大數(shù)據(jù)與小學(xué)數(shù)學(xué)教育

史寧中

這次討論大數(shù)據(jù)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，是一個(gè)嶄新的話(huà)題，我只是簡(jiǎn)單地講一講，啟發(fā)大家思考兩個(gè)方面的問(wèn)題：第一，什么是大數(shù)據(jù)？第二，大數(shù)據(jù)給小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來(lái)的變化是什么？

什么是大數(shù)據(jù)

上個(gè)世紀(jì)80年代非常熱的詞有兩個(gè)，一個(gè)叫做“海量數(shù)據(jù)”，一個(gè)叫做“高維數(shù)據(jù)”。為什么有海量數(shù)據(jù)這個(gè)詞？隨著科學(xué)實(shí)驗(yàn)手段的加強(qiáng)和信息技術(shù)的飛速發(fā)展，人們能夠在很短的時(shí)間內(nèi)得到大量的數(shù)據(jù)，這樣的數(shù)據(jù)叫做“海量數(shù)據(jù)”。

到本世紀(jì)提出大數(shù)據(jù)的概念，是因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)。網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)比過(guò)去通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)要大得多。這些數(shù)據(jù)帶來(lái)了極大的變化，因此全世界開(kāi)始重視這些數(shù)據(jù)。先是《自然》雜志，在2012年9月登了10篇文章來(lái)討論大數(shù)據(jù)。還有《科學(xué)》雜志，在2011年有兩期討論大數(shù)據(jù)的文章。

更重要的是，政府開(kāi)始重視這個(gè)事情。大家都知道斯諾登的事情，各種情報(bào)的收集，大部分都是網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，包括電話(huà)錄音。美國(guó)政府在2012年推出了《大數(shù)據(jù)的研究與發(fā)展計(jì)劃》，對(duì)大數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。聯(lián)合國(guó)也在2012年發(fā)布了《大數(shù)據(jù)促發(fā)展——挑戰(zhàn)與機(jī)遇》的白皮書(shū)。中國(guó)也開(kāi)始重視大數(shù)據(jù)，成立了互聯(lián)網(wǎng)委員會(huì)，考慮網(wǎng)絡(luò)安全問(wèn)題，特別是最近的法治研究和社會(huì)意識(shí)形態(tài)研究，都把網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)和大數(shù)據(jù)分析的問(wèn)題提上日程。

大數(shù)據(jù)是如何產(chǎn)生的？

網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)不是像我們傳統(tǒng)方式那樣，通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到的，通過(guò)調(diào)查得到的。

很多數(shù)據(jù)是主動(dòng)產(chǎn)生的，比如說(shuō)博客，還有跟著博客發(fā)表意見(jiàn)的評(píng)論，特別是短信、微信。它們的產(chǎn)生沒(méi)有明確的規(guī)律，但是這些數(shù)據(jù)對(duì)了解民意非常重要。如何對(duì)這樣的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析？這個(gè)問(wèn)題對(duì)教育帶來(lái)了什么，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)帶來(lái)了什么？值得思考。

還有一類(lèi)數(shù)據(jù)是自動(dòng)產(chǎn)生的，不管你愿不愿意。比如說(shuō)街上的交通監(jiān)視、汽車(chē)導(dǎo)航系統(tǒng)、手機(jī)運(yùn)動(dòng)的軌跡。這樣的數(shù)據(jù)規(guī)律性很強(qiáng)，管理價(jià)值非常大。由這些數(shù)據(jù)提供交通服務(wù)是非常有效的。比如導(dǎo)航服務(wù)，就能使出行路線(xiàn)最優(yōu)化。

還有一種驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)商家更感興趣。比如網(wǎng)上購(gòu)物，網(wǎng)上買(mǎi)機(jī)票、火車(chē)票，網(wǎng)上訂旅館。

大數(shù)據(jù)的特征是什么？

大數(shù)據(jù)的特征是價(jià)值稀疏。數(shù)據(jù)量那么大，每天能夠產(chǎn)生25億GB，真正有分析價(jià)值的不到0.5%，大部分都是沒(méi)用的東西。但是沒(méi)用的東西一旦有用了價(jià)值就非常大，比如說(shuō)交通監(jiān)視，大部分時(shí)間都沒(méi)有事故，突然有事故了，數(shù)據(jù)的價(jià)值就極大。傳統(tǒng)意義上認(rèn)為，數(shù)據(jù)都是等同的，都提供一樣多的信息，現(xiàn)在不是了，有些數(shù)據(jù)提供的信息大，有些數(shù)據(jù)提供的信息少。這怎么分析呢？輿情控制中心在什么地方呢？

還有，這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，有文本數(shù)據(jù)、音像數(shù)據(jù)，怎么分析？進(jìn)一步，這樣的數(shù)據(jù)是多元?jiǎng)討B(tài)的，是源源不斷的，隔一段時(shí)間分析一次，需要做實(shí)時(shí)分析，不能等到數(shù)據(jù)都來(lái)了再分析。怎么保證實(shí)時(shí)分析的結(jié)果和整體分析的結(jié)果是一樣的，這個(gè)問(wèn)題涉及信息科學(xué)、管理科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)等多門(mén)學(xué)科。大數(shù)據(jù)有分析價(jià)值，但要用不同的分析方法才能得到有用的東西。

大數(shù)據(jù)給小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來(lái)的啟示

大數(shù)據(jù)給小學(xué)數(shù)學(xué)教育帶來(lái)了什么呢？我認(rèn)為最重要的是感悟數(shù)據(jù)分析。

其一，建立數(shù)據(jù)分析觀(guān)念

2011年修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）把過(guò)去核心詞里的“統(tǒng)計(jì)觀(guān)念”，改成“數(shù)據(jù)分析觀(guān)念”，就是希望老師知道，數(shù)據(jù)分析是很重要的，并且希望教學(xué)能夠構(gòu)建適當(dāng)?shù)谋尘?，讓學(xué)生感受到數(shù)據(jù)分析是很重要的。

結(jié)合大數(shù)據(jù)的主題，回想在“數(shù)據(jù)分析觀(guān)念”中提到的三件事情是非常重要的。

第一件事情，感悟數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息。要讓孩子們知道，所有的道理不一定都是老師教的，不一定都是父母說(shuō)的，也不一定是書(shū)本上說(shuō)的，有一些信息，有一些道理是通過(guò)數(shù)據(jù)知道的。這個(gè)叫做數(shù)學(xué)的“實(shí)事求是”。有些東西是要經(jīng)過(guò)思考的，根據(jù)什么來(lái)思考呢？根據(jù)事實(shí)思考，然后得出自己的結(jié)論。這樣，孩子就可能會(huì)想問(wèn)題，就可能會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。

第二件事情，知道數(shù)據(jù)中的信息可以用不同的辦法獲取。數(shù)據(jù)中的信息不像純數(shù)學(xué)那樣，只能靠一個(gè)辦法得到。世界上絕對(duì)真理是不存在的，很多事情是相對(duì)的，相對(duì)的意思就是同樣的數(shù)據(jù)，用不同的方法分析會(huì)得到不同的結(jié)論。因此它取決于這個(gè)人的判斷準(zhǔn)則，取決于他的價(jià)值觀(guān)。什么樣的辦法好呢？大家討論叫做民主，或者是最符合背景的方法就是一個(gè)好辦法。這個(gè)是判斷準(zhǔn)則，也可以自己定。我最希望小學(xué)老師把這件事情講給學(xué)生，讓他們從小樹(shù)立起這個(gè)信念。中國(guó)人到現(xiàn)在為止，發(fā)明創(chuàng)造極少，原因就是那個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都是外國(guó)人定的，中國(guó)人到現(xiàn)在為止自己制定的產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)極少。不會(huì)定標(biāo)準(zhǔn)，就永遠(yuǎn)不能引領(lǐng)這個(gè)行業(yè)，特別是不能制定標(biāo)準(zhǔn)，就不能當(dāng)大老板。這個(gè)事情得從小開(kāi)始重視，應(yīng)該讓孩子們知道，有些標(biāo)準(zhǔn)是老師定的，但是有些標(biāo)準(zhǔn)你也可以定。

第三件事情，感悟數(shù)據(jù)是隨機(jī)的?？赡苓@次取得的數(shù)據(jù)是這樣的，下一次取得的數(shù)據(jù)是那樣的。雖然是隨機(jī)的，但是只要你取得相當(dāng)多的數(shù)據(jù)之后，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性。什么叫隨機(jī)性？如何理解算術(shù)平均？單純從數(shù)學(xué)的角度考慮，算術(shù)平均就是加法和除法，僅僅就是一種運(yùn)算，實(shí)際上，算術(shù)平均有深刻的統(tǒng)計(jì)意義，或者是有隨機(jī)意義，從這個(gè)角度考慮教學(xué)才有意義。比如測(cè)量一個(gè)東西，每次測(cè)量的結(jié)果都是不一樣的，這里有隨機(jī)誤差，可以表示為x=u+ε，x是測(cè)量數(shù)據(jù)，u是真實(shí)數(shù)據(jù)，ε是隨機(jī)誤差。因?yàn)樵跍y(cè)量過(guò)程中，只有測(cè)量數(shù)據(jù)是已知的，其余兩個(gè)量真值和誤差都是未知的，這樣是沒(méi)法進(jìn)行運(yùn)算的。舉例說(shuō)，如果你知道你們家兩個(gè)月的電費(fèi)是多少，你怎么能知道每個(gè)月的電費(fèi)是多少呢？怎么辦？就是反復(fù)測(cè)量，比如測(cè)量了n次，每一次都用這個(gè)公式計(jì)算，得到n個(gè)式子，其中每次測(cè)量的x是不一樣的；真值u都是一樣的，和為n倍的u；每次的隨機(jī)誤差是不一樣的。既然是隨機(jī)誤差，那么有可能正，有可能負(fù)，在理想狀態(tài)下，當(dāng)n很大時(shí)隨機(jī)誤差的和應(yīng)該接近零。如果它是零的話(huà)，我們就得到了一個(gè)非常重要的結(jié)果：算術(shù)平均等于真值。因此在這個(gè)意義下，我們用算術(shù)平均估計(jì)真值，可以看到，這樣估計(jì)是有道理的，這是統(tǒng)計(jì)教學(xué)的核心。

以《課標(biāo)》的例22上學(xué)問(wèn)題為例，王麗同學(xué)記錄了一周五天的上學(xué)時(shí)間，上學(xué)時(shí)間是隨機(jī)的，但是一定要知道這個(gè)數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，然后說(shuō)如何獲取信息，如何感悟隨機(jī)。一個(gè)孩子會(huì)不會(huì)想問(wèn)題，很關(guān)鍵的是看他能不能從頭到尾地思考問(wèn)題。因此記錄上學(xué)時(shí)間時(shí)，首先要知道時(shí)間是什么，孩子們必須建立起這個(gè)意識(shí)，我離家的時(shí)間和到學(xué)校的時(shí)間是如何認(rèn)定的，有手表當(dāng)然是方便的，沒(méi)有手表就要對(duì)好學(xué)校的鐘和家里的鐘。這些事情看起來(lái)是小事情，但是培養(yǎng)孩子會(huì)系統(tǒng)地思考問(wèn)題，真正能夠培養(yǎng)孩子的智慧，往往就表現(xiàn)在這樣的地方。如果記錄一個(gè)星期的上學(xué)時(shí)間的話(huà)，上學(xué)路上就不能刻意上哪兒去玩。因此要排除兩個(gè)誤差，一個(gè)是鐘表帶來(lái)的誤差，還有人為的誤差，這樣才能使隨機(jī)誤差的和是零。

對(duì)上面記錄的數(shù)據(jù)，可以有不同層次的描述。第一個(gè)層次是直接描述。比如上面的數(shù)據(jù)，8分20秒出現(xiàn)得比較多，最快7分50秒，最慢9分10秒，這些都是信息。一定要讓孩子說(shuō)出理由來(lái)，如果做到說(shuō)出的理由和得到的結(jié)論一致，我認(rèn)為就很好了。大部分孩子說(shuō)出的理由和得到的結(jié)論不一致，這是不行的。第二個(gè)層次是計(jì)算描述。比如上學(xué)時(shí)間在7分50秒和9分10秒之間，或者計(jì)算算術(shù)平均即平均上學(xué)時(shí)間都是計(jì)算描述。第三層次是整體描述。在北京做的實(shí)驗(yàn)，有的孩子可以寫(xiě)出這樣的描述：最快、第二快、第三快、第四快分別是多少，第二快有2次。像這樣簡(jiǎn)單的問(wèn)題，能夠培養(yǎng)孩子對(duì)數(shù)據(jù)提取信息最簡(jiǎn)單的操作方式。類(lèi)似的活動(dòng)還有跳繩、投籃，等等。

其二，學(xué)會(huì)獲取信息

首先是如何獲取數(shù)據(jù)，然后在數(shù)據(jù)中提取信息，這是很難的一件事情，這個(gè)叫做實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。要讓孩子們清楚調(diào)查的背景是什么，調(diào)查的目的是什么，如何設(shè)計(jì)調(diào)查方案。如《課標(biāo)》的例18，班級(jí)新年聯(lián)歡會(huì)買(mǎi)什么水果？小學(xué)一二年級(jí)的學(xué)生往往回答買(mǎi)蘋(píng)果，因?yàn)樘O(píng)果好看，三四年級(jí)的學(xué)生會(huì)問(wèn)大家喜歡什么，五六年級(jí)的學(xué)生會(huì)考慮有多少錢(qián)。第一個(gè)層次知道問(wèn)題需要判斷，第二個(gè)層次知道通過(guò)數(shù)據(jù)判斷，第三個(gè)層次是建立判斷標(biāo)準(zhǔn)。問(wèn)班上同學(xué)意見(jiàn)，讓孩子們調(diào)查，可以作為綜合實(shí)踐課來(lái)安排。有些事情可以事先調(diào)查，然后在課堂上討論，包括匯報(bào)調(diào)查的結(jié)果，交流調(diào)查的方案，最后由老師幫助總結(jié)。還有整體設(shè)計(jì)的問(wèn)題，如調(diào)查超市的蔬菜是否漲價(jià)。這個(gè)問(wèn)題非常難，小學(xué)六年級(jí)的孩子能把這個(gè)問(wèn)題調(diào)查清楚，什么叫蔬菜漲價(jià)，哪個(gè)菜漲價(jià)了，這跟大數(shù)據(jù)分析是一模一樣的，是大家經(jīng)常買(mǎi)的菜漲價(jià)了，還是別的菜漲價(jià)了，要先進(jìn)行分類(lèi)。

今年“兩會(huì)”期間，中央臺(tái)開(kāi)辟一個(gè)欄目叫《兩會(huì)大數(shù)據(jù)》，這個(gè)欄目里經(jīng)常有這樣一個(gè)問(wèn)題，某一個(gè)網(wǎng)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題是最重要的，占到48%，另一個(gè)網(wǎng)也認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題是最重要的，占到52%，這都是大數(shù)據(jù)算出來(lái)的。那么認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題重要的人到底占多少呢？你說(shuō)A網(wǎng)是48%，B網(wǎng)是52%，把它們加起來(lái)除以2，行嗎？不行！為什么不行？因?yàn)閰⑴cA網(wǎng)和B網(wǎng)調(diào)查的人數(shù)可能不同，這樣帶來(lái)的問(wèn)題就多了，必須增加一個(gè)信息，即參加A網(wǎng)和B網(wǎng)討論的人有多少。因此，我們分析一個(gè)問(wèn)題能不能得到結(jié)論很重要，要分析得到的信息是不是足夠多。所以，數(shù)據(jù)的真正含義不僅僅在這個(gè)數(shù)，而是要把它與周邊有關(guān)的東西放在一起才能分析。

其三，學(xué)會(huì)分類(lèi)

2007年，我在寫(xiě)《數(shù)學(xué)思想概論》的時(shí)候，思考了數(shù)學(xué)的思維是什么？我研究的都是西方人的想法，后來(lái)就想知道中國(guó)古人是怎么想問(wèn)題的，然后我用了一年的時(shí)間研究中國(guó)古人的思維。研究完之后，我非常吃驚的是，居然兩千多年來(lái)，中國(guó)人從來(lái)沒(méi)有研究過(guò)我們的祖先是如何想問(wèn)題的。周易的思想方法是什么樣的，老子的思想方法是什么樣的，孔子的思想方法是什么樣的，這些問(wèn)題沒(méi)有人研究。后來(lái)我連續(xù)發(fā)表了四篇文章來(lái)討論中國(guó)古代人的思維，發(fā)現(xiàn)中國(guó)古代人的思維和西方人是不一樣的，西方人研究一般與特殊的關(guān)系。古代的中國(guó)人不是這樣思維的，他們研究類(lèi)與類(lèi)的關(guān)系。老子從來(lái)沒(méi)有解釋他的道是什么，孔子也沒(méi)有解釋他的仁是什么。但是，在一個(gè)具體的事情上，老子告訴我們，這么樣就是有道，這么樣就是無(wú)道，孔子也是這樣，在某一個(gè)具體事情上，這么樣就是仁，這么樣就是不仁。因此中國(guó)古代把世界上很多的事情分成類(lèi)進(jìn)行研究，比如，周易把整個(gè)世界上的事情分了64類(lèi)，對(duì)每一類(lèi)分別進(jìn)行研究。

大數(shù)據(jù)必須分類(lèi)研究，現(xiàn)代科學(xué)也開(kāi)始分類(lèi)研究，因?yàn)橐话愫吞厥庵g的關(guān)系已經(jīng)研究不清楚了。比如社交網(wǎng)絡(luò)的研究，是因?yàn)橥瑢W(xué)關(guān)系建立起來(lái)的，還是因?yàn)榕d趣關(guān)系建立起來(lái)的，還是因?yàn)樵谕粋€(gè)工作場(chǎng)所建立起來(lái)的，不同類(lèi)型的社交網(wǎng)絡(luò)規(guī)律是不一樣的，要分類(lèi)進(jìn)行研究。只有分類(lèi)了，才能把事情討論清楚，因此，分類(lèi)是極為重要的。分類(lèi)要有一個(gè)分水嶺。比如，三角形的分類(lèi)，就畫(huà)一個(gè)銳角三角形，中間畫(huà)一個(gè)直角三角形，再在直角三角形下面畫(huà)一個(gè)鈍角三角形。這樣就可以看到，直角三角形是銳角三角形和鈍角三角形的分水嶺。分類(lèi)要注意兩件事情：一是抓住共性，二是注重差異。許多問(wèn)題不分類(lèi)研究是得不到結(jié)論的，學(xué)會(huì)分類(lèi)，學(xué)會(huì)分類(lèi)研究，將會(huì)受益無(wú)窮?！墩n標(biāo)》例20是扣子分類(lèi)，有藍(lán)顏色的扣子和黃顏色的扣子，有不同的扣眼。教學(xué)時(shí)不能讓學(xué)生上來(lái)就分，上來(lái)就分就等于什么也沒(méi)教會(huì)他。要教他們事先想一想怎么分？先定好標(biāo)準(zhǔn)，如先按顏色分、再按扣眼分，或者先按扣眼分、再按顏色分。反正得定個(gè)規(guī)矩，然后按規(guī)矩來(lái)做事情，這也是非常重要的一件事情。

其四，感悟數(shù)字化的便利

過(guò)去的電視是以圖像傳播的，現(xiàn)在把圖像變成數(shù)字，通過(guò)數(shù)字傳播，再還原成圖像，這是為什么？因?yàn)閿?shù)字化之后，傳播過(guò)程中的噪音就小了，圖像就更清晰了，進(jìn)行研究也就更準(zhǔn)確了。如果通過(guò)圖像研究，現(xiàn)在的科學(xué)技術(shù)還達(dá)不到這一點(diǎn)。因此，要讓孩子們感悟到很多東西看起來(lái)跟數(shù)字無(wú)關(guān)，實(shí)際上是可以數(shù)字化的。比如說(shuō)班會(huì)調(diào)查，把蘋(píng)果設(shè)為1，香蕉設(shè)為2，橘子設(shè)為3，等等。

《課標(biāo)》中的例35是關(guān)于圖形還原的。電視是怎么把圖像變成數(shù)字傳輸?shù)模堪央娨暜?huà)面分成幾千個(gè)格，就是我們手機(jī)上的像素，如果這塊有一個(gè)點(diǎn)，有圖像叫1，沒(méi)有圖像叫做0，這樣就把圖像變成數(shù)字了，然后把這些數(shù)字輸送出去，到那頭用解碼器恢復(fù)過(guò)來(lái)，電視就是這么傳播的。因此根據(jù)這個(gè)想法，《課標(biāo)》設(shè)計(jì)了例35，把一個(gè)圖分為四塊，每一塊先用數(shù)字起個(gè)名，然后讓這些小塊有的旋轉(zhuǎn)，有的平移，得到一個(gè)亂七八糟的圖。亂七八糟的圖給另一組學(xué)生，他們?cè)俑鶕?jù)記錄還原回去。設(shè)計(jì)這么一堂課是極為重要的，可以培養(yǎng)孩子數(shù)字化的思想。用數(shù)字表示圖形旋轉(zhuǎn)，比如旋轉(zhuǎn)90度就是1，旋轉(zhuǎn)180度是2，把這些數(shù)字記錄下來(lái)，然后給另一個(gè)組，還原成原來(lái)的圖。我真希望大家能設(shè)計(jì)出更好的類(lèi)似這樣的問(wèn)題。

今天講的很多例子，都跟數(shù)據(jù)分析有關(guān)。其中還包含重要的邏輯推理。在大數(shù)據(jù)背景下，對(duì)于數(shù)學(xué)教育我現(xiàn)在最想說(shuō)的一句話(huà)是：通過(guò)我們的教學(xué)讓小學(xué)生更聰明起來(lái)，會(huì)想問(wèn)題，會(huì)處理問(wèn)題。