陳艷華,江俊

(西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安)

轉子/定子碰摩系統(tǒng)的非線性模態(tài)及其在干摩擦反向渦動響應預測中的應用

陳艷華,江俊

(西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安)

為了分析轉子/定子碰摩系統(tǒng)中的非線性模態(tài),確定交叉耦合效應對非線性模態(tài)的影響以及非線性模態(tài)在預測系統(tǒng)干摩擦反向渦動響應中的作用,針對一個考慮了定子運動學特性以及轉子和定子間交叉耦合效應的四自由度轉子/定子碰摩系統(tǒng),用解析方法求解了其線性和非線性模態(tài),分析了系統(tǒng)干摩擦反向渦動響應的渦動頻率,確定了激發(fā)干摩擦反向渦動的臨界速度與系統(tǒng)模態(tài)之間的關系。分析結果表明:系統(tǒng)存在2個負的線性模態(tài)頻率;隨著碰摩面摩擦系數的增大,其負的非線性模態(tài)頻率由1個增加到3個;系統(tǒng)的2個負線性模態(tài)頻率不但是相應非線性模態(tài)的邊界,也是干摩擦反向渦動頻率的上邊界;非線性模態(tài)存在的最小摩擦系數就是發(fā)生干摩擦反向渦動失穩(wěn)的最小摩擦系數。此項研究可為轉子/定子碰摩系統(tǒng)的響應預測提供新的思路。

非線性模態(tài);干摩擦反向渦動響應;臨界速度;渦動頻率

旋轉機械中的碰摩故障是指運行中的轉子與定子發(fā)生碰撞摩擦,這種故障可以發(fā)生在轉子的某一處(單點碰摩)或多處(多點碰摩)。碰摩通常是由于機械系統(tǒng)的其他故障引起的,例如轉子系統(tǒng)裝配誤差、定子的變形或運動、轉軸的局部彎曲、轉子質量不平衡激勵等。碰摩故障輕則引起設備的異常振動、磨損,重則造成整個機器破壞甚至災難性的事故。在現(xiàn)代新型旋轉機械中,由于轉子/定子間隙的減小、更加柔性的轉子結構以及高負荷的工作環(huán)境,也使得旋轉機械中的碰摩風險大大增加[1]。

鑒于旋轉機械中碰摩風險的增大,以及碰摩動力學問題的復雜性和響應行為的豐富性,關于轉子與定子碰摩的研究受到了人們的高度重視。文獻[2]系統(tǒng)回顧了20世紀90年代之前關于轉子/定子碰摩的研究成果,并對轉子/定子碰摩過程的建模和碰摩動力學響應行為進行了歸類。文獻[3]對轉子/定子碰摩研究中有關特定系統(tǒng)參數對碰摩響應的影響、碰摩效應(碰摩對系統(tǒng)性質的影響)和典型響應行為進行了粗略的歸納。文獻[4]從轉子/定子碰摩響應的典型非線性動力學響應特征出發(fā),對相關的轉子與定子碰摩的研究成果進行了綜述。

在轉子/定子系統(tǒng)中,當激勵力的方向與轉子渦動速度切向相同時,就可能引起轉子失穩(wěn)。若這類切向力的大小與轉子的徑向位移成比例,就稱為交叉耦合剛度力。透平機中的氣尖力或軸承油膜力都可以帶來交叉耦合效應[5-6]。Day在研究了含軸承間隙和交叉耦合剛度系數的Jeffcott轉子系統(tǒng)后指出:由于交叉耦合剛度系數的存在,系統(tǒng)存在非線性固有頻率[7]。

在針對碰摩反向渦動響應的研究中,假設自激響應的解為待求頻率的諧波解的形式,并去掉方程的激勵項,則以自由振動的方式可以求解轉子/密封件耦合系統(tǒng)的固有頻率[8]。江俊在文獻[9]中給出了一類轉子與定子耦合系統(tǒng)的非線性固有頻率,揭示了系統(tǒng)準周期碰摩響應演變?yōu)楦赡Σ练聪驕u動響應的物理機制——轉子系統(tǒng)在負的非線性固有頻率處發(fā)生了共振,并且發(fā)現(xiàn),轉子與定子耦合系統(tǒng)的非線性固有頻率正是反向全周渦動響應在臨界激勵轉速下的渦動頻率。他還研究了轉子/定子耦合系統(tǒng)的線性和非線性模態(tài)的相互作用機制,發(fā)現(xiàn)非線性模態(tài)頻率與線性模態(tài)頻率在轉速-摩擦系數參數平面內存在交點,該交點對應的摩擦系數值是發(fā)生干摩擦反向全周渦動響應的最小值[10]。針對含交叉耦合效應的四自由度轉子/定子碰摩系統(tǒng),Shang等分析了其同頻全周碰摩解的穩(wěn)定性,得出了交叉耦合效應對全周碰摩響應的影響規(guī)律[11]。

對轉子/定子碰摩系統(tǒng)的非線性模態(tài)進行分析,目的之一是使其發(fā)揮類似于線性模態(tài)的作用,用于了解系統(tǒng)的激勵與響應的關系,防止碰摩失穩(wěn)的發(fā)生。Childs等將Black反向渦動模型[12]推廣到多模態(tài)的轉子/定子模型,并對Bartha的實驗模型[1]進行了預測,預測所得系統(tǒng)的渦動頻率與實驗結果非常接近[13]。江俊等在研究轉子/定子碰摩時,在含有阻尼項的非線性自由振動方程中,得到了非同步通過平衡位置和最大位置的非線性模態(tài)[14]。陳艷華等解析求解了二自由度轉子/定子碰摩系統(tǒng)的非線性模態(tài),并用數值模擬進行了驗證[15]。上述研究成果為進一步探索用非線性模態(tài)預測碰摩響應提供了基礎。

本文針對考慮了定子運動學特性及交叉耦合效應的轉子/定子系統(tǒng),分析其非線性模態(tài),著重研究交叉耦合剛度對系統(tǒng)非線性模態(tài)的影響,并使用非線性模態(tài)來預測系統(tǒng)干摩擦反向渦動響應的特性。

1 系統(tǒng)模型與運動方程

本文研究的轉子/定子碰摩系統(tǒng)考慮了定子的運動學特性,如圖1所示。系統(tǒng)轉軸的剛度為kr,由軸承支撐,不考慮轉軸的質量;質量為mr的剛性轉子放置在軸承跨距中間,轉子質心對其幾何中心的偏心距為e;定子的徑向剛度為ks,質量為ms,定子內環(huán)面的接觸剛度為kc,表面的摩擦系數為μ;轉子和定子之間的間隙為δ。

考慮定子運動學特性的轉子/定子系統(tǒng)意味著定子的支撐是彈性的,并且要考慮定子的質量。在實際情況下,定子的轉動慣性非常微小,可以忽略不計。在計及交叉耦合效應時,系統(tǒng)的運動方程可以表示如下

(1)

(a)轉子/定子系統(tǒng)的主要參數

(b)碰摩轉子系統(tǒng)的受力情況

式中:轉子與定子碰摩力的合力

vrel=rdiskω+|rr-rs|ωw

rr=yr+jzr和rs=ys+jzs分別表示轉子、定子的總變形;νr和νs分別表示轉子、定子的交叉耦合阻尼項,Qr和Qs分別表示轉子、定子的交叉耦合剛度項,這4個參數組合起來表達交叉耦合效應;Θ為Heaveside函數

(2)

式中各歸一化變量定義如下

2 耦合系統(tǒng)的模態(tài)頻率

2.1 線性耦合系統(tǒng)的模態(tài)頻率

將方程中的交叉耦合效應略去,并設轉子/定子間的間隙為0,使轉子與定子能耦合到一起。為了將方程簡化為線性碰撞系統(tǒng),略去干摩擦效應,并將碰摩力簡化為簡單的線性形式,同時略去激勵項,可以得到轉子/定子線性耦合時的模態(tài)方程

(3)

方程(3)的解可以假設為如下形式

Wr=Arejωlτ;Ws=Asejωlτ

式中:ωl為線性模態(tài)頻率。將解代入方程(3),可以得到關于模態(tài)頻率的特征方程

βsrβcr+βsr+βcr=0

(4)

求解方程(4),可以得到轉子/定子耦合系統(tǒng)的線性模態(tài)頻率

式中

S1=Msr(1+βcr)+(βsr+βcr)

S2=4Msr[βsrβcr+(βsr+βcr)]

求得的模態(tài)頻率成對出現(xiàn),符號相反。在轉子/定子碰摩系統(tǒng)中,模態(tài)頻率為正意味著轉子的振動或渦動方向與其自轉的方向一致,模態(tài)頻率為負則表示轉子的振動或渦動方向與其自轉方向相反。

2.2 非線性耦合系統(tǒng)的模態(tài)頻率

從方程(2)出發(fā)來分析系統(tǒng)的非線性模態(tài)。首先省略激勵項,并假設轉子/定子的非線性模態(tài)頻率及振幅分別為ωn、Hr和Hs,因此方程的模態(tài)解可以寫為

Wr=Hrejωnτ;Ws=Hsej(ωnτ+φ)

式中:φ為轉子/定子振動的相位差。將解代入方程(2)并合并同類項,可得

(5)

(6)

將式(5)與式(6)相加,可求得Hr與Hs的關系

(7)

式中

將式(7)代入式(6)并化簡可得

(8)

式中

聯(lián)立式(6)、式(7)和式(8),可求得非線性模態(tài)頻率的特征方程(9)。當此方程的實數根滿足碰摩條件(即|Wr-Ws|>δ)時,它就是有意義的非線性模態(tài)頻率。因此,只要給定系統(tǒng)參數,就可以求解其非線性模態(tài)頻率。

(9)

式中

根據方程(4)和(9)的解可以繪制系統(tǒng)的線性模態(tài)與非線性模態(tài)。圖2展示了系統(tǒng)線性模態(tài)與非線性模態(tài)之間的關系，鑒于本文的研究內容，此處只繪制了負的非線性模態(tài)頻率。

從圖2中可以看出,系統(tǒng)存在2個負的耦合線性模態(tài)頻率,而系統(tǒng)耦合的非線性模態(tài)頻率數量隨著摩擦系數的增大而增多。當摩擦系數在[0.01,0.12]的范圍內時,系統(tǒng)只存在1個非線性模態(tài)頻率;當摩擦系數大于0.12時,系統(tǒng)有3個負的非線性模態(tài)頻率共存。另一方面,線性模態(tài)頻率可以作為對應非線性模態(tài)頻率的下邊界。

ζr=0.02; ζs=0.01; Msr=2.052 6; βsr=15.319;Rdisk/Δ=2.66; βcr=20; κr=0.12; κs=γr=γs=0

3 干摩擦反向渦動響應特性

3.1 反向渦動頻率

在轉子/定子系統(tǒng)中,干摩擦反向渦動是一種自激振動響應形式,此時轉軸的渦動方向與轉速方向相反。由于存在質量偏心,系統(tǒng)響應中仍然包含正向渦動頻率成分,但是與反向渦動相比較而言,正向渦動響應的幅值很小,幾乎可以忽略。

設Wb、Wf分別表示自激反向渦動響應與受迫正向渦動響應,則系統(tǒng)總的響應可以寫成

Wi=Wbi+Wfi,i=r,s

(10)

式中:Wbi=Hie(α+jωb)τ+jφi;Wfi=GiejΩτ;ωb為反向渦動頻率;r和s分別表示轉子和定子;Hieατ是隨時間變化的幅值成分,當α大于0時,系統(tǒng)處于干摩擦的反向渦動狀態(tài)。在轉子/定子碰摩系統(tǒng)中,定子與轉子之間的相位差對了解系統(tǒng)狀態(tài)很有價值,不失一般性,設φr=0,φs=φ。另一方面,由于本文主要研究干摩擦反向渦動響應的特性,因而忽略由于不平衡質量引起的同向渦動頻率成分,所以系統(tǒng)的響應可以簡化成如下形式

Wbr=Hre(α+jωb)τ;Wbs=Hse(α+jωb)τ+jφ

(11)

此外,當系統(tǒng)出現(xiàn)干摩擦反向渦動響應時,可以近似認為轉子與定子之間保持純滾動,即滿足

|Wr-Ws|=|(Wbr+Wfr)-(Wbs+Wfs)|=

(12)

將式(11)、式(12)代入方程(2)并省略不平衡質量的激勵項,就可以得到轉子/定子系統(tǒng)干摩擦反向渦動響應的控制方程

(α+jωb)2Hr+(1-jκr)Hr+

(2ζr-jγr)(α+jωb)Hr+

βcr(1+jμ)(1+EΔ)(Hr-Hsejφ)=0

(13)

Msr(α+jωb)2Hsejφ+(βsr-jκs)Hsejφ+

(2ηs-jγs)(α+jωb)Hsejφ-

βcr(1+jμ)(1+EΔ)(Hr-Hsejφ)=0

(14)

將方程(13)、(14)相加,可以得到轉子與定子渦動響應下的幅值關系

(15)

式中:P、Q、M、N都是與系統(tǒng)干摩擦反向渦動頻率相關的參數。

Q=2αωb+2ζrωb-γrα-κr

N=2αωbMsr+2ωbηs-αγs-κs

將方程(15)代入方程(13),可得

(16)

分離方程(16)的虛部、實部可得

(17)

將P、Q、M、N的表達式代入方程(17),可以得到包含ωb與α的方程組,在給定激勵頻率Ω的情況下,求解此方程組就可以求得ωb與α。當α>0時,所對應的ωb即為系統(tǒng)在此激勵下的反向渦動頻率。在轉子/定子碰摩系統(tǒng)中,碰摩面間的摩擦系數是影響反向渦動響應特性的重要參數。當不考慮轉子/定子之間的交叉耦合效應時,在較大的摩擦系數下,對應同一個激勵轉速,系統(tǒng)會存在2個反向渦動響應狀態(tài),且2個狀態(tài)之間會發(fā)生跳躍[16]。針對不考慮定子動力學特性的二自由度轉子/定子系統(tǒng)的研究發(fā)現(xiàn),如果轉子/定子間存在交叉耦合剛度效應,則系統(tǒng)在較大的摩擦系數下才會出現(xiàn)干摩擦反向渦動失穩(wěn)[15]。

圖3給出了不同激勵轉速下系統(tǒng)的干摩擦反向渦動頻率。圖3b中虛線所對應的正是耦合系統(tǒng)的線性模態(tài)頻率,可以作為系統(tǒng)的反向渦動頻率的上界。從圖3a、3b的對比中可以看出,當轉子上存在交叉耦合剛度效應時,系統(tǒng)的低階反向渦動只是在Ω<2.5的轉速范圍內存在,而當系統(tǒng)中不存在交叉耦合剛度時,這一反向渦動頻率能在很大的轉速范圍內存在。這說明,轉子上的交叉耦合剛度系數可以有效抑制低階反向渦動響應的范圍。

(a)不考慮交叉耦合效應[16]

(b)考慮轉子上的交叉耦合剛度μ=0.3; ζr=0.02; ζs=0.01; Msr=2.052 6; βsr=15.319;Rdisk/Δ=2.66; βcr=20; κr=0.12; κs=γr=γs=0

3.2 反向渦動響應的激勵轉速邊界

從前面的分析可以看出,當α>0時系統(tǒng)出現(xiàn)干摩擦反向渦動,則α=0所對應的轉速即為干摩擦反向渦動響應出現(xiàn)的臨界轉速。本文在推導方程(17)時,將受迫激勵引起的正向渦動幅值Wfr和Wfs略去,主要是考慮在干摩擦反向渦動這種自激響應狀態(tài)下,受迫激勵的幅值相對很小,即使是在轉速較高的情況下亦很小。因此,將α=0代入方程(17),消去C后可以得到α=0條件下的頻率ωb方程(18),求得ωb之后將其回代入方程(17)中的任意一式可以求得C,再根據C即可求解出臨界轉速Ω的值。

(18)

式中

κr=0.12; ζr=0.02; ζs=0.01; Msr=2.052 6; βsr=15.319;Rdisk/Δ=2.66; βcr=20; κr=0.12; κs=γr=γs=0

圖4給出了摩擦系數對臨界轉速邊界的影響。從圖中可以看出,系統(tǒng)有2個干摩擦反向渦動狀態(tài),其臨界轉速邊界分別由粗實線和細實線表示。通過數值模擬發(fā)現(xiàn),即使在較高的轉速下,本文方法預測的臨界轉速邊界的精度依然很高。圖中粗實線對應的臨界轉速邊界表明,當系統(tǒng)的摩擦系數大于0.125時,低渦動頻率的反向渦動響應只在一個“U”形的轉速范圍存在。圖中細實線對應的臨界轉速邊界是一個“L”形的區(qū)間,當摩擦系數大于0.01時,在L形曲線內的區(qū)域存在著高渦動頻率的反向渦動響應。對應2種干摩擦反向渦動響應出現(xiàn)的2個最低的摩擦系數值,正是系統(tǒng)出現(xiàn)非線性耦合模態(tài)頻率所需的最小摩擦系數值,也是線性模態(tài)頻率曲線與非線性模態(tài)頻率曲線交點處的摩擦系數值。

4 結 論

本文建立了考慮定子的運動特性以及轉子與定子之間的交叉耦合效應的轉子/定子碰摩模型,求得了系統(tǒng)線性、非線性模態(tài)頻率的解析解。通過分析發(fā)現(xiàn),此系統(tǒng)存在2個負的線性模態(tài)頻率,而非線性模態(tài)頻率的數量與摩擦系數的大小有關:當摩擦系數較小時,只存在1個負的非線性模態(tài)頻率;當摩擦系數大于0.12之后,系統(tǒng)存在3個負的非線性模態(tài)頻率。系統(tǒng)的2個線性模態(tài)頻率都可以作為對應非線性模態(tài)頻率存在的約束邊界。

本文求得了轉子上存在交叉耦合剛度效應時系統(tǒng)的干摩擦反向渦動頻率。在選定的系統(tǒng)參數下,系統(tǒng)存在2個干摩擦反向渦動頻率,而系統(tǒng)的線性模態(tài)頻率就是干摩擦反向渦動頻率的上限值,這為干摩擦反向渦動頻率的初步估計提供了依據。與不考慮交叉耦合剛度效應的情況相比,交叉耦合剛度可以明顯抑制低頻的干摩擦反向渦動響應范圍。

本文還確定了干摩擦反向渦動響應的激勵速度邊界。此速度邊界對應的最小摩擦系數正是系統(tǒng)出現(xiàn)非線性模態(tài)頻率的摩擦系數,也是非線性模態(tài)與線性模態(tài)頻率交點處的摩擦系數。

[1] BARTHA A R. Dry friction backward whirl of rotors [D]. Zurich, Switzerland: Swiss Federal Institute of Technology Zurich, 2000.

[2] MUSZYNSKA A. Rotor-to-stationary element rub- related vibration phenomena in rotating machinery: literature survey [J]. Sound and Vibration Digest, 1989, 21(3): 3-11.

[3] SAGHEER A. Literature survey: rotor casing contact phenomenon in rotor dynamics [J]. Journal of Vibration and Control, 2010, 16(9): 1369-1377.

[4] 江俊, 陳艷華. 轉子與定子碰摩的非線性動力學研究 [J]. 力學進展, 2013, 43(1): 132-148. JIANG Jun, CHEN Yanhua. Advances in the research on nonlinear phenomena in rotor/stator rubbing systems [J]. Advances in Mechanics, 2013, 43(1): 132-148.

[5] JIANG J, ULBRICH H. Stability analysis of sliding whirl in a nonlinear Jeffcott rotor with cross-coupling stiffness coefficient [J]. Nonlinear Dynamics, 2001, 24(3): 269-283.

[6] CHU Fulei, ZHANG Zhengsong. Periodic, quasi-periodic and chaotic vibrations of a rub-impact rotor system supported on oil film bearings [J]. International Journal of Engineering Science, 1997, 35(10/11): 963-973.

[7] DAY W B. Asymptotic expansions in nonlinear rotordynamics [J]. Quarterly of Applied Mathematics, 1987, 44(4): 779-792.

[8] MUSZYNSKA A. Whirl and whip-rotor/bearing stability problems [J]. Journal of Sound and Vibration, 1986, 110(3): 443-462.

[9] JIANG Jun. The physical reason and the analytical condition for the onset of dry whip in rotor-to-stator contact systems [J]. ASME Journal of Vibration and Acoustics, 2005, 127(6): 594-603.

[10]JIANG Jun. The interplay of linear and nonlinear modes on the dynamics of a rotor/stator contact system [C]∥Proceedings of the 8th IFToMM International Conference on Rotordynamics. Seoul, Korea: KIST, 2010: 12-15.

[11]SHANG Zhiyong, JIANG Jun, HONG Ling. The influence of the cross-coupling effects on the dynamics of rotor/stator rubbing [M]∥Dynamical Systems, Discontinuity, Stochasticity and Time-Delay. Berlin, Germany: Springer, 2010: 121-132.

[12]BLACK H. Interaction of a whirling rotor with a vibrating stator across a clearance annulus [J]. Journal of Mechanical Engineering Science, 1968, 10(1): 1-12.

[13]WILKES J C, DYCK B J, CHILDS D W, et al. The numerical and experimental characteristics of multi-mode dry-friction whip and whirl [C]∥Proceedings of the ASME Turbo Expo 2009: Power for Land, Sea and Air GT2009. Orlando, Florida, USA: ASME, 2009: 8-12.

[14]JIANG Jun, WU Zhiqiang. Determine the characteristics of a self-excited oscillation in rotor/stator systems from the interaction of linear and nonlinear normal modes [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2010, 20(12): 4137-4150.

[15]CHEN Yanhua, JIANG Jun. Determination of nonlinear normal modes of a planar nonlinear system with a constraint condition [J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332: 5151-5161.

[16]JIANG Jun, SHANG Zhiyong, HONG Ling. Characteristics of dry fiction backward whirl: a self-excited oscillation in rotor-to-stator contact systems [J]. Science China: Technological Science, 2010, 53(3): 674-683.

(編輯 葛趙青)

DeterminationofNonlinearNormalModeswithApplicationstoPredictionofDryFrictionBackwardWhirlMotionofaRotor/StatorRubbingSystem

CHEN Yanhua,JIANG Jun

(State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To determine the nonlinear normal modes(NNMs) and investigate the influence of cross-coupling effect on the NNMs as well as the function of NNMs in predicting dry friction backward whirl response in rotor/stator rubbing systems, a four-degree freedom rotor/stator rubbing system with the consideration of dynamics of the stator and the cross-coupling effects is investigated. Linear and nonlinear normal modes of the system are derived analytically, and the relationship between the whirl frequency and the critical rotating speed of the dry-friction backward whirl is exploited. It is found that the system possesses two linear normal modes and its negative NNMs vary from one to three with the increasing friction coefficient on the contact surface; the linear modal frequencies work not only as the existence boundaries of NNMs, but also as the upper limits of the whirl frequencies of the dry-friction backward whirl motion. Moreover, the minimal friction coefficient for the existence of the nonlinear normal modes is just the minimal friction coefficients for occurrence of the dry friction backward whirl motion. The results may facilitate providing a new prospective method for response prediction in rotor/stator rubbing systems.

nonlinear normal mode; dry friction backward whirl motion; critical rotating speed; whirl frequency

10.7652/xjtuxb201405015

2013-09-21。 作者簡介: 陳艷華(1985—),男,博士生;江俊(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目: 國家自然科學基金資助項目(11172223)。

時間: 2014-03-05 網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20140305.1118.005.html

TM301.4;O327

:A

:0253-987X(2014)05-0082-07