文/管景強

摘 要：在平時教學(xué)中教師都會發(fā)現(xiàn)，通過一定的訓(xùn)練和指導(dǎo)，學(xué)生對與例題相近的、常見問題解題技能會明顯提高，但只要題目稍加變化，學(xué)生就會變得不會思考，只能機械照搬或一籌莫展。是什么封閉了學(xué)生的思維空間？又該怎樣打開這個空間，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？應(yīng)該把學(xué)生思維的發(fā)展作為數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性，才能使學(xué)生經(jīng)歷真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；發(fā)展過程；練習(xí)；反思；習(xí)慣

【案例1】

如圖1：一個長18米，寬12米的長方形苗圃一面靠墻，其他面圍上竹籬笆，求竹籬笆長多少米？

解決這個問題時，對全班46名學(xué)生的計算方法進行了統(tǒng)計：

（1）（18＋12）×2 7人 占15.2%

（2）（18＋12）×2－18 25人 占54.3%

（3）18×2＋12 6人 占13.0%

（4）18＋18＋123人 占6.5%

（5）不會解答或其他列式錯誤 5人 占10.9%

分析：第（1）種方法肯定是錯誤的，學(xué)生沒有考慮到長方形苗圃一面靠墻不需要圍竹籬笆這一情況，直接套用了長方形周長計算公式。很多學(xué)生用第（2）種方法來計算，先用長方形周長公式求出長方形的周長，然后再減去一條長，求出竹籬笆的長度。共有約20%的學(xué)生用第（3）、（4）種方法，根據(jù)平面圖形周長的意義來計算的，而第（3）種形式上更為簡單些。為什么會有超過一半的學(xué)生用第（2）種方法來計算呢？經(jīng)過了解，這部分學(xué)生說出了想法：老師要求我們牢牢記住長方形的周長公式是長加寬的和乘以2，因此，我們平時碰到和長方形周長有關(guān)的問題，習(xí)慣上都用公式先算出長方形的周長。教師在教學(xué)中過于強調(diào)用長方形周長計算公式解題，平時大量的訓(xùn)練和教師的要求促使學(xué)生牢記了計算公式而忽略周長的意義，忽視了最基本求圖形周長的方法，才使得學(xué)生機械照搬。

【案例2】

（蘇教國標版六年級上冊P108思考題）圖2中正方形的面積是8平方厘米，涂色部分的面積是多少平方厘米？

在教學(xué)這道思考題時，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)涂色部分的面積就是圓的面積的四分之三，進而理清了解題思路：先求出圓的面積再除以4乘以3算出涂色部分的面積。接下來，該學(xué)生根據(jù)題目中給出的條件獨立計算了，這時有學(xué)生舉起了手。

生1：老師，這道題少條件，算不出圓的面積。

師：你為什么覺得少條件？

生1：要求圓的面積必須告訴我們圓的半徑，這題圓的半徑不知道，怎么求啊？

師：圓的半徑不知道，就求不出來了嗎？

生1：老師，你以前說過，要求圓的面積必須要先知道圓的半徑。以前我們遇到的題，如果不直接告訴我們圓的半徑也會告訴我們圓的直徑或圓的周長，這樣我們就可以先求出圓的半徑，這題告訴我們的那個正方形的面積求不出圓的半徑啊。

生2：老師，我倒覺得如果正方形的面積不是8平方厘米而是9平方厘米，那就好了。

師：為什么？

生2：這樣我就知道圓的半徑是3厘米了，如果面積是8平方厘米，圓的半徑還真算不出來。

……

分析：正如案例中生1說的那樣：平時教學(xué)中求圓的面積，教師強調(diào)最多的是必須知道圓的半徑，如果圓的半徑不知道，也要通過已知條件先求出圓的半徑。生2雖然已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了正方形的面積與圓的半徑間的關(guān)系，但是他的關(guān)注點還是在要先求出圓的半徑上。所以大多數(shù)學(xué)生面對此題，就會因求不出圓的半徑而無法求解。正因為教師平時牢牢抓住的“必須知道圓的半徑”這一解題條件，并加以反復(fù)訓(xùn)練，才使得學(xué)生一籌莫展。

【反思】

案例1中學(xué)生牢記了計算公式而忽視周長的本質(zhì)意義，案例2中學(xué)生只關(guān)注到了圓的半徑卻忽略了半徑的平方。從這兩個例子中我們很明顯地看出部分學(xué)生的思維是被限制住了，為什么會被限制呢？除去個體差異因素外，恐怕教師平時的教學(xué)起著不可忽略的作用。正是教師平時過于強調(diào)長方形的周長公式解題、強調(diào)要求圓的面積必須先知道圓的半徑，而平時的練習(xí)又恰恰凸顯、強化了教師所強調(diào)的內(nèi)容，這才限制住了學(xué)生的思維。教師的過分強調(diào)加上平時訓(xùn)練的過于強化封閉了學(xué)生的思維空間，這才造成了部分學(xué)生只能機械照搬或一籌莫展了。類似的例子還有：學(xué)習(xí)完圓錐體積計算后，只要題目中出現(xiàn)了“圓錐”這個詞，不假思索地記得一定要除以三或乘以三分之一；學(xué)習(xí)完按比例分配的問題，當已知數(shù)量不是各部分的總量時，仍舊套用按比例分配的方法；學(xué)習(xí)完梯形的面積計算后，當問題中沒有出現(xiàn)梯形的上底和下底具體數(shù)值而只告知上下底之和時，認為缺少條件而計算不出面積……

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。教師教學(xué)要通過有效的措施，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵學(xué)生合作交流，使學(xué)生真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。從案例中可以看出，教師平時的教學(xué)活動顯然沒有達到課標所提的要求，學(xué)生解決問題時思維形成了一種定勢、一種習(xí)慣，不利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

【對策】

1.經(jīng)歷知識形成的過程

數(shù)學(xué)知識的理解、技能的掌握、思維的發(fā)展、經(jīng)驗的積累很大一部分是在教學(xué)活動中完成的。對于書本中出現(xiàn)的概念、原理、定律、公式，不應(yīng)只求記住結(jié)論、機械應(yīng)用，而應(yīng)經(jīng)歷結(jié)論發(fā)現(xiàn)、探索、形成的過程，多思考結(jié)論背后的智慧。這樣數(shù)學(xué)的思想方法才能積淀、凝聚在這些結(jié)論上，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力才會逐步提高。拿案例1中所涉及的長方形周長公式來說，我們在教學(xué)長方形周長公式時應(yīng)從圖形周長本質(zhì)意義入手，先突出最基礎(chǔ)、最本質(zhì)的方法，在此基礎(chǔ)上再經(jīng)歷長方形周長公式的優(yōu)化過程，逐步抽象出計算公式，再把得到的公式與本質(zhì)方法進行對比反思。不需要教師的刻意強調(diào)，相信更多的學(xué)生今后會根據(jù)實際情況靈活地運用。

2.科學(xué)合理地設(shè)計練習(xí)

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展離不開一定數(shù)量的訓(xùn)練，科學(xué)的、合理的訓(xùn)練才能促進理解，發(fā)展思維。反之，如果教師只依靠模仿練習(xí)、類型歸類、題海訓(xùn)練來讓學(xué)生記住知識的話，就會將數(shù)學(xué)分割成零散的小步驟來訓(xùn)練，數(shù)學(xué)思想就會被割裂開來，進而影響學(xué)生的創(chuàng)造力，阻礙數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。有研究表明：數(shù)學(xué)訓(xùn)練的第一個層次是“知識堆積”與“解題術(shù)”，第二個層次是“思維方法”與“解題方法”，第三個層次才是“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)觀念”。因此，教師在教學(xué)中設(shè)計的練習(xí)也要涉及這些層次，合理、分層地進行設(shè)計。先進行模仿練習(xí)，目的是鞏固剛學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能；再進行變式練習(xí)，目的是理解方法、引發(fā)思考、發(fā)散思維；最后進行應(yīng)用練習(xí)，目的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體驗數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值。

3.注重解題之后的反思

要打開學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，獲得必要的數(shù)學(xué)思想方法，就要求我們在解決問題的訓(xùn)練中必須注重反思，使學(xué)生在反思過程中能夠自己去領(lǐng)悟。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，要引導(dǎo)學(xué)生自覺地檢查自己的思維活動，如，反思這個問題與曾經(jīng)遇到或解決過的問題有什么聯(lián)系，自己是怎樣解決這個問題的，用到了哪些數(shù)學(xué)思考方法、技能和技巧，其中有什么值得以后注意的地方，結(jié)論是否合理正確，還能不能通過其他途徑來解決這個問題等。通過解決問題后的反思知識聯(lián)系、反思解題過程、反思經(jīng)驗教訓(xùn)等一系列思維活動，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在解決問題后繼續(xù)飛翔。

4.養(yǎng)成創(chuàng)造性習(xí)慣

葉圣陶說過：“教育是什么，往單方面講，只需一句話，就是要培養(yǎng)良好的習(xí)慣?！睂W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣作為一種重要的非智力因素，是學(xué)生必備的基本素質(zhì)。發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，要注重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，除了課前預(yù)習(xí)、專心聽講、認真作業(yè)等傳統(tǒng)學(xué)習(xí)習(xí)慣，更要關(guān)注學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)習(xí)慣。如，敢于質(zhì)疑，在學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成的探究活動中，鼓勵學(xué)生敢于發(fā)現(xiàn)、提出有針對性、有價值的數(shù)學(xué)問題，學(xué)會質(zhì)疑問難；勤于實踐，小學(xué)生的思維活動處在具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的過渡階段，可以多做一些操作性活動來提供感性材料的支持，通過具體實踐來探究新知；善于思考，可以為學(xué)生多創(chuàng)造能夠“創(chuàng)新”的實踐活動，如一題多解、一題多變、猜想、推理、討論等數(shù)學(xué)活動。使得學(xué)生善于從多角度思考與解決問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的多向性和靈活性。

編輯 謝尾合