)構(gòu)的剛度矩陣

根據(jù)小變形疊加原理，將各連桿的變形及引起承載斗的牽連變形進(jìn)行疊加得到機(jī)構(gòu)的整體變形，綜合式 (15)—(17)、式 (25)得到機(jī)構(gòu)的整體線位移Δ和機(jī)構(gòu)整體的角位移δ為

承載斗在外載荷 (FM)作用下產(chǎn)生整體線位移Δ、整體角位移δ，根據(jù)上述分析，可得外載荷與機(jī)構(gòu)整體變形的關(guān)系為

其中:K為機(jī)構(gòu)的整體靜剛度矩陣。

將式 (26)、(27)整理得其中:K1、K2分別為剛度矩陣K的前3列和后2列，因?yàn)榍?列和線位移有關(guān)，后2列和角位移有關(guān)，所以K1、K2分別表示機(jī)構(gòu)的線位移剛度矩陣和角位移剛度矩陣。采用對(duì)角化的方法，求出矩陣K的特征值為K1、K2、K3、K'1、K'2，從而可得機(jī)構(gòu)的線位移主剛度K1、K2、K3和角位移主剛度K'1、K'2。

3 算例分析

c2=［2 0 0 －200±s 3 －500］T;中轉(zhuǎn)軸采用45鋼，其彈性模量E=200 GPa，直徑D=50 mm。對(duì)連桿2、3進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，設(shè)其等效為圓柱45鋼的拉桿，其直徑D2=D3=70 mm。點(diǎn)P在坐標(biāo)系C3－x3y3z3下的度量為p= ［x3py3pz3p］T，并滿足方程 (x3－400)2+y23=4002，且z3p∈ ［－100 mm，

其中:C=GH－1為機(jī)構(gòu)的柔度矩陣，所以機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣可寫為

機(jī)構(gòu)處于正常工作條件下，z3p=0，此時(shí)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的各向剛度如圖3中 (a)、(b)、(c)所示?？芍?機(jī)構(gòu)沿x、y軸的線剛度很大，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于沿z軸的線剛度，符合機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的沿x、y軸剛度大要求。

為校驗(yàn)所建機(jī)構(gòu)剛度模型的準(zhǔn)確性，借助有限元分析軟件ANSYS Workbench分析給定機(jī)構(gòu)的兩個(gè)典型位姿，求解出其各向線剛度。

圖3 機(jī)構(gòu)剛度在工作空間內(nèi)的分布

為便于進(jìn)行比較，仍選用如圖2所示的坐標(biāo)系，在工作空間內(nèi)選取兩個(gè)典型位形:位形1，α=0.05 rad，β=0，z3p=0;位形 2，α=0.05 rad，β=0.2 rad，z3p=0。設(shè)外載荷為單位力，作用在點(diǎn)P。通過(guò)解析法和有限元法計(jì)算得到在此兩位姿處的剛度數(shù)據(jù)，如表1所示。通過(guò)對(duì)比可知兩種模型計(jì)算結(jié)果非常接近，所以文中提出的靜剛度解析模型是正確有效的。

表1 機(jī)構(gòu)在位形1、2下的剛度比較 ×104N/mm

4 結(jié)論

(1)機(jī)構(gòu)整體剛度在工作空間中變化平穩(wěn)，線剛度沿x、y軸方向較大，沿z軸方向較小，角剛度接近于0，符合實(shí)際工作中對(duì)自由度的要求。

(2)綜合考慮驅(qū)動(dòng)支鏈和被動(dòng)支鏈的剛度，以及其變形對(duì)承載斗位姿變化的影響，所提出的建模思路明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，并通過(guò)有限元計(jì)算驗(yàn)證了所建模型的正確性，可實(shí)現(xiàn)整機(jī)剛度的快速預(yù)估，對(duì)機(jī)構(gòu)的詳細(xì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。

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