秦 瑋

(重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

在以往的金融時(shí)間序列研究中，一般都假設(shè)資產(chǎn)收益率為正態(tài)分布，而越來越多的研究結(jié)果表明，實(shí)際的股票收益率具有尖峰厚尾現(xiàn)象以及非對(duì)稱性，正態(tài)分布并不能很好地刻畫收益率的特征，因此許多學(xué)者選用偏t分布或其他分布代替正態(tài)分布，得到較好的擬合效果.Barndorff-Nielsen[1]在給沙丘運(yùn)動(dòng)建模時(shí)引入廣義雙曲線分布，并于1995年成功應(yīng)用到金融領(lǐng)域中.Eberlein和Keller率先將雙曲線分布用于金融領(lǐng)域研究，Barndorff-Nielsen研究了廣義雙曲線分布的另一子分布正態(tài)逆高斯分布.事實(shí)上，偏t分布是廣義雙曲線分布的極限分布，Prause，Barndorff-Nielsen，Shepard，Demarta和Mcneil等都對(duì)其做了深入研究[2].

自Hurst發(fā)現(xiàn)水文時(shí)間序列具有長記憶性以來，大量研究表明，金融資產(chǎn)收益率也呈現(xiàn)長記憶特征.收益率序列的絕對(duì)值或它的冪自相關(guān)衰減得十分緩慢，相距較遠(yuǎn)的時(shí)間間隔仍然具有顯著的自相關(guān)性，表現(xiàn)為歷史事件會(huì)長期影響未來.股票收益率長記憶性的存在意味著以此為理論假設(shè)基礎(chǔ)的現(xiàn)代資本市場理論包括馬柯維茨的資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價(jià)模型、套利定價(jià)理論和Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在內(nèi)的許多模型，都將面臨嚴(yán)重的質(zhì)疑和挑戰(zhàn).

Andersen，Bollerslev，Diebold&Ebens研究發(fā)現(xiàn)，用ARMA模型難以準(zhǔn)確刻畫序列的長記憶性，提出用自回歸分整移動(dòng)平均(ARFIMA)模型，它能較好地對(duì)序列的長記憶性進(jìn)行刻畫.ARFIMA(p，d，q)允許對(duì)序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)d階差分，綜合考慮長記憶和短記憶過程，可用p+q個(gè)參數(shù)來描述短記憶過程，用參數(shù)d描述長記憶過程，比單純地使用ARMA模型強(qiáng).

將廣義雙曲線分布族與ARFIMA模型相結(jié)合，并在不同分布下對(duì)比ARFIMA模型的參數(shù)估計(jì)效果，還從時(shí)間和事件的角度分析了時(shí)間的劃分對(duì)長記憶效應(yīng)的影響.

1 廣義雙曲線分布簡介

1.1 廣義逆高斯分布

服從廣義逆高斯(GIG)分布的混合隨機(jī)變量與正態(tài)均值-方差變量相結(jié)合的變量服從廣義雙曲線(GH)分布.

定義1 如果一維非負(fù)的混合隨機(jī)變量W服從GIG分布，Z～Nk(0，Ik)，且W與Z獨(dú)立.令

(1)

其中，位置參數(shù)μ∈Rd，漂移參數(shù)γ∈Rd，結(jié)構(gòu)矩陣∑=AA′對(duì)稱、正定，A∈Rd×k，則X服從廣義雙曲線(GH)分布.

對(duì)于不同的GIG分布將產(chǎn)生不同的GH分布.

由式(1)知，當(dāng)混合變量W的方差存在時(shí)，則X的均值、協(xié)方差公式為

E(X)=μ+E(W)γ，COV(X)=E(W)∑+var(W)γγ′

(2)

一維的GIG分布的概率密度函數(shù)[2]為

(3)

1.2 廣義雙曲線分布密度

根據(jù)式(1)，由廣義逆高斯(GIG)分布W～GIG(λ，χ，ψ)和Z～Nk(0，Ik)，可推導(dǎo)出X的密度函數(shù)為

(4)

當(dāng)混合函數(shù)W具有有限方差時(shí)，GH分布的均值和協(xié)方差為

1.3 一類特殊情形的廣義雙曲線分布

GH分布含有參數(shù)λ，χ，ψ，μ，∑，γ，當(dāng)它們?nèi)√厥庵禃r(shí)，會(huì)得到不同形式的廣義雙曲線密度.常用于金融數(shù)據(jù)分析的分布有如下幾種.

2) 正態(tài)逆高斯分布.當(dāng)λ=-0.5時(shí)，GIG分布為逆高斯分布，對(duì)應(yīng)的GH分布是正態(tài)逆高斯(NIG)分布，其概率密度函數(shù)可表示為

(5)

3) 偏t分布.當(dāng)λ<0，ψ=0時(shí)，GIG轉(zhuǎn)換為逆伽瑪分布，逆伽瑪分布IG(α，β)概率密度函數(shù)為

(6)

伽瑪分布與逆伽瑪分布之間具有如下關(guān)系：

如果X～Gamma(α，β)，則X-1～I(xiàn)G(α，1/β).

當(dāng)λ<0，ψ=0時(shí)，GIG隨機(jī)變量X1～I(xiàn)G(-λ，χ/2).如果令λ=-v/2，χ=v，則逆伽瑪分布對(duì)應(yīng)的GH分布是偏t分布，v代表自由度.偏t分布的概率密度函數(shù)為

(7)

當(dāng)γ=0時(shí)，偏t分布為對(duì)稱t分布.服從偏t分布的隨機(jī)變量X的均值和協(xié)方差為

(8)

1.4 廣義誤差分布

均值為0，方差為1的廣義誤差分布(GED)概率密度函數(shù)為

(9)

λ≡[2-2/vΓ(1/v)Γ(3/v)]0.5

(10)

2 金融時(shí)間序列的長記憶性

2.1 時(shí)間序列的長記憶性定義

定義2 假設(shè)時(shí)間序列{xt}具有自相關(guān)函數(shù)ρτ，其中τ為滯后階數(shù).如果ρτ滿足條件

(11)

則稱{xt}為長記憶時(shí)間序列(Mcleaod和Hipel[3]).

定義3 如果平穩(wěn)時(shí)間序列{xt}的自相關(guān)函數(shù)ρτ依負(fù)冪指數(shù)率(雙曲率)τ-λ隨滯后階數(shù)τ的增大而緩慢下降，即

ρτ～Cτ2d-1，τ→∞

(12)

其中C表示常數(shù)，～表示收斂速度相同，d表示記憶性且2d-1=-λ，則稱{xt}為長記憶時(shí)間序列(Brockwell[4]).

2.2 時(shí)間序列長記憶性的檢驗(yàn)

(13)

其中，R(n)表示極差，即

(14)

S(n)表示標(biāo)準(zhǔn)差，即

(15)

可以證明

(16)

其中C為常數(shù)，H為Hurst指數(shù).由式(16)可得H的近似估計(jì)值為

(17)

2.3 分整自回歸移動(dòng)平均(ARFIMA)模型

ARFIMA模型由Granger和Joyeux(1980)[5]提出，是基于分?jǐn)?shù)差分噪聲(FDN)模型與自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型相結(jié)合的產(chǎn)物.設(shè){yt}，t=1，2，…，T為可觀測樣本序列，則ARFIMA(p，d，q)模型表述如下

φ(L)(1-L)d(yt-μ)=θ(L)εt

(18)

其中，{εt}是白噪聲序列，L是滯后算子，滯后多項(xiàng)式算子φ(L)=1-φ1L-…-φpLp和θ(L)=1-θ1L-…-θqLq的特征根都在單位圓外，且|d|<0.5時(shí)，yt平穩(wěn)且可逆；0

圖2 收益率時(shí)間序列

3 實(shí)證分析

3.1 樣本數(shù)據(jù)的選取

由滬市和深市過去的指數(shù)波動(dòng)分析可知，兩者具有較大的相關(guān)性.滬市開市早、市值高，具有對(duì)外部沖擊反應(yīng)較敏感的特征，對(duì)深市具有一定的“溢出效應(yīng)”，同時(shí)，上證指數(shù)與其他股票均具有極高的相關(guān)性和代表性.因此，此處選擇上證指數(shù)作為研究樣本.另外，在我國股票上市初期，進(jìn)入流動(dòng)的股票數(shù)量少，同時(shí)證券市場交易制度與監(jiān)管制度也不完善，股票質(zhì)量不高，股市呈現(xiàn)一定的大幅波動(dòng)的現(xiàn)象，而在1997年后則呈現(xiàn)出平穩(wěn)狀態(tài).此處選取1998年1月5日到2013年4月15日上證指數(shù)日收盤價(jià)格指數(shù)(數(shù)據(jù)源自華西證券http：//www.hx168.com.cn/hxzq/index.jsp)，樣本總量為3 694個(gè).將股票日收益率定義為yt=100*(lnpt-lnpt-1).收盤價(jià)時(shí)間序列如圖1，收益率時(shí)間序列如圖2.

3.2 樣本數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計(jì)

首先對(duì)上證指數(shù)收益率序列進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)和正態(tài)性W檢驗(yàn)(表1)，認(rèn)為樣本不是來自正態(tài)分布的總體.收益率的密度估計(jì)曲線和正態(tài)分布密度曲線的對(duì)比圖也可以看出樣本不服從正態(tài)分布(圖3).

表1 數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計(jì)和正態(tài)性W檢驗(yàn)

3.3 長記憶性檢驗(yàn)及結(jié)果分析

根據(jù)AIC信息準(zhǔn)則，均選用ARFIMA(1，d，1)模型.表2為各分布下ARFIMA(1，d，1)模型的估計(jì)結(jié)果.可以看出，正態(tài)分布下的模型估計(jì)效果不如其他模型，其長記憶性也并不顯著.其他6種分布下的模型估計(jì)出的參數(shù)相差不大，象征長記憶性的d值均在0.23左右，屬于0至0.5的區(qū)間內(nèi)，p值也在99%的置信水平下顯著，表明收益率序列具有長記憶性.通過各種分布的對(duì)比，顯示出有偏分布下的模型估計(jì)效果都比對(duì)稱分布下的模型估計(jì)效果要好，說明收益率序列的確具有尖峰厚尾性和非對(duì)稱的效應(yīng).

表2 收益率序列在7種分布下ARFIMA(1，d，1)模型的估計(jì)結(jié)果

注：括號(hào)里的值為參數(shù)估計(jì)的p-value值.

圖3 收益率的密度估計(jì)曲線與正態(tài)分布密度曲線

3.4 時(shí)間和事件對(duì)長記憶檢驗(yàn)的影響

金融市場價(jià)格之所以波動(dòng)，是因?yàn)樗鞘袌龈鞣矫嫦嗷ゲ┺牡慕Y(jié)果，因此事件尤其是重大事件必然會(huì)對(duì)金融市場產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響.因此此處從時(shí)間和事件兩個(gè)角度進(jìn)行對(duì)比研究.

自2001年2月19日證監(jiān)會(huì)作出對(duì)國內(nèi)投資者開放B股市場以及同年6月12日國務(wù)院發(fā)布《減持國有股籌集社會(huì)保障金管理暫行辦法》后，滬深股市一直低迷不振，進(jìn)入熊市[7]，2005年6月6日，上證指數(shù)跌破1 000點(diǎn)大關(guān)，隨后股市開始單邊上漲，進(jìn)入牛市，2007年10月16日，上證指數(shù)達(dá)到開市以來最高點(diǎn)6 124點(diǎn).而后，受到金融風(fēng)暴等因素的影響，自2008年暴跌后，股市又呈現(xiàn)頹靡的熊市.因此將上證指數(shù)數(shù)據(jù)劃分為3個(gè)序列，序列1的時(shí)間跨度為2001年6月13日至2005年6月5日，共957個(gè)數(shù)據(jù)；序列2的時(shí)間跨度為2005年6月6日至2009年5月5日，共954個(gè)數(shù)據(jù)；第3個(gè)序列的時(shí)間跨度從2009年5月6日至2013年4月15日，共958個(gè)數(shù)據(jù).選用的模型為在偏學(xué)生t分布下的ARFIMA(1，d，1)模型，結(jié)果見表3.

表3 3個(gè)序列在偏學(xué)生t分布下的ARFIMA(1，d，1)模型的估計(jì)結(jié)果

注：括號(hào)里的值為參數(shù)估計(jì)的p-value值.

雖然表3中結(jié)果沒有表2數(shù)據(jù)的結(jié)果理想，長記憶性沒有那么顯著，但依然表明不同時(shí)間劃分下不同時(shí)間段的長記憶效應(yīng)不同.序列1的d值幾乎為0，有理由相信這一時(shí)間段沒有長記憶性.序列2的d值也很小，僅為0.025 517，說明序列2的長記憶性也不明顯.相對(duì)來說，序列3的長記憶性比序列1和2的長記憶性稍稍顯著一些，但也不如上一組數(shù)據(jù)，即1998年1月5日到2013年4月15日這一時(shí)間段的收益率序列的長記憶性明顯.

4 結(jié) 論

采用上證指數(shù)作為樣本建立了廣義雙曲線分布簇下的ARFIMA模型，實(shí)證分析結(jié)果表明上證指數(shù)收益率序列具有尖峰厚尾性和非對(duì)稱效應(yīng)的長記憶特征.針對(duì)不同分布的計(jì)算結(jié)果比較，表明有偏分布更適合用來擬合上證指數(shù)收益率.由于事件的發(fā)生對(duì)上證指數(shù)有一定的影響，因此，時(shí)間段的選取是一個(gè)重要的因素，不同時(shí)間段的收益率序列的長記憶效應(yīng)是不同的.另外，將劃分前后不同時(shí)間跨度的時(shí)間序列相比較，可以發(fā)現(xiàn)時(shí)間跨度短的時(shí)間序列的長記憶性不如時(shí)間跨度長的時(shí)間序列顯著，但也并不能說明時(shí)間越長，長記憶效應(yīng)越顯著.

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