不同采樣頻率下的偽碼同步性能分析

賀岷玨　鄭小亮

【摘要】 針對(duì)無(wú)線通信系統(tǒng)中的偽碼同步問(wèn)題，本文以滑動(dòng)相關(guān)法為基礎(chǔ)，分析了在不同采樣頻率下實(shí)現(xiàn)同步時(shí)的信號(hào)檢測(cè)概率、虛警概率，同時(shí)結(jié)合克拉美羅限分析了采樣頻率對(duì)同步精度的影響。分析與仿真結(jié)果表明：增加采樣頻率可以提高信號(hào)的檢測(cè)概率；在高接收信噪比下可以縮小符號(hào)定時(shí)偏差，提高系統(tǒng)同步的精度。但當(dāng)采樣頻率足夠高時(shí)，繼續(xù)提高采樣頻率獲得的性能提升很小，同時(shí)會(huì)增加信號(hào)處理的復(fù)雜度。因此，在無(wú)線通信系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)同步時(shí)，采樣頻率的選取需要在性能與復(fù)雜度上折中考慮。

【關(guān)鍵詞】 同步 采樣頻率 檢測(cè)概率 定時(shí)偏差

一、引言

數(shù)字信號(hào)的同步是進(jìn)行后續(xù)解調(diào)的前提條件，是現(xiàn)代無(wú)線通信中的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。其中偽碼同步的方法憑借其強(qiáng)大的抗干擾性被廣泛采用。偽碼同步的主要思想是通過(guò)偽隨機(jī)同步序列對(duì)期望信號(hào)的到達(dá)時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。現(xiàn)有的方法有：在滑動(dòng)相關(guān)法的基礎(chǔ)上發(fā)展出來(lái)的廣義加權(quán)相關(guān)法[1]，相關(guān)譜時(shí)延估計(jì)[2]和自適應(yīng)時(shí)延估計(jì)[3]；以及現(xiàn)代信號(hào)處理方法，如高階統(tǒng)計(jì)量分析[4]，時(shí)頻分析[5]，小波變換和模糊函數(shù)[6]等估計(jì)方法。此外，文獻(xiàn)[7]等還討論了干擾場(chǎng)景下的時(shí)延估計(jì)方法。

雖然目前業(yè)界對(duì)同步算法的研究已經(jīng)很充分，但已有算法幾乎都是在基帶速率上實(shí)現(xiàn)的[1]～[7]，缺乏對(duì)信號(hào)過(guò)采樣時(shí)同步方法的討論與性能分析。針對(duì)這一問(wèn)題，本文介紹了高采樣頻率下的同步方法，分析了不同采樣頻率對(duì)同步性能的影響，并給出了相應(yīng)的建議。

本文其余部分安排如下：第二部分給出系統(tǒng)模型，第三部分進(jìn)行理論分析，仿真結(jié)果與分析在第四部分給出。第五部分為本文結(jié)論。

二、系統(tǒng)模型

如圖1所示，本文采用通用的無(wú)線通信系統(tǒng)同步模型。發(fā)射端采用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的偽碼作為同步序列，與用戶符號(hào)一起組幀，經(jīng)過(guò)上采樣、低通濾波、上變頻，以及數(shù)模（DA）變換后得到發(fā)射信號(hào)s（t），其中上采樣的倍數(shù)為M。發(fā)射信號(hào)經(jīng)過(guò)無(wú)線信道到達(dá)接收端后，接收端對(duì)接收信號(hào)r（t）進(jìn)行模數(shù)（AD）變換，下變頻、濾波和下采樣，將本地存儲(chǔ)的同步序列與接收的過(guò)采樣信號(hào)進(jìn)行滑動(dòng)相關(guān)，通過(guò)檢測(cè)峰均比輸出同步位置。在下采樣過(guò)程中，通過(guò)改變下采樣倍數(shù)N來(lái)確定接收信號(hào)的過(guò)采樣率，較小的N值對(duì)應(yīng)較高的過(guò)采樣率。

2.1 發(fā)射機(jī)

發(fā)射機(jī)將長(zhǎng)度為L(zhǎng)的同步序列置于長(zhǎng)度為K的用戶數(shù)據(jù)塊前，形成幀結(jié)構(gòu)的發(fā)射數(shù)據(jù)。其中同步序列用以向接收端提供時(shí)間，頻率和相位同步信息。信號(hào)經(jīng)過(guò)上采樣、濾波處理后，進(jìn)行上變頻以及DA變換，得到發(fā)射數(shù)據(jù)s（t）。其數(shù)學(xué)表達(dá)如式所示：

其中an表示數(shù)據(jù)幀中的第n個(gè)元素，T為一個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)的持續(xù)時(shí)間，g（t）表示成型濾波器的時(shí)域響應(yīng)。

s（t）經(jīng)過(guò)射頻處理后，饋入天線發(fā)射。

2.2 信道

考慮加性白高斯噪聲（AWGN）信道，其等效的低通沖激響應(yīng)為：

則接收信號(hào)可表示為：

其中A表示信號(hào)的幅度衰減；τ為信號(hào)的傳輸時(shí)延；n（t）表示接收信號(hào)中疊加的高斯白噪聲。

2.3 接收機(jī)

接收機(jī)接收到信號(hào)后，首先對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行AD變換以及下變頻處理，然后通過(guò)低通濾波，以及下采樣模塊。如圖1所示，此時(shí)接收機(jī)獲得的是過(guò)采樣信號(hào)。接收機(jī)通過(guò)調(diào)節(jié)下采樣倍數(shù)N來(lái)改變接收信號(hào)的過(guò)采樣率ε，較小的N值對(duì)應(yīng)較高的過(guò)采樣率。

將本地存儲(chǔ)的同步序列與上述過(guò)采樣信號(hào)進(jìn)行滑動(dòng)相關(guān)，通過(guò)檢測(cè)峰均比輸出同步位置，完成接收機(jī)的同步操作。

三、性能分析

3.1 檢測(cè)概率和虛警概率

假設(shè)收發(fā)雙方均采用根升余弦成型濾波器，將接收信號(hào)中期望信號(hào)的功率歸一化，則接收信號(hào)中期望信號(hào)相關(guān)值C與定時(shí)偏差的關(guān)系可寫(xiě)為[8]：

其中R為根升余弦成型濾波器的滾降因子。

根據(jù)式可以得到，不同過(guò)采樣率下的期望信號(hào)相關(guān)值為：

其中M/N表示接收端過(guò)采樣的倍數(shù)，CM/N（）表示在M/N的過(guò)采樣率下，接收端相關(guān)峰C與定時(shí)偏差的關(guān)系。圖2描繪了R=0.2時(shí)，不同過(guò)采樣倍數(shù)下，接收端相關(guān)峰與定時(shí)偏差的關(guān)系。從圖中可以看出，隨著采樣率的增加，相關(guān)峰的峰值點(diǎn)有所降低。

結(jié)合公式，在加性高斯噪聲信道下，滑動(dòng)相關(guān)器輸出結(jié)果模方Z的概率密度函數(shù)為[9]：

其中，H0表示接收同步序列與本地序列未對(duì)齊；H1表示接收同步序列與本地序列大概對(duì)齊，即符號(hào)定時(shí)偏差滿足∈[-Ts/2，Ts/2]，其中Ts表示采樣間隔；σ2為滑動(dòng)相關(guān)器輸出中噪聲分量的功率；I0為0階修正貝塞爾函數(shù)。由此可以得到任意門(mén)限VT下的檢測(cè)概率PD：

結(jié)合式（7）、式（8），當(dāng)采樣率較高時(shí)，Ts較小，式中的積分區(qū)域較小，結(jié)合圖2可以看出，此時(shí)檢測(cè)概率提高。此外，通過(guò)對(duì)比圖2中的三條曲線可以看出，隨著采樣率的增加，相關(guān)峰曲線的變化越來(lái)越小。同理，可以得到任意門(mén)限VT下的虛警概率Pf：

從式（9）可以看出，由于虛警概率只與噪聲功率有關(guān)，所以采樣頻率的改變不會(huì)對(duì)虛警概率造成影響。

3.2 同步定時(shí)偏差分析

同步定時(shí)的偏差主要來(lái)自兩個(gè)方面：隨機(jī)噪聲、時(shí)間量化誤差。

雖然額定工作點(diǎn)上的隨機(jī)噪聲是無(wú)法消除的，但其統(tǒng)計(jì)特性可以得到。根據(jù)文獻(xiàn)[10]的推導(dǎo)，AWGN信道下定時(shí)偏差的方差的克拉美羅限（CRLB）如下式所示：

其中N0為白噪聲的單邊功率譜密度，β2為信號(hào)的等效帶寬。

由于在采樣過(guò)程中采樣點(diǎn)之間存在時(shí)間間隔，采樣點(diǎn)通常都不是信噪比最大值點(diǎn)，采樣點(diǎn)與信噪比最大值點(diǎn)之間的時(shí)間偏差定義為時(shí)間量化誤差，即觀測(cè)誤差。時(shí)間量化誤差的降低可以通過(guò)減小采樣點(diǎn)之間時(shí)間間隔，即增加采樣率來(lái)實(shí)現(xiàn)。

綜上所述，同步定時(shí)偏差與接收信噪比、信號(hào)等效帶寬和采樣率有關(guān)。提高采樣率可以減小時(shí)間量化誤差，但同時(shí)也成倍的增加了接收端的運(yùn)算量。

四、仿真結(jié)果與分析

本文利用Matlab仿真軟件對(duì)不同采樣頻率下的同步方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。同步序列采用長(zhǎng)度為512的偽隨機(jī)序列，發(fā)射端基帶速率為62.5MHz。接收端分別在62.5MSPS，125MSPS，250MSPS，500MSPS和1GSPS的采樣率上采用滑動(dòng)相關(guān)法進(jìn)行同步。其中門(mén)限設(shè)置滿足恒定虛警概率為0.001。

檢測(cè)概率的曲線如圖3所示。從圖中可以看到，檢測(cè)概率隨著采樣率的提高而增加，其中兩倍過(guò)采樣率可以帶來(lái)約1.5dB的增益；與兩倍過(guò)采樣率相比，四倍過(guò)采樣率帶來(lái)約0.2dB的增益；但在此基礎(chǔ)上繼續(xù)提升采樣率所帶來(lái)的增益已經(jīng)不明顯。這與3.1節(jié)中的分析結(jié)果一致。

為方便分析，假設(shè)粗同步的定時(shí)偏差在區(qū)間[-T/2，T/2]上均勻分布。接下來(lái)分別給出四倍及以上的采樣率下，精同步定時(shí)偏差的仿真結(jié)果。本部分采用精同步后符號(hào)定時(shí)偏差的均方根值（RMS）來(lái)評(píng)價(jià)精同步性能。

從圖4可以看出，當(dāng)接收碼片信噪比大于-13dB時(shí)，高采樣率下的定時(shí)偏差RMS值略小于低采樣率時(shí)的RMS值；但是當(dāng)接收碼片信噪比為-15dB時(shí)，高采樣率下的定時(shí)偏差RMS值比低采樣率時(shí)的RMS值大。這是因?yàn)樵诘托旁氡认略肼曒^大，采樣率越高，精同步時(shí)比較的采樣點(diǎn)越多，誤判的幾率越大，因而其定時(shí)偏差RMS值越大。隨著信噪比的增加，采樣率高時(shí)的誤判幾率降低，同時(shí)由于采樣時(shí)間間隔更小，其定時(shí)偏差RMS值將比采樣率低時(shí)的RMS值小。

綜上所述，增加采樣頻率可以提高信號(hào)的檢測(cè)概率；在高接收信噪比下可以縮小符號(hào)定時(shí)偏差，提高系統(tǒng)同步的精度，但是，當(dāng)采樣頻率足夠高時(shí)，繼續(xù)提高采樣頻率獲得的性能提升并不大，同時(shí)成倍的增加了接收端的運(yùn)算量。所以綜合上述因素，在本文仿真條件下，若工作點(diǎn)為-11dB時(shí)，在四倍基帶的采樣速率下進(jìn)行同步可以兼顧同步性能和處理復(fù)雜度。

五、結(jié)束語(yǔ)

考慮現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)中的同步問(wèn)題，本文從檢測(cè)概率和同步誤差性能的角度分析了不同采樣頻率對(duì)同步性能的影響，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，分析與仿真結(jié)果表明提高采樣率可以提高同步性能，但同時(shí)會(huì)增加接收端的處理復(fù)雜度。此外，當(dāng)采樣頻率足夠高時(shí)，繼續(xù)提高采樣頻率獲得的性能提升并不大。因此，在工程實(shí)現(xiàn)時(shí)，同步環(huán)節(jié)的采樣頻率選取需要在同步性能與復(fù)雜度上折中考慮。