卞繼承,范志強(qiáng),徐加波,樊小琳

(新疆工程學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,新疆 烏魯木齊 830091)

帶無窮時滯兩種群Lotka-Volterra離散模型的持久性

卞繼承,范志強(qiáng),徐加波,樊小琳

(新疆工程學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,新疆 烏魯木齊 830091)

研究了一類無窮時滯兩種群競爭Lotka-Volterra離散模型.通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù),利用不等式的放縮技巧,給出了系統(tǒng)持久的充分條件.從而可知無窮時滯對種群的持久性沒有影響.

持久性;種群離散模型;Lotka-Volterra系統(tǒng);無窮時滯

1 引言

從20世紀(jì)80年代至今,國內(nèi)外有許多研究工作[17]及其引用的參考文獻(xiàn),討論了種群的持續(xù)生存及周期解的存在問題,并得到很多很好的結(jié)果.Lotka-Volterra模型就是生物種群動力學(xué)研究的一種非常重要的模型.

時滯在自然界中是經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象,研究時滯對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響是生物數(shù)學(xué)研究的一個重要課題.文獻(xiàn)[8-10]就研究了具有時滯的離散模型.

本文中,主要對一類具有無窮時滯兩種群的Lotka-Volterra離散模型進(jìn)行了研究.

提出下列帶無窮時滯非自治兩種群Lotka-Volterra競爭系統(tǒng):

這里Xi(n)(i=1,2)表示時刻n時的種群密度.kij(i,j=1,2)是時滯核.

本文,將建立系統(tǒng)(1)持久的充分性條件,而且從結(jié)果中很容易看到無窮時滯對系統(tǒng)的持久性沒有產(chǎn)生影響.本文的結(jié)果是對前人工作的一個推廣.

2 基本假設(shè)和引理

本節(jié),就系統(tǒng)(1),給出如下假設(shè):

(H1)ai(n),bij(n)(i,j=1,2)是定義在上的非負(fù)有界序列,使得

(H2)kij(s)(i,j=1,2)對每一個s=0,1,2,···都是非負(fù)實(shí)數(shù),而且滿足

(H3)下面的不等式成立:

考慮到系統(tǒng)(1)的生物背景,本節(jié)只考慮系統(tǒng)(1)滿足下列初始條件的解:

這里?(θ)定義在θ=0,?1,?2,···上,而且滿足?(0)>0.

不難證明,系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的解都是正值,即,對n≥0,Xi(n)>0(i=1,2).

考慮下列非自治差分不等式:

這里α(n)和β(n)是定義在Z+上滿足αl>0,βl>0的非負(fù)有界實(shí)數(shù)序列.

引理 2.1如果N(n)是不等式(3)滿足N(0)>0的解,那么有

此引理證明比較簡單,不再贅述.

引理 2.2如果 x(n)定義在 Z上的非負(fù)有界實(shí)數(shù)序列,H(n)是定義在上滿足的非負(fù)有界實(shí)數(shù)列,那么

3 系統(tǒng)的持久性

接下來將建立系統(tǒng)(1)持久的充分條件.首先先給出系統(tǒng)最終有界的結(jié)果.

定理 3.1如果假設(shè)(H1)和假設(shè)(H2)成立,那么存在正常數(shù)Mi使得對系統(tǒng)(1)的滿足初始條件(2)的任意正解(X1(n),X2(n))Xi(n)≤Mi,n>0,i=1,2.

證明對每一個i=1,2,因?yàn)榇嬖谝粋€整數(shù) si0使得 0

所以

從而,對每一個i=1,2

因此,由引理2.1可知存在正常數(shù)Mi使得

定理 3.2如果假設(shè)(H1)-(H3)成立,那么存在正常數(shù)mi>0使得對系統(tǒng)(1)的任意正解(X1(n),X2(n)),有l(wèi)iminfn→∞Xi(n)≥mi,i=1,2.

證明設(shè)(X1(n),X2(n))是系統(tǒng)(1)的任意正解.由假設(shè)(H1),對系統(tǒng)(1)引入以下變換:

由變換(5)式和(6)式,利用引理2.2和定理3.1,可知對任意的n>0,

這里,

由(7)式和假設(shè)(H2),可知對n>1,有

由假設(shè)(H3),可以選取充分小的常數(shù)0<ε<1/2,使得

現(xiàn)在,定義一個區(qū)域?如下.首先定義兩條曲線γ和Γ,

接下來將證明z(n)=(x1(n),(n))最終會進(jìn)入?yún)^(qū)域?并最終保持在其中.為此,首先來證明z1(n)=(x1(n),x2(n))最終位于曲線γ的右側(cè).為此,先給出兩個重要的命題.

命題 3.1存在正整數(shù)N0>0使得x1(N0)≥ω.

事實(shí)上,如果對n>0,x1(n)<ω.那么由(12)式,可得

這表明當(dāng)n→∞時V(n)→∞.所以,由(10)式進(jìn)一步可得

同時,由引理2.2,存在正常數(shù)T0,使得

在前面的假設(shè)之下,由引理2.2,存在正整數(shù)T1≥T0,使得

因此,由(1),(5),(14)-(16)式,對n≥T1,有

因此,當(dāng)n→∞時x1(n)→∞.這導(dǎo)出一個矛盾.命題3.1證明結(jié)束.

命題 3.2對任意p>0,如果x1(p)≥ω,那么z(p+1)位于曲線γ的右側(cè),同時

因此,由(7)式,有

事實(shí)上,如果x1(p)≥ω,那么由系統(tǒng)(1)第一個方程,可得

這和z(p+1)位于曲線γ的右側(cè)矛盾.命題3.2證明結(jié)束.

現(xiàn)在,用上面的命題證明z(n)最終位于曲線γ的右側(cè).由命題3.1,存在正整數(shù)N0>0,使得x1(N0)≥ω.接下來證明對n≥N0,z(n)位于曲線γ的右側(cè).否則,由命題3.2,存在整數(shù)≥N0+1,使得對N0≤n≤,z(n)位于曲線γ的右側(cè)并且z+1)位于曲線γ的左側(cè),即,

因此,由命題3.2可得x1()<ω.因?yàn)閤1(N0)≥ω,存在整數(shù)滿足N0<≤,使得

進(jìn)而,注意到x1(?1)≥ω,那么由命題3.2,可得

由(12)式,可知

結(jié)合(10)式,有

這表明

這和 (17)式矛盾.根據(jù)上面的論證,可以得到:對 n≥N0,z1(n)=(x1(n),x2(n))位于曲線 γ的右側(cè).類似的可以證明 z2(n)=((n),(n))最終會位于曲線 Γ的上方.因此, z(n)=(x1(n)(n))最終會進(jìn)入并保持在區(qū)域?內(nèi).這表明

最后,由變換(5)式和(6)式,最終可得存在常數(shù) mi使得liminfn→∞Xi(n)≥mi,i=1,2,定理3.2證明結(jié)束.

3 討論

本文就帶無窮時滯兩種群競爭離散模型的持久性進(jìn)行了研究.但是帶有無窮時滯離散種群系統(tǒng)的全局吸引性仍然是一個開問題,在處理無窮時滯的時候遇到很大的困難,因此種群全局吸引性將在后續(xù)工作中加以討論.

[1]Teng Zhidong.Uniform persistence of the periodic predator-prey Lotka-Volterra systems[J].Appl.Anal., 1999,72:339-352.

[2]Cui Jingan,Sun Yonghong.Permanence of predator-prey system with inf i nite delay[J].Electronic Journal of Dif f erential Equations,2004,81:1-12.

[3]Lu Zhengyi,Wang Wendi.Permanence and global attractivity for Lotka-Volterra dif f erence systems[J].J. Math.Biol.,1999,39(3):269-282.

[4]樊小琳,秦麗華,劉艷.捕食者非密度制約的捕食食餌模型的持久性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(4):459-471.

[5]王暉.一類基于比率的且具有收獲率和時滯的捕食系統(tǒng)的周期解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,29(5):520-528.

[6]田德生.三階常系數(shù)擬線性泛函微分方程的周期解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,29(3):233-240.

[7]Li Yongkun,Zhu Lifei.Existence of positive periodic solutions for dif f erence equations with feedback control [J].Applied Mathematics Letters,2005,18:61-67.

[8]Chen Fengde.Permanence of a single species discrete model with feedback control and delay[J].Applied Mathematics Letters,2007,20:729-733.

[9]Saito Y,Ma Wanbiao,Hara T.A necessary and sufficient condition for permanence of a Lotka-Volterra discrete system with delays[J].J.Math.Anal.Appl.,2001,256(1):162-174.

[10]Saito Y,Hara T,Ma Wanbiao.Harmless delays for permanence and impersistence of a Lotka-Volterra discrete predator-prey system[J].Nonlinear Anal.,2002,50:703-715.

Permanence of two species Lotka-Volterra discrete system
with inf i nite delay

Bian Jicheng,Fan Zhiqiang,Xu Jiabo,Fan Xiaolin
(Department of Fundamental Education,Xinjiang Institute of Engineering,Urumqi830091,China)

In this paper,a Lotka-volterra competitive discrete system with inf i nity delay is investigated.By constructing Lypunov functions,an sufficient conditions for the permanence of the system has been established. From the result,we f i nd that the inf i nity delay does not ef f ect the permanence of the system.

permanence,species discrete system,Lotka-Volterra system,inf i nite delay

O178

A

1008-5513(2014)02-0166-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.02.007

2014-03-10.

國家自然科學(xué)基金(11301451);新疆自治區(qū)高?？蒲杏?jì)劃(XJUEDU2013S44).

卞繼承(1976-),碩士,講師,研究方向:小波分析及應(yīng)用.

樊小琳(1979-),博士生,副教授,研究方向:微分方程的應(yīng)用.

2010 MSC:39A30,92D25