李祎+王珍

教學(xué)研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，前者關(guān)乎教學(xué)內(nèi)容，后者關(guān)乎教學(xué)形式。教學(xué)內(nèi)容決定教學(xué)形式，教學(xué)形式服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容?！敖淌裁础庇肋h(yuǎn)比“怎么教”更重要。先進(jìn)理念首先關(guān)乎教學(xué)內(nèi)容，首先要關(guān)注“教什么”。

從“教什么”的視角來(lái)看，數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的高低，首先體現(xiàn)在對(duì)教學(xué)內(nèi)容的把握上。低水平的教書匠，只會(huì)照本宣科，看到什么就教給學(xué)生什么，是知識(shí)的搬運(yùn)工；高水平的教師，能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，在教教材中顯性知識(shí)的同時(shí)，挖掘出其包含的隱性知識(shí)，教到一些別人教不出來(lái)的內(nèi)容。

這些不易教到的隱性知識(shí)是什么呢？概括而言，我們認(rèn)為是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過程、思想和結(jié)構(gòu)。認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的這些豐富的隱性知識(shí)，通過深度挖掘和解讀教材隱性知識(shí)，達(dá)到與隱性知識(shí)的深度對(duì)話，有助于提高數(shù)學(xué)課堂的實(shí)效和學(xué)生的綜合能力。

一、 教“本質(zhì)”

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物，所謂本質(zhì)屬性就是該類事物共有和特有的穩(wěn)定屬性。數(shù)學(xué)概念包括內(nèi)涵和外延兩個(gè)方面，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，就是要掌握概念的內(nèi)涵，明確概念的外延。比如，對(duì)于數(shù)學(xué)中最簡(jiǎn)單的概念——自然數(shù)的學(xué)習(xí)，必需明確自然數(shù)的兩重意義：一是表示數(shù)量意義，即被數(shù)的物體有“多少個(gè)”，這種用來(lái)表示事物數(shù)量的自然數(shù)，稱為基數(shù)；二是表示次序意義，即最后被數(shù)到的物體是“第幾個(gè)”，用來(lái)表示事物次序的自然數(shù)，稱為序數(shù)。自然數(shù)不僅包括正整數(shù)1，2，3，……還包括0，這就是自然數(shù)的外延。

數(shù)學(xué)中有些概念的本質(zhì)，相對(duì)比較隱晦，需要教師努力揭示。比如，“把連接兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離?！薄皬闹本€外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離?！边@樣的定義并沒有直接反映出距離的本質(zhì)。那么，距離的本質(zhì)是什么呢？距離的本質(zhì)就是“最小值”：圖形P內(nèi)的任一點(diǎn)與圖形Q內(nèi)的任一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫做圖形P與圖形Q的距離。在教學(xué)中把握住這一本質(zhì)，那么，后續(xù)學(xué)習(xí)“兩平行線之間的距離”“點(diǎn)到平面的距離”“直線到與它平行的平面的距離”“兩個(gè)平行平面的距離”“異面直線的距離”的概念時(shí)，學(xué)生往往也能不教自明，從而順利實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移。這同時(shí)也說(shuō)明，掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并不意味著簡(jiǎn)單地背誦概念的定義。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，還要掌握數(shù)學(xué)結(jié)論和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)。

所謂數(shù)學(xué)結(jié)論，是指數(shù)學(xué)中的公理、定理、公式、法則等。把握數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，并不僅僅在于記住結(jié)論本身，更在于理解其內(nèi)涵，明確其意義，掌握其成立的理由。比如對(duì)于三角形而言，三個(gè)內(nèi)角大小反映了三角形的形狀，不同三角形的三個(gè)內(nèi)角不全相同，但三個(gè)內(nèi)角之和卻是一個(gè)定值，這就是三角形的內(nèi)角和定理，它反映了任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之間所滿足的等量關(guān)系，據(jù)此就可以實(shí)現(xiàn)“知二求一”。對(duì)于該結(jié)論，不僅可以通過測(cè)量、剪拼、折疊等方法來(lái)獲得和理解，還可以通過直觀手段對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。比如圖1，用橡皮筋構(gòu)成△ABC，其中頂點(diǎn)B、C 為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)。放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動(dòng)收縮于BC上，考察點(diǎn)A變化時(shí)所形成的一系列的三角形……根據(jù)其內(nèi)角的變化即可直觀地獲得和理解該結(jié)論。另外，還可以這樣理解和建構(gòu)該結(jié)論：如圖2，假設(shè)一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)，沿著逆時(shí)針方向經(jīng)過各個(gè)頂點(diǎn)，然后回到出發(fā)的A點(diǎn)并轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向，這個(gè)人所轉(zhuǎn)過的角的和恰好是這個(gè)三角形的外角和。由于剛好轉(zhuǎn)了一圈回到出發(fā)點(diǎn)，因此其外角和是360°，所以三角形的內(nèi)角和就是180°。不難發(fā)現(xiàn)，這種方法可用來(lái)解釋任意凸多邊形的外角和與內(nèi)角和，因而更為本質(zhì)地反映了結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律性。

數(shù)學(xué)中除了一些結(jié)論性知識(shí)，還有大量的方法性知識(shí)，比如運(yùn)算的方法、度量的方法、變換的方法、論證的方法等。掌握數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，不僅要掌握“怎么做”，即方法運(yùn)用的程序與步驟，還要掌握“為什么可以這樣做”，即方法運(yùn)用的緣由、條件和范圍等。比如對(duì)于數(shù)的加、減運(yùn)算的方法，必需抓住計(jì)數(shù)單位這一本質(zhì)。因?yàn)樽匀粩?shù)以“1”為標(biāo)準(zhǔn)，“1”是自然數(shù)的單位，所以任何兩個(gè)自然數(shù)都可以直接相加減。同分母分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗鼈兊姆謹(jǐn)?shù)單位相同，所以能直接相加減；異分母分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗鼈兊姆謹(jǐn)?shù)單位不同，所以就要把它們化成相同的單位，這樣才可以相加減。小數(shù)的加減運(yùn)算為什么小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊才能相加減呢？其本質(zhì)也是相同計(jì)數(shù)單位要對(duì)齊。在小數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)的左邊是整數(shù)部分，第一位是個(gè)位，第二位是十位……小數(shù)點(diǎn)右邊是小數(shù)部分，第一位是十分位，第二位是百分位……在計(jì)算小數(shù)加、減法的豎式中，只要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，相同數(shù)位就對(duì)齊了，相同計(jì)數(shù)單位也就能相加減了，而不必考慮小數(shù)的末位是不是一定要對(duì)齊。所以對(duì)于運(yùn)算方法，不僅要教算法，更要教算理。其他方法性知識(shí)的教學(xué)同樣如此。

二、 教“過程”

數(shù)學(xué)有三種形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)。原始形態(tài)是指數(shù)學(xué)家在探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理時(shí)所進(jìn)行的曲折、復(fù)雜的數(shù)學(xué)思考；學(xué)術(shù)形態(tài)是指數(shù)學(xué)家對(duì)探索、發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)真理進(jìn)行歸納、整理形成文本材料后的一種形態(tài)，它呈現(xiàn)出的是“簡(jiǎn)潔的、冰冷的形式化美麗”；教育形態(tài)是指教師通過自己的設(shè)計(jì)，將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)有效地“激活”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，能夠模仿數(shù)學(xué)家進(jìn)行“火熱的思考”，它是介于原始形態(tài)和學(xué)術(shù)形態(tài)之間的一種形態(tài)。

弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學(xué)的表達(dá)形式：沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開發(fā)表出來(lái)，一個(gè)問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗。因此他說(shuō)教材是“教學(xué)法的顛倒”。為了彰顯數(shù)學(xué)知識(shí)的過程性，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的教育形式散發(fā)出數(shù)學(xué)的巨大魅力，讓數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”喚發(fā)學(xué)生“火熱的思考”，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中要采用稚化思維的設(shè)計(jì)策略。

所謂稚化思維，就是教師把自己的外在權(quán)威隱蔽起來(lái)，在教學(xué)時(shí)不以一個(gè)知識(shí)豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學(xué)生的思維水平上，親近學(xué)生、接近學(xué)生，有意識(shí)地退回到與學(xué)生相仿的思維狀態(tài)，設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的學(xué)習(xí)水平、狀態(tài)等，有意識(shí)地生發(fā)一種陌生感、新鮮感，以與學(xué)生同樣的認(rèn)知興趣、同樣的學(xué)習(xí)情緒、同樣的思維情境、共同的探究行為來(lái)完成教學(xué)的和諧共創(chuàng)。endprint

比如在“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，要把自己的思維置身于前人“做乘法”的境地，想象自己在對(duì)乘法一無(wú)所知的情況下面臨的困惑，由衷地感受到乘法的出現(xiàn)所蘊(yùn)含的價(jià)值[1]：一是簡(jiǎn)化意識(shí)的形成。前人在做大量的加法時(shí)，發(fā)現(xiàn)加法可分為兩類：一類是加數(shù)不同的加法，一類是加數(shù)相同的加法。加數(shù)相同的加法是不是可以有一種更簡(jiǎn)便的方法呢？二是思維視角的變化。在乘法出現(xiàn)之前，加減運(yùn)算所關(guān)注的都是整體里的具體數(shù)量，這屬于同一層面的視角，而乘法則必須既注意到整體里的具體數(shù)量，同時(shí)還關(guān)注到整體的個(gè)數(shù)，這可謂是既見樹木又見森林，思維視角發(fā)生的變化顯示出思維層次的提升。

無(wú)疑，讓學(xué)生能經(jīng)歷這兩個(gè)方面的“再創(chuàng)造”，才是真正有價(jià)值的學(xué)習(xí)。因此在教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的直觀生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)相同加數(shù)相加的實(shí)際問題很普遍。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從相同加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)不同等角度去看待問題，學(xué)會(huì)“幾個(gè)幾”的表達(dá)方式。在由加法算式改寫成乘法算式這一環(huán)節(jié)，為什么用乘法表示，怎樣用乘法表示，都盡可能讓學(xué)生回到知識(shí)生成的原生狀態(tài)，讓學(xué)生去把需要發(fā)現(xiàn)的知識(shí)建構(gòu)和再創(chuàng)造出來(lái)。只有經(jīng)歷了這樣的乘法形成的原生態(tài)過程，學(xué)生才能真正領(lǐng)悟和掌握乘法的意義，才能有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力。

“過程”是形成“結(jié)論”或獲得“結(jié)果”而必須經(jīng)歷的程序、步驟，沒有“過程”便沒有真正意義上的“結(jié)果”。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了凸顯知識(shí)的本質(zhì)特征，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，注重學(xué)生的能力培養(yǎng)，就必需重視知識(shí)的生成、發(fā)生、發(fā)展。掐頭去尾燒中段，忽視知識(shí)的來(lái)龍去脈，有意無(wú)意減縮思維過程，就可能造成思維斷層，出現(xiàn)嚴(yán)重“消化不良”，從而降低數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。當(dāng)然在實(shí)際的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于各種原因，有時(shí)做不到徹底的知識(shí)的原生態(tài)建構(gòu)，但只有有了這樣的意識(shí)和追求，課堂教學(xué)才會(huì)盡可能地貼近當(dāng)時(shí)的真實(shí)情境。

三、 教“思想”

數(shù)學(xué)問題可以千變?nèi)f化，而其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，卻往往是相通的。不去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，只滿足于對(duì)知識(shí)結(jié)論的記憶和解題技巧的掌握，這種“重術(shù)輕道”的數(shù)學(xué)教學(xué)，難以培養(yǎng)出有創(chuàng)造力的人才。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)只是信息的傳遞，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)才能使學(xué)生形成觀點(diǎn)和技能。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價(jià)值的策略性知識(shí)——數(shù)學(xué)思想方法。

所謂數(shù)學(xué)思想是指人們從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中抽象概括出來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法是指人們?cè)跀?shù)學(xué)問題解決過程中所采取的步驟、程序和實(shí)施辦法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華與結(jié)晶，它支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，它為數(shù)學(xué)思想提供邏輯手段和操作原則。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作依據(jù)一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來(lái)的宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，但這些思想方法往往并沒有明確地寫在教材上。如果說(shuō)顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)是寫在教材上的一條明線，那么隱性的思想方法就是潛藏其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看清?！懊骶€”直接用文字形式寫在教材里，反映知識(shí)間的縱向聯(lián)系；“暗線”反映著知識(shí)間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識(shí)的背后，需要經(jīng)過分析、提煉才能顯露出來(lái)。在數(shù)學(xué)教材里，到處都體現(xiàn)著這兩條線的有機(jī)結(jié)合。

比如在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”一節(jié)的教學(xué)中，包含了許多數(shù)學(xué)思想方法：通過多種形式，由符號(hào)表示數(shù)，到用字母表示數(shù)，由此滲透了代數(shù)的基本思想——用字母表示數(shù)的符號(hào)化思想；字母既可以表示已知量，也可以表示未知量，當(dāng)字母表示未知量時(shí)，要設(shè)法建立包含未知數(shù)的等式——方程思想；為了建立方程，通常需要尋找一個(gè)量，這個(gè)量既可以這樣進(jìn)行表示，也可以那樣進(jìn)行表示，由此獲得等量關(guān)系，這即是重要的數(shù)學(xué)思想——不變量思想；解方程的過程，是采用對(duì)象性思維的方式，利用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)變形的過程——等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；建立方程過程中的諸多實(shí)例，都是采用“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的思路，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程——數(shù)學(xué)模型思想；對(duì)于方程求解的方法與步驟，采用了由具體實(shí)例到一般意義的抽象概括——從特殊到一般的歸納思想；在歸納數(shù)量關(guān)系用字母表示時(shí)，還滲透了變量間的對(duì)應(yīng)和依存關(guān)系，如標(biāo)準(zhǔn)體重隨著身高的變化而變化，兩個(gè)量之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系——函數(shù)思想。

四、 教“結(jié)構(gòu)”

美國(guó)教育家布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。”所謂學(xué)科基本結(jié)構(gòu)，是指該學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，是指知識(shí)的整體性和事物的普遍聯(lián)系，而非孤立的事實(shí)本身和零碎的知識(shí)結(jié)論。他認(rèn)為，這種基本結(jié)構(gòu)應(yīng)該成為教學(xué)過程的核心，因?yàn)檎莆樟藢W(xué)科知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，就能把握住知識(shí)體系的核心和關(guān)鍵，就可以從宏觀上理解學(xué)科知識(shí)，避免“只見樹木不見森林”。

小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域，都是按照數(shù)學(xué)的科學(xué)體系和兒童認(rèn)知發(fā)展順序建立起來(lái)的統(tǒng)一體。因此鉆研教材和進(jìn)行教學(xué)，不僅要研究本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，更要研究這部分內(nèi)容與前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；不僅要熟悉自己所教年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，還要熟悉相鄰年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，甚至要熟悉整個(gè)學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容。這樣才能了解到所要教學(xué)的內(nèi)容是在怎樣的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，又怎樣為后面所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備；才能在教學(xué)中有意識(shí)地溝通新舊知識(shí)的縱橫聯(lián)系，突出基本概念和基本規(guī)律。

比如在“多邊形面積的計(jì)算”的教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。一方面，在各種圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，要充分利用割補(bǔ)、拼擺、平移、旋轉(zhuǎn)等實(shí)際操作，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想，把所研究的圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)計(jì)算面積的圖形，在探索規(guī)律、推導(dǎo)公式的同時(shí)，使學(xué)生感受各種圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系；另一方面，在學(xué)生掌握了各種圖形的面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)和幫助學(xué)生溝通各種圖形的特征及面積計(jì)算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，將三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形等看作梯形在不同條件下的特殊情況，從而把學(xué)生所學(xué)過的面積計(jì)算公式統(tǒng)一為梯形面積公式。

數(shù)學(xué)中的各種內(nèi)在聯(lián)系，不僅包括知識(shí)之間的內(nèi)在的縱向聯(lián)系，還包括思想方法之間的橫向聯(lián)系。比如在“圖形度量”方面，分別研究了長(zhǎng)度、角度、面積、體積的度量方法。知識(shí)展開的邏輯順序是：線段長(zhǎng)→多邊形周長(zhǎng)→圓周長(zhǎng)；兩直線的夾角→角的度量→兩直線位置關(guān)系；單位正方形面積→長(zhǎng)方形與正方形面積→其他多邊形面積→圓面積→多面體表面積；單位正方體體積→長(zhǎng)方體與正方體體積→圓柱體積→圓錐體積。四項(xiàng)研究的具體內(nèi)容不同，但其邏輯結(jié)構(gòu)卻是相同的，都是“定義幾何量→確定度量單位→尋求度量方法→建立可能的度量公式”，這就是數(shù)學(xué)中的基本思想——度量思想。如研究長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：定義周長(zhǎng)是各邊長(zhǎng)度之和→定義長(zhǎng)度單位是某根尺的長(zhǎng)度或其更小分量→推出“周長(zhǎng)等于長(zhǎng)加寬乘以2”。[2]

因此，挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)核心思想，通過融匯貫通的過程，使我們透過繁雜的現(xiàn)象，抓住了本質(zhì)，同時(shí)簡(jiǎn)化了記記。更重要的是，學(xué)會(huì)了認(rèn)識(shí)問題的思想方法：由尋找聯(lián)系入手，把個(gè)別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)，這標(biāo)志著能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展。

總之，高水平的數(shù)學(xué)教師，通過犀利而深邃的數(shù)學(xué)眼光，看到的不只是各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則和圖表，而應(yīng)是書中跳躍著的真實(shí)而鮮活的數(shù)學(xué)內(nèi)容。這些內(nèi)容給人的感覺是“不在書里，就在書里”。教師對(duì)這些內(nèi)容挖掘得越豐富，感悟出來(lái)的道理就越透徹，設(shè)計(jì)出來(lái)的教學(xué)就會(huì)越厚重，學(xué)生由此而汲取的數(shù)學(xué)營(yíng)養(yǎng)就會(huì)越豐富。

參考文獻(xiàn)

[1] 王俊.返回知識(shí)生成的原生狀態(tài)——“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2004（120）.

[2] 師常凱.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教育例話[EB/OL].http：//eblog.cersp.com.

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint

比如在“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，要把自己的思維置身于前人“做乘法”的境地，想象自己在對(duì)乘法一無(wú)所知的情況下面臨的困惑，由衷地感受到乘法的出現(xiàn)所蘊(yùn)含的價(jià)值[1]：一是簡(jiǎn)化意識(shí)的形成。前人在做大量的加法時(shí)，發(fā)現(xiàn)加法可分為兩類：一類是加數(shù)不同的加法，一類是加數(shù)相同的加法。加數(shù)相同的加法是不是可以有一種更簡(jiǎn)便的方法呢？二是思維視角的變化。在乘法出現(xiàn)之前，加減運(yùn)算所關(guān)注的都是整體里的具體數(shù)量，這屬于同一層面的視角，而乘法則必須既注意到整體里的具體數(shù)量，同時(shí)還關(guān)注到整體的個(gè)數(shù)，這可謂是既見樹木又見森林，思維視角發(fā)生的變化顯示出思維層次的提升。

無(wú)疑，讓學(xué)生能經(jīng)歷這兩個(gè)方面的“再創(chuàng)造”，才是真正有價(jià)值的學(xué)習(xí)。因此在教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的直觀生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)相同加數(shù)相加的實(shí)際問題很普遍。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從相同加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)不同等角度去看待問題，學(xué)會(huì)“幾個(gè)幾”的表達(dá)方式。在由加法算式改寫成乘法算式這一環(huán)節(jié)，為什么用乘法表示，怎樣用乘法表示，都盡可能讓學(xué)生回到知識(shí)生成的原生狀態(tài)，讓學(xué)生去把需要發(fā)現(xiàn)的知識(shí)建構(gòu)和再創(chuàng)造出來(lái)。只有經(jīng)歷了這樣的乘法形成的原生態(tài)過程，學(xué)生才能真正領(lǐng)悟和掌握乘法的意義，才能有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力。

“過程”是形成“結(jié)論”或獲得“結(jié)果”而必須經(jīng)歷的程序、步驟，沒有“過程”便沒有真正意義上的“結(jié)果”。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了凸顯知識(shí)的本質(zhì)特征，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，注重學(xué)生的能力培養(yǎng)，就必需重視知識(shí)的生成、發(fā)生、發(fā)展。掐頭去尾燒中段，忽視知識(shí)的來(lái)龍去脈，有意無(wú)意減縮思維過程，就可能造成思維斷層，出現(xiàn)嚴(yán)重“消化不良”，從而降低數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。當(dāng)然在實(shí)際的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于各種原因，有時(shí)做不到徹底的知識(shí)的原生態(tài)建構(gòu)，但只有有了這樣的意識(shí)和追求，課堂教學(xué)才會(huì)盡可能地貼近當(dāng)時(shí)的真實(shí)情境。

三、 教“思想”

數(shù)學(xué)問題可以千變?nèi)f化，而其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，卻往往是相通的。不去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，只滿足于對(duì)知識(shí)結(jié)論的記憶和解題技巧的掌握，這種“重術(shù)輕道”的數(shù)學(xué)教學(xué)，難以培養(yǎng)出有創(chuàng)造力的人才。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)只是信息的傳遞，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)才能使學(xué)生形成觀點(diǎn)和技能。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價(jià)值的策略性知識(shí)——數(shù)學(xué)思想方法。

所謂數(shù)學(xué)思想是指人們從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中抽象概括出來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法是指人們?cè)跀?shù)學(xué)問題解決過程中所采取的步驟、程序和實(shí)施辦法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華與結(jié)晶，它支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，它為數(shù)學(xué)思想提供邏輯手段和操作原則。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作依據(jù)一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來(lái)的宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，但這些思想方法往往并沒有明確地寫在教材上。如果說(shuō)顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)是寫在教材上的一條明線，那么隱性的思想方法就是潛藏其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看清?！懊骶€”直接用文字形式寫在教材里，反映知識(shí)間的縱向聯(lián)系；“暗線”反映著知識(shí)間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識(shí)的背后，需要經(jīng)過分析、提煉才能顯露出來(lái)。在數(shù)學(xué)教材里，到處都體現(xiàn)著這兩條線的有機(jī)結(jié)合。

比如在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”一節(jié)的教學(xué)中，包含了許多數(shù)學(xué)思想方法：通過多種形式，由符號(hào)表示數(shù)，到用字母表示數(shù)，由此滲透了代數(shù)的基本思想——用字母表示數(shù)的符號(hào)化思想；字母既可以表示已知量，也可以表示未知量，當(dāng)字母表示未知量時(shí)，要設(shè)法建立包含未知數(shù)的等式——方程思想；為了建立方程，通常需要尋找一個(gè)量，這個(gè)量既可以這樣進(jìn)行表示，也可以那樣進(jìn)行表示，由此獲得等量關(guān)系，這即是重要的數(shù)學(xué)思想——不變量思想；解方程的過程，是采用對(duì)象性思維的方式，利用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)變形的過程——等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；建立方程過程中的諸多實(shí)例，都是采用“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的思路，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程——數(shù)學(xué)模型思想；對(duì)于方程求解的方法與步驟，采用了由具體實(shí)例到一般意義的抽象概括——從特殊到一般的歸納思想；在歸納數(shù)量關(guān)系用字母表示時(shí)，還滲透了變量間的對(duì)應(yīng)和依存關(guān)系，如標(biāo)準(zhǔn)體重隨著身高的變化而變化，兩個(gè)量之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系——函數(shù)思想。

四、 教“結(jié)構(gòu)”

美國(guó)教育家布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^學(xué)科基本結(jié)構(gòu)，是指該學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，是指知識(shí)的整體性和事物的普遍聯(lián)系，而非孤立的事實(shí)本身和零碎的知識(shí)結(jié)論。他認(rèn)為，這種基本結(jié)構(gòu)應(yīng)該成為教學(xué)過程的核心，因?yàn)檎莆樟藢W(xué)科知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，就能把握住知識(shí)體系的核心和關(guān)鍵，就可以從宏觀上理解學(xué)科知識(shí)，避免“只見樹木不見森林”。

小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域，都是按照數(shù)學(xué)的科學(xué)體系和兒童認(rèn)知發(fā)展順序建立起來(lái)的統(tǒng)一體。因此鉆研教材和進(jìn)行教學(xué)，不僅要研究本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，更要研究這部分內(nèi)容與前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；不僅要熟悉自己所教年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，還要熟悉相鄰年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，甚至要熟悉整個(gè)學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容。這樣才能了解到所要教學(xué)的內(nèi)容是在怎樣的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，又怎樣為后面所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備；才能在教學(xué)中有意識(shí)地溝通新舊知識(shí)的縱橫聯(lián)系，突出基本概念和基本規(guī)律。

比如在“多邊形面積的計(jì)算”的教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。一方面，在各種圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，要充分利用割補(bǔ)、拼擺、平移、旋轉(zhuǎn)等實(shí)際操作，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想，把所研究的圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)計(jì)算面積的圖形，在探索規(guī)律、推導(dǎo)公式的同時(shí)，使學(xué)生感受各種圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系；另一方面，在學(xué)生掌握了各種圖形的面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)和幫助學(xué)生溝通各種圖形的特征及面積計(jì)算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，將三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形等看作梯形在不同條件下的特殊情況，從而把學(xué)生所學(xué)過的面積計(jì)算公式統(tǒng)一為梯形面積公式。

數(shù)學(xué)中的各種內(nèi)在聯(lián)系，不僅包括知識(shí)之間的內(nèi)在的縱向聯(lián)系，還包括思想方法之間的橫向聯(lián)系。比如在“圖形度量”方面，分別研究了長(zhǎng)度、角度、面積、體積的度量方法。知識(shí)展開的邏輯順序是：線段長(zhǎng)→多邊形周長(zhǎng)→圓周長(zhǎng)；兩直線的夾角→角的度量→兩直線位置關(guān)系；單位正方形面積→長(zhǎng)方形與正方形面積→其他多邊形面積→圓面積→多面體表面積；單位正方體體積→長(zhǎng)方體與正方體體積→圓柱體積→圓錐體積。四項(xiàng)研究的具體內(nèi)容不同，但其邏輯結(jié)構(gòu)卻是相同的，都是“定義幾何量→確定度量單位→尋求度量方法→建立可能的度量公式”，這就是數(shù)學(xué)中的基本思想——度量思想。如研究長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：定義周長(zhǎng)是各邊長(zhǎng)度之和→定義長(zhǎng)度單位是某根尺的長(zhǎng)度或其更小分量→推出“周長(zhǎng)等于長(zhǎng)加寬乘以2”。[2]

因此，挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)核心思想，通過融匯貫通的過程，使我們透過繁雜的現(xiàn)象，抓住了本質(zhì)，同時(shí)簡(jiǎn)化了記記。更重要的是，學(xué)會(huì)了認(rèn)識(shí)問題的思想方法：由尋找聯(lián)系入手，把個(gè)別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)，這標(biāo)志著能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展。

總之，高水平的數(shù)學(xué)教師，通過犀利而深邃的數(shù)學(xué)眼光，看到的不只是各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則和圖表，而應(yīng)是書中跳躍著的真實(shí)而鮮活的數(shù)學(xué)內(nèi)容。這些內(nèi)容給人的感覺是“不在書里，就在書里”。教師對(duì)這些內(nèi)容挖掘得越豐富，感悟出來(lái)的道理就越透徹，設(shè)計(jì)出來(lái)的教學(xué)就會(huì)越厚重，學(xué)生由此而汲取的數(shù)學(xué)營(yíng)養(yǎng)就會(huì)越豐富。

參考文獻(xiàn)

[1] 王俊.返回知識(shí)生成的原生狀態(tài)——“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2004（120）.

[2] 師常凱.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教育例話[EB/OL].http：//eblog.cersp.com.

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint

比如在“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，要把自己的思維置身于前人“做乘法”的境地，想象自己在對(duì)乘法一無(wú)所知的情況下面臨的困惑，由衷地感受到乘法的出現(xiàn)所蘊(yùn)含的價(jià)值[1]：一是簡(jiǎn)化意識(shí)的形成。前人在做大量的加法時(shí)，發(fā)現(xiàn)加法可分為兩類：一類是加數(shù)不同的加法，一類是加數(shù)相同的加法。加數(shù)相同的加法是不是可以有一種更簡(jiǎn)便的方法呢？二是思維視角的變化。在乘法出現(xiàn)之前，加減運(yùn)算所關(guān)注的都是整體里的具體數(shù)量，這屬于同一層面的視角，而乘法則必須既注意到整體里的具體數(shù)量，同時(shí)還關(guān)注到整體的個(gè)數(shù)，這可謂是既見樹木又見森林，思維視角發(fā)生的變化顯示出思維層次的提升。

無(wú)疑，讓學(xué)生能經(jīng)歷這兩個(gè)方面的“再創(chuàng)造”，才是真正有價(jià)值的學(xué)習(xí)。因此在教學(xué)中要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的直觀生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)相同加數(shù)相加的實(shí)際問題很普遍。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從相同加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)不同等角度去看待問題，學(xué)會(huì)“幾個(gè)幾”的表達(dá)方式。在由加法算式改寫成乘法算式這一環(huán)節(jié)，為什么用乘法表示，怎樣用乘法表示，都盡可能讓學(xué)生回到知識(shí)生成的原生狀態(tài)，讓學(xué)生去把需要發(fā)現(xiàn)的知識(shí)建構(gòu)和再創(chuàng)造出來(lái)。只有經(jīng)歷了這樣的乘法形成的原生態(tài)過程，學(xué)生才能真正領(lǐng)悟和掌握乘法的意義，才能有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力。

“過程”是形成“結(jié)論”或獲得“結(jié)果”而必須經(jīng)歷的程序、步驟，沒有“過程”便沒有真正意義上的“結(jié)果”。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了凸顯知識(shí)的本質(zhì)特征，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，注重學(xué)生的能力培養(yǎng)，就必需重視知識(shí)的生成、發(fā)生、發(fā)展。掐頭去尾燒中段，忽視知識(shí)的來(lái)龍去脈，有意無(wú)意減縮思維過程，就可能造成思維斷層，出現(xiàn)嚴(yán)重“消化不良”，從而降低數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。當(dāng)然在實(shí)際的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于各種原因，有時(shí)做不到徹底的知識(shí)的原生態(tài)建構(gòu)，但只有有了這樣的意識(shí)和追求，課堂教學(xué)才會(huì)盡可能地貼近當(dāng)時(shí)的真實(shí)情境。

三、 教“思想”

數(shù)學(xué)問題可以千變?nèi)f化，而其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，卻往往是相通的。不去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，只滿足于對(duì)知識(shí)結(jié)論的記憶和解題技巧的掌握，這種“重術(shù)輕道”的數(shù)學(xué)教學(xué)，難以培養(yǎng)出有創(chuàng)造力的人才。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)只是信息的傳遞，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)才能使學(xué)生形成觀點(diǎn)和技能。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價(jià)值的策略性知識(shí)——數(shù)學(xué)思想方法。

所謂數(shù)學(xué)思想是指人們從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中抽象概括出來(lái)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)方法是指人們?cè)跀?shù)學(xué)問題解決過程中所采取的步驟、程序和實(shí)施辦法。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華與結(jié)晶，它支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，它為數(shù)學(xué)思想提供邏輯手段和操作原則。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作依據(jù)一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來(lái)的宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，但這些思想方法往往并沒有明確地寫在教材上。如果說(shuō)顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)是寫在教材上的一條明線，那么隱性的思想方法就是潛藏其中的一條暗線。明線容易理解，暗線不易看清?！懊骶€”直接用文字形式寫在教材里，反映知識(shí)間的縱向聯(lián)系；“暗線”反映著知識(shí)間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識(shí)的背后，需要經(jīng)過分析、提煉才能顯露出來(lái)。在數(shù)學(xué)教材里，到處都體現(xiàn)著這兩條線的有機(jī)結(jié)合。

比如在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)易方程”一節(jié)的教學(xué)中，包含了許多數(shù)學(xué)思想方法：通過多種形式，由符號(hào)表示數(shù)，到用字母表示數(shù)，由此滲透了代數(shù)的基本思想——用字母表示數(shù)的符號(hào)化思想；字母既可以表示已知量，也可以表示未知量，當(dāng)字母表示未知量時(shí)，要設(shè)法建立包含未知數(shù)的等式——方程思想；為了建立方程，通常需要尋找一個(gè)量，這個(gè)量既可以這樣進(jìn)行表示，也可以那樣進(jìn)行表示，由此獲得等量關(guān)系，這即是重要的數(shù)學(xué)思想——不變量思想；解方程的過程，是采用對(duì)象性思維的方式，利用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)變形的過程——等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；建立方程過程中的諸多實(shí)例，都是采用“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的思路，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題的過程——數(shù)學(xué)模型思想；對(duì)于方程求解的方法與步驟，采用了由具體實(shí)例到一般意義的抽象概括——從特殊到一般的歸納思想；在歸納數(shù)量關(guān)系用字母表示時(shí)，還滲透了變量間的對(duì)應(yīng)和依存關(guān)系，如標(biāo)準(zhǔn)體重隨著身高的變化而變化，兩個(gè)量之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系——函數(shù)思想。

四、 教“結(jié)構(gòu)”

美國(guó)教育家布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！彼^學(xué)科基本結(jié)構(gòu)，是指該學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，是指知識(shí)的整體性和事物的普遍聯(lián)系，而非孤立的事實(shí)本身和零碎的知識(shí)結(jié)論。他認(rèn)為，這種基本結(jié)構(gòu)應(yīng)該成為教學(xué)過程的核心，因?yàn)檎莆樟藢W(xué)科知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，就能把握住知識(shí)體系的核心和關(guān)鍵，就可以從宏觀上理解學(xué)科知識(shí)，避免“只見樹木不見森林”。

小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域，都是按照數(shù)學(xué)的科學(xué)體系和兒童認(rèn)知發(fā)展順序建立起來(lái)的統(tǒng)一體。因此鉆研教材和進(jìn)行教學(xué)，不僅要研究本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，更要研究這部分內(nèi)容與前后知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；不僅要熟悉自己所教年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，還要熟悉相鄰年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，甚至要熟悉整個(gè)學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容。這樣才能了解到所要教學(xué)的內(nèi)容是在怎樣的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，又怎樣為后面所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容作準(zhǔn)備；才能在教學(xué)中有意識(shí)地溝通新舊知識(shí)的縱橫聯(lián)系，突出基本概念和基本規(guī)律。

比如在“多邊形面積的計(jì)算”的教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。一方面，在各種圖形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，要充分利用割補(bǔ)、拼擺、平移、旋轉(zhuǎn)等實(shí)際操作，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想，把所研究的圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)會(huì)計(jì)算面積的圖形，在探索規(guī)律、推導(dǎo)公式的同時(shí)，使學(xué)生感受各種圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系；另一方面，在學(xué)生掌握了各種圖形的面積計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)和幫助學(xué)生溝通各種圖形的特征及面積計(jì)算公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，將三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形等看作梯形在不同條件下的特殊情況，從而把學(xué)生所學(xué)過的面積計(jì)算公式統(tǒng)一為梯形面積公式。

數(shù)學(xué)中的各種內(nèi)在聯(lián)系，不僅包括知識(shí)之間的內(nèi)在的縱向聯(lián)系，還包括思想方法之間的橫向聯(lián)系。比如在“圖形度量”方面，分別研究了長(zhǎng)度、角度、面積、體積的度量方法。知識(shí)展開的邏輯順序是：線段長(zhǎng)→多邊形周長(zhǎng)→圓周長(zhǎng)；兩直線的夾角→角的度量→兩直線位置關(guān)系；單位正方形面積→長(zhǎng)方形與正方形面積→其他多邊形面積→圓面積→多面體表面積；單位正方體體積→長(zhǎng)方體與正方體體積→圓柱體積→圓錐體積。四項(xiàng)研究的具體內(nèi)容不同，但其邏輯結(jié)構(gòu)卻是相同的，都是“定義幾何量→確定度量單位→尋求度量方法→建立可能的度量公式”，這就是數(shù)學(xué)中的基本思想——度量思想。如研究長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：定義周長(zhǎng)是各邊長(zhǎng)度之和→定義長(zhǎng)度單位是某根尺的長(zhǎng)度或其更小分量→推出“周長(zhǎng)等于長(zhǎng)加寬乘以2”。[2]

因此，挖掘內(nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)核心思想，通過融匯貫通的過程，使我們透過繁雜的現(xiàn)象，抓住了本質(zhì)，同時(shí)簡(jiǎn)化了記記。更重要的是，學(xué)會(huì)了認(rèn)識(shí)問題的思想方法：由尋找聯(lián)系入手，把個(gè)別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)，這標(biāo)志著能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展。

總之，高水平的數(shù)學(xué)教師，通過犀利而深邃的數(shù)學(xué)眼光，看到的不只是各種數(shù)學(xué)概念、公式、法則和圖表，而應(yīng)是書中跳躍著的真實(shí)而鮮活的數(shù)學(xué)內(nèi)容。這些內(nèi)容給人的感覺是“不在書里，就在書里”。教師對(duì)這些內(nèi)容挖掘得越豐富，感悟出來(lái)的道理就越透徹，設(shè)計(jì)出來(lái)的教學(xué)就會(huì)越厚重，學(xué)生由此而汲取的數(shù)學(xué)營(yíng)養(yǎng)就會(huì)越豐富。

參考文獻(xiàn)

[1] 王俊.返回知識(shí)生成的原生狀態(tài)——“乘法的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)思考與實(shí)踐[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2004（120）.

[2] 師常凱.小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教育例話[EB/OL].http：//eblog.cersp.com.

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】endprint