彭崇梅，張啟偉，李元兵

（1.同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海200092；2.上海市政養(yǎng)護管理有限公司，上海201103）

由于施工和使用過程中的磨損、老化、腐蝕、斷絲等原因，相當一部分拉索在成橋后不久便出現(xiàn)嚴重損傷.高強鋼絲或鋼絞線斷絲是拉索損傷的重要形式之一，斷絲的發(fā)生對拉索內(nèi)力重分布及整根拉索的損傷演化起著決定性的作用.

目前，半平行鋼絲索是實際工程中拉索的主要應(yīng)用形式，但是，這方面的研究文獻較少.彭崇梅等［1－2］考慮鋼絲間接觸力、摩擦力和泊松效應(yīng)的影響，建立了靜力拉伸荷載下半平行鋼絲索的對稱斷絲力學(xué)模型，并通過數(shù)值計算研究了對稱斷絲后索體內(nèi)鋼絲拉力分布規(guī)律及其影響因素.Matteo等［3］應(yīng)用基于平行鋼絲假定的延性模型和延－脆性模型研究了Williamsburg橋主纜的安全系數(shù)，并通過試驗，推薦斷絲拉力影響長度取3倍主纜絲扣間距.Faber等［4］基于相互平行的直鋼絲的并聯(lián)模型，采用概率方法研究了半平行鋼絲索的靜力拉伸強度和疲勞壽命.基于平行鋼絲假定的并聯(lián)模型，未考慮螺旋角、鋼絲間接觸和斷絲等因素影響，預(yù)測結(jié)果不能反映鋼絲拉力不均勻分布、斷絲影響長度等關(guān)鍵力學(xué)特性的變化規(guī)律，且其結(jié)果偏于不安全；而對稱斷絲模型難以適用拉索的非對稱斷絲損傷狀態(tài).與半平行鋼絲索幾何相近的鋼絞線模型在這方面的研究則取得了一定的進展.Cappa［5］通過測試一股鋼絞線（7絲）外層單根鋼絲斷裂后發(fā)現(xiàn)，與斷絲相鄰的兩根鋼絲拉力比原來增大20%，而斷絲對稱處鋼絲拉力則比原來減小20%.MacDougall［6－7］推導(dǎo)了砼構(gòu)件中無粘結(jié)預(yù)應(yīng)力7絲鋼絞線非對稱斷絲后鋼絲內(nèi)力分布，研究了斷絲模型中鋼絲的拉力分布、斷絲影響長度及剩余預(yù)應(yīng)力.李元兵［8］在 MacDougall［7］的基礎(chǔ)上，采用有限元方法研究了鋼絞線吊桿斷絲后截面內(nèi)鋼絲拉力分布及護套握裹力、鋼絲間摩擦系數(shù)等對鋼絲拉力分布的影響.Jiang等［9］通過考慮鋼絲間的接觸摩擦、塑性變形和精確的幾何構(gòu)型，建立了軸向荷載作用下的有限元模型；數(shù)值計算表明外層鋼絲之間及與中心鋼絲間的接觸會同時發(fā)生，徑向接觸應(yīng)力較環(huán)向接觸應(yīng)力小.

需引起重視的是，由于半平行鋼絲索內(nèi)部鋼絲接觸復(fù)雜，拉索內(nèi)鋼絲排列方式和鋼絲間的接觸方式與鋼絞線索有很大的不同，因此，既不能采用并聯(lián)模型，也不能直接應(yīng)用鋼絞線研究中的現(xiàn)象和規(guī)律.本文基于Love［10］曲桿理論，忽略鋼絲彎矩、扭矩和剪力，考慮非對稱斷絲引起的垂直于拉索軸向的側(cè)向變形、鋼絲間的接觸和摩擦，建立了多層半平行鋼絲索的非對稱斷絲模型；通過數(shù)值計算和參數(shù)分析研究了斷絲后索體內(nèi)鋼絲拉力分布規(guī)律及其影響因素.

1 基本方程

考慮一n層半平行鋼絲索（圖1），鋼絲彈性模量為E，面積為A0，吊桿長度為L，索體中有1根斷絲，斷絲排列為非對稱布置.以鋼絲斷裂處為參考點（坐標原點），x軸平行于核心鋼絲軸向，協(xié)同坐標s沿鋼絲螺旋方向，兩坐標軸之間換算關(guān)系為：s＝x／sinα，索體內(nèi)各鋼絲半徑均為R，螺旋角為α.索體中鋼絲根據(jù)鋼絲螺旋半徑進行分層，中心鋼絲為第0層，半徑為R1，其余各層依次由里向外進行編號，各層鋼絲螺旋半徑為各外層鋼絲中心相對螺旋中心的距離，以ri表示，i表示鋼絲層編號，圖2中六邊形虛線所圍成的鋼絲環(huán)分別對應(yīng)第1，2，3，…，k環(huán)鋼絲.斷絲后護套對斷裂鋼絲的握裹力沿軸向呈均勻分布，單位長度為ws.各鋼絲間摩擦系數(shù)為μ，內(nèi)部接觸力為Xms，i（s），則鋼絲間單位長度的摩擦力為f（s）＝μXms，i（s），斷 絲 軸 力 為Tb（s），未 斷 鋼 絲 軸 力 為Tu，i（s），斷絲鋼絲索總軸向力為Fb，完好鋼絲索總軸向力為F.

圖1 半平行鋼絲索斷絲示意圖Fig.1 Geometry sketch of the semi－parallel wire cable with break wires

圖2 半平行鋼絲索截面編號示意圖Fig.2 Numbering schemes of cross section for semi－parallel wire cable

1.1 變形協(xié)調(diào)方程

當索體產(chǎn)生垂直于拉索軸向的變形δp（方向偏向斷絲一側(cè)）時，拉索截面各根鋼絲螺旋半徑會相應(yīng)發(fā)生變化，從而產(chǎn)生應(yīng)變增量，但斷絲因為一端斷裂，相對于未斷鋼絲會產(chǎn)生相對滑移，并不會因為螺旋半徑的變化而產(chǎn)生應(yīng)變增量.文獻［7］研究表明，由側(cè)向位移引起的中心鋼絲應(yīng)變增量可以忽略.由于側(cè)向變形引起的其余位置鋼絲螺旋半徑的變化，此處以其中一根鋼絲為例進行推導(dǎo).

圖3a為斷絲前鋼絲m的位置，圖中點“M”為鋼絲m的軸線位置，點“O”為拉索軸線位置，點“N”為鋼絲n（斷絲）軸線位置，OM間的長度等于鋼絲m的螺旋半徑，M－O－N間的角度為βi.圖3b為斷絲后鋼絲m的位置，鋼絲軸線已偏移到M′點，索體軸線方向也移到O′點，斷絲n的軸線移到N′點，OM′間的長度為變形后鋼絲m的螺旋半徑，假定變形為小量，M′－O－N′間角度仍為βi.

斷絲后鋼絲m和索體軸線間的協(xié)調(diào)變形可表示為如圖3c所示.則鋼絲m由于側(cè)向變形δp引起的螺旋半徑的改變量為

其余位置鋼絲則可依次推算.

1.2 平衡方程

假定：鋼絲間完全接觸，摩擦系數(shù)為一定值，護套握裹力沿拉索軸向均布.根據(jù)Love［10］曲桿理論，單根鋼絲有6個獨立平衡方程，受力如圖4所示，圖4中G，G′為彎矩分量，H為扭矩分量，K，K′為曲率分量，θ為扭率分量，N，N′為剪力分量，T為軸向拉力分量（沿坐標s方向，見圖1），單位長度外部荷載分量為X，Y，Z.

圖3 斷絲后鋼絲變形圖Fig.3 Wire deflection after wire－break

圖4 單根鋼絲受力圖Fig.4 Loads acting on a thin wire

對多層半平行鋼絲索，忽略彎矩、扭矩和剪力的影響，鋼絲的材料本構(gòu)方程可以簡化為：Ti（s）＝EAiξi（s），參考文獻［1］，有X＝Xms，i（s）－ΔXms，i，Z＝μ（Xms，i（s）＋ΔXms，i＋2Pms，k）.則鋼絲平衡方程可簡化為

其中，Ti（s）表示第i根鋼絲拉力；ξi（s）為鋼絲軸向應(yīng)變；E為鋼絲彈性模量；Ai為第i根鋼絲橫截面積；Xms，i表示第i根鋼絲徑向接觸力；ΔXms，i為外層鋼絲作用于第i根鋼絲的接觸力；Pms，k表示第k環(huán)鋼絲間環(huán)向接觸力；β表示鋼絲間的接觸角，對角線位置鋼絲為60°，其余位置鋼絲為90°.

半平行鋼絲索兩坐標軸間的換算關(guān)系為

半徑變分引起的弧長變化為

式中：p為鋼絲螺旋捻距.

半徑改變δh，i引起的應(yīng)變增量為

［11］，忽略泊松效應(yīng)和接觸變形對螺旋半徑的影響，軸向拉伸引起的均勻應(yīng)變增量為

式中：ε（s）表示拉索軸向應(yīng)變.

則外層未斷鋼絲的軸向應(yīng)變ξi（s）可由半徑改變引起的應(yīng)變增量和軸向拉伸引起的應(yīng)變增量兩部分組成

式中：λ，ηi分別表示鋼絲軸向應(yīng)變系數(shù)和鋼絲橫向應(yīng)變系數(shù).

未斷鋼絲總拉力可表示為

式中：Ac為中心鋼絲面積；Ku為未斷鋼絲總拉力系數(shù)；Kδ為側(cè)向位移系數(shù).

未斷鋼絲總拉力又可表示為

聯(lián)立式（8），（9），可得

則外層未斷鋼絲拉力可表示為

由式（1）可知，未斷鋼絲接觸力可表示為

式中：等式右邊第一項為第i根鋼絲的附加接觸力；當鋼絲處于最外層時，ΔXms，i即為護套握裹力ws.

由式（11），（12）可以看出，接觸力表達式均存在常數(shù)項、公因子Tb（s）和δp（s），即

式中：ΔXms1，i，Xms1，i為 常 數(shù) 項；可 提 取 系 數(shù)Fb，ΔXms2，i，Xms2，i為Tb（s）的系數(shù)；ΔXms3，i，Xms3，i為δp（s）的系數(shù).

拉索截面出現(xiàn)非對稱斷絲時，外部接觸力不平衡，索體會產(chǎn)生垂直于拉索軸向的變形δp，方向偏向斷絲一側(cè)，從而引起拉索截面內(nèi)各層鋼絲拉力產(chǎn)生重分布，直至索體重新平衡.圖5為非對稱斷絲后，拉索截面核心鋼絲接觸力平衡圖.以斷絲一側(cè)鋼絲與核心鋼絲間接觸力為X0°，斷絲相對一側(cè)鋼絲與核心鋼絲間接觸力為X180°，其余鋼絲則按順時針相應(yīng)編號.由力的平衡方程可知

其中Ψ1可提取系數(shù)Fb.

圖5 核心鋼絲接觸力平衡圖Fig.5 Contact forces acting on the king wire

聯(lián)立式（13），（14），（15），將Tb（s）和δ（s）的關(guān)系引入，消去δp（s），可得

其中φ2可提取系數(shù)Fb.

聯(lián)立式（1），（2），（17），（18）可得

由邊界條件知，斷絲處，Tb（0）＝0，求解上述微分方程，可得

由式（20）可知斷絲拉力隨到斷絲處距離的增加呈指數(shù)增加.

考慮接觸變形對非對稱斷絲模型鋼絲拉力分布的影響時，式（7）中螺旋半徑的變分應(yīng)增加接觸變形項，則考慮接觸變形后，鋼絲拉力可表示為

式中：Δc，i為鋼絲間接觸變形.

參考文獻［12］，兩根相互線接觸的平行圓桿之間的接觸變形為

式中：ν為鋼絲泊松比.

考慮接觸變形時，可將接觸位移Δc，i代入式（5）進行修正.

1.3 影響長度

隨著斷絲拉力的增加，未斷鋼絲拉力相應(yīng)減少，當同一層中斷絲和未斷鋼絲拉力相等時，對應(yīng)的區(qū)間長度定義為影響長度，以La表示.

完好拉索外層鋼絲拉力為

式中：mj為每層鋼絲數(shù).當x＝La／2時，式（23）與Tb（La／2）相等，即

求解式（24），可得影響長度La為

因φ2可提取系數(shù)Fb，由式（25）可以看出，影響長度與拉索破斷力無關(guān).

1.4 索力剩余系數(shù)

索力剩余系數(shù)γ可定義為斷絲后拉索索力Fb與完好拉索索力F的比值

引進相容條件：完好鋼絲索延伸量Δ等于斷絲拉索延伸量Δb，即Δb＝Δ.其中

當影響長度大于索長，即La＞L時，積分區(qū)間為由式（10），（16），（20）得索體延伸量為

式中：Γ＝Lφ1／sinα；Φ1＝KδΨ1／Ψ3；Φ2＝φ2（sinα＋KδΨ2／Ψ3）.

由前文可知，Ψ1和φ2均可提取公因子Fb，根據(jù)相容條件，相應(yīng)的索力剩余系數(shù)γ為

當影響長度小于索長，即La≤L時，式（28）積分區(qū)間為 ［0，La／2］，延伸量為影響長度內(nèi)和影響長度外延伸量之和，由式（10），（16），（20），（27）可求得索體延伸量為

根據(jù)相容條件，相應(yīng)的索力剩余系數(shù)γ為

2 方程的求解

對于給定的半平行鋼絲索，首先，按1.1節(jié)方法求得各根鋼絲和斷絲間的圓心角及外層相鄰鋼絲對內(nèi)層鋼絲的接觸力分配系數(shù)，根據(jù)已知參數(shù)，得未斷鋼絲總拉力系數(shù)Ku和Kδ，對于給定的坐標s，假定Tb（s），給接觸力系數(shù)Xmsi，j（i∈（1，180），j∈（1，3））賦初值，代入式（12），（13），（20），可得新一輪的Tb（s）和接觸力系數(shù)Xmsi，j，如此循環(huán)，直到前后兩輪計算得到的Xmsi，j差值小于給定誤差，再將徑向接觸力代入式（11），（21），（22），求出鋼絲間的接觸變形，從而計算未斷鋼絲拉力；然后進入下一坐標s＋Δs的計算，重復(fù)以上過程，直到整根索長計算完為止.將上述計算結(jié)果代入式（25），可得影響長度La，代入式（30）或（32），可得索力剩余系數(shù)γ.全部計算過程可通過編程實現(xiàn).

3 數(shù)值分析與討論

為討論各參數(shù)取值對多層半平行鋼絲索斷絲模型的影響，參考橋梁工程中半平行鋼絲索的技術(shù)參數(shù)，如無特別說明，均以鋼絲直徑為5mm的127絲半平行鋼絲索（Ф5－127）為例進行討論，拉索長度L取6m，外層鋼絲螺旋角為86°，鋼絲直徑取5mm，鋼絲彈性模量E為197.9GPa，泊松比ν取0.3，內(nèi)部鋼絲間摩擦系數(shù)μ取0.12，護套握裹力取ws取2.0×10－6N·mm－1；鋼絲按其螺旋半徑分15層，斷絲所在鋼絲層為第7層，斷絲數(shù)為8根.

3.1 索內(nèi)鋼絲拉力分布

應(yīng)用半平行鋼絲索的技術(shù)參數(shù)，按第2節(jié)所述計算流程，可以得出拉索出現(xiàn)非對稱斷絲時，索體內(nèi)鋼絲拉力分布如圖6～9所示.圖6為最外環(huán)鋼絲拉力分布，圖中x表示距斷絲處的距離，x＝0.0和La／2分別表示斷絲處和影響結(jié)束位置.圖7為不同環(huán)鋼絲拉力沿環(huán)向分布，圖中第6環(huán)為最外環(huán)鋼絲.

圖6 外環(huán)鋼絲拉力分布Fig.6 Axial force distribution in the outermost hoop

圖7 斷絲處鋼絲拉力沿環(huán)向分布Fig.7 Axial force distribution along the hoop direction

圖8 徑向拉力分布Fig.8 Axial force distribution along the radial direction

圖9 縱向拉力分布Fig.9 Axial force distribution along the length direction

從圖6可以看出，在斷絲處，斷絲一側(cè)鋼絲拉力明顯大于相反一側(cè)；而影響長度外，鋼絲間拉力沿環(huán)向分布基本均勻.上述現(xiàn)象可解釋為，由于非對稱斷絲產(chǎn)生的索體側(cè)向位移，引起斷絲一側(cè)鋼絲拉力增大，而相反一側(cè)鋼絲拉力則相對較小.隨著側(cè)向位移逐漸變小，截面環(huán)向鋼絲拉力逐漸趨于均勻.從圖7可以看出，不同環(huán)鋼絲拉力分布差異明顯，越往內(nèi)環(huán)，分布曲線往斷絲一側(cè)偏心越大，斷絲側(cè)與相反一側(cè)鋼絲拉力差距越大，如第2環(huán)鋼絲斷絲處鋼絲拉力為0.811%，相反一側(cè)為0.779%，兩者的相對誤差為4.10%，而第6環(huán)鋼絲斷絲處鋼絲拉力為0.801%，相反一側(cè)為0.790%，兩者的相對誤差為1.39%.

拉索出現(xiàn)非對稱斷絲時，索體內(nèi)鋼絲拉力沿截面徑向和縱向分布如圖8、圖9所示.圖8為斷絲處和斷絲影響長度處截面鋼絲拉力沿徑向分布規(guī)律，圖中x表示距斷絲處的距離，x＝0和x＝La／2分別表示斷絲處和斷絲影響結(jié)束位置，“第一區(qū)”表示斷絲一側(cè)所在區(qū)域，“第4區(qū)”表示相反一側(cè)鋼絲所在區(qū)域.圖9表示不同編號鋼絲拉力沿縱向分布規(guī)律.

由圖8可以看出，沿截面徑向，不同截面鋼絲拉力分布差異明顯.在斷絲處，斷絲兩側(cè)鋼絲拉力變化沿徑向分布規(guī)律相反；影響長度外，截面鋼絲沿徑向均為同一分布規(guī)律.在斷絲處，越往外層，鋼絲拉力越小，而在斷絲相反一側(cè)，斷絲越往外層，鋼絲拉力越大；影響長度外，越往外層，鋼絲拉力越大.由圖9可以看出，不同斷面處，沿截面徑向鋼絲拉力間的差異不同，斷絲處鋼絲拉力差異最明顯，1號鋼絲拉力為0.815%，13號鋼絲為0.799%，兩者相對誤差為2.0%，距離斷絲處越遠，鋼絲拉力間的差異越小，在影響長度外趨于均勻.

3.2 摩擦系數(shù)的影響

鋼絲索截面內(nèi)鋼絲受環(huán)境腐蝕等因素影響，摩擦系數(shù)不斷增大，摩擦力對索內(nèi)各鋼絲拉力分布的影響加劇.關(guān)于內(nèi)部鋼絲間的摩擦系數(shù)，相關(guān)研究文獻較少，Margetts［13］建議預(yù)應(yīng)力鋼絞線鋼絲間摩擦系數(shù)可取0.11～0.22，MacDougall［7］的研究中采用0.16的摩擦系數(shù)，和試驗結(jié)果取得了較好的一致.為研究摩擦系數(shù)的影響，變化摩擦系數(shù)μ（0.05～0.20），相應(yīng)的斷絲影響長度和索力剩余系數(shù)變化曲線如圖10、圖11所示.

圖10 影響長度與摩擦系數(shù)關(guān)系Fig.10 Variation of the affected length with coefficients of inter－wires friction

圖11 索力剩余系數(shù)與摩擦系數(shù)關(guān)系Fig.11 Variation of remaining prestress fraction with coefficients of inter－wires friction

由圖10和圖11可知：

（1）隨著摩擦系數(shù)的增加，斷絲影響長度逐漸變小，對于給定的摩擦系數(shù)，斷絲越往外層，影響長度越大，且隨著摩擦系數(shù)的增大，影響長度減少的速度變緩.

（2）隨著摩擦系數(shù)的增加，斷絲索力剩余系數(shù)逐漸變大，對于給定的摩擦系數(shù)，斷絲越往外層，索力剩余系數(shù)減小得越多，索力變化范圍越窄.當斷絲位于第4層時，最小索力剩余系數(shù)為99.01%，變化范圍為0.71%；而當斷絲位于第9層時，最小索力剩余系數(shù)為98.98%，小于拉索斷絲剩余率99.21%，變化范圍為0.68%.

3.3 斷絲徑向位置的影響

當斷絲位于不同徑向位置時，斷絲影響長度和索力剩余系數(shù)的變化如圖12、圖13所示.圖中μ為內(nèi)部鋼絲摩擦系數(shù)，rb表示斷絲螺旋半徑.

圖12 影響長度隨斷絲徑向位置變化曲線Fig.12 The affected length as a function of rb

圖13 索力剩余系數(shù)隨斷絲徑向位置變化曲線Fig.13 Remaining prestress fraction as a function of rb

由圖12和圖13可知：

（1）影響長度隨斷絲徑向位置的增加而快速增加；對于給定的斷絲位置，摩擦系數(shù)越小，影響長度越大，且斷絲越往外層，影響長度增加的速度越快，影響長度大于1倍捻距.

（2）索力剩余系數(shù)隨斷絲徑向位置的增加而減小，且斷絲越往外層，索力剩余系數(shù)減小的速度越緩；對于給定的斷絲位置，隨著摩擦系數(shù)的減小，索力剩余系數(shù)相應(yīng)減小，索力變化范圍變窄.當摩擦系數(shù)為0.08時，最小索力剩余系數(shù)為99.07%，小于拉索斷絲剩余率99.21%，變化范圍為0.25%；當摩擦系數(shù)為0.20時，最小索力剩余系數(shù)為99.23%，變化范圍為0.49%.

4 結(jié)論

推導(dǎo)了多層半平行鋼絲索的非對稱斷絲模型，通過數(shù)值計算和參數(shù)分析研究了斷絲后索體內(nèi)鋼絲拉力分布規(guī)律，本文模型主要適用于1根非對稱斷絲的情況，主要結(jié)論如下：

（1）影響長度內(nèi)，同一截面內(nèi)不同鋼絲拉力存在不均勻分布，斷絲處，鋼絲拉力不均勻分布最明顯.影響長度外，各層鋼絲拉力分布基本均勻.斷絲處，斷絲一側(cè)鋼絲拉力明顯大于相反一側(cè)，鋼絲拉力沿環(huán)向分布存在明顯的偏心，同環(huán)鋼絲拉力相對誤差可達4.10%；而影響長度外，鋼絲間拉力沿環(huán)向分布基本均勻.

（2）沿截面徑向，不同截面鋼絲拉力分布差異明顯.在斷絲處，越往外層，斷絲一側(cè)鋼絲拉力越小，而在斷絲相反一側(cè)，斷絲越往外層，鋼絲拉力越大；影響長度外，鋼絲拉力分布均為，越往外層，鋼絲拉力越大，中間為過渡段.

（3）通過參數(shù)敏感性分析，探討了摩擦系數(shù)和斷絲徑向位置對影響長度和索力剩余系數(shù)的影響.結(jié)果表明，在常用參數(shù)范圍內(nèi)，影響長度變化范圍較大，均大于1倍捻距；索力剩余系數(shù)受摩擦系數(shù)、斷絲徑向位置影響較大，參數(shù)變化時，索力剩余系數(shù)最小可達98.98%，小于截面斷絲剩余率99.21%.

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