景慧麗， 楊寶珍， 劉 華， 屈 娜

(第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710025)

不等式的證明是高等數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，由于不等式的證明沒(méi)有固定模式，證明方法因題而異，靈活多變[1，2]，所以，不等式的證明也是學(xué)員感到最困惑的問(wèn)題之一.就某校期末考試題中的一道不等式的證明進(jìn)行探討，提出3種證明方法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維.

證法1 利用泰勒(Taylor)公式證明

從而有

(1)

(2)

式(1)(2)相加得

所以

因此

f″(ξ1)+f″(ξ2)>0

取f ″(ξ)=max{f ″(ξ1)，f ″(ξ2)}，顯然ξ∈(0，1)，且滿(mǎn)足f ″(ξ)>0.

注1 一般地，含有二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)的不等式，常用帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式來(lái)證明.

注2 要利用泰勒公式來(lái)證明不等式，就要對(duì)函數(shù)f(x)在一點(diǎn)x0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，這就需要恰當(dāng)?shù)剡x擇x0.選擇x0沒(méi)有一般規(guī)律可循，但通常選用區(qū)間的端點(diǎn)、中間點(diǎn)、函數(shù)的極值點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或信息給的比較多的點(diǎn)(如函數(shù)在該的值或一階導(dǎo)數(shù)的值已給出等)等特殊點(diǎn)作為x0[1].

上述證明方法不正確的原因是：題目中只說(shuō)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，即只說(shuō)明f ″(x)存在，沒(méi)說(shuō)明f ″(x)在[0，1]上連續(xù)，所以不能用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理和介值定理.只有當(dāng)函數(shù)滿(mǎn)足在閉區(qū)間上連續(xù)時(shí)才存在最值定理和介值定理.若題目中只給出閉區(qū)間，沒(méi)說(shuō)明函數(shù)連續(xù)；或只給出函數(shù)連續(xù)，而不是閉區(qū)間，則函數(shù)未必存在最值.所以應(yīng)用定理時(shí)一定要滿(mǎn)足定理成立的條件，而不能隨心所欲.

證法2 利用拉格朗日(Lagrange)中值定理證明.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上二階可導(dǎo)，所以f ′(x)在[ξ1，ξ2]?[0，1]上也滿(mǎn)足拉格朗日中值定理的條件，由拉格朗日中值定理知至少存在一點(diǎn)ξ∈(ξ1，ξ2)?(0，1)，使得

注4 方法2是對(duì)函數(shù)f(x)及f ′(x)分別利用拉格朗日中值定理證明的，實(shí)際上，拉格朗日中值定理是泰勒中值定理的特殊情形，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.因此，可以說(shuō)方法2本質(zhì)上用的也是泰勒公式.

證法3 利用反證法證明.

假設(shè)不存在ξ∈(0，1)，使f ″(ξ)>0，那么對(duì)任意的x∈(0，1)，都有f ″(x)≤0.下面分3種情況討論：

情況1 若f ″(x)≡0，則f ′(x)≡C，其中C為某個(gè)常數(shù).

情況2 若f ″(x)<0，則f ′(x)單調(diào)遞減.

情況3 若對(duì)區(qū)間(0，1)中的x，既有滿(mǎn)足f ″(x)=0的點(diǎn)，也有滿(mǎn)足f ″(x)<0的點(diǎn)，則f ′(x)在單區(qū)間(0，1)中單調(diào)不增.

顯然這與情況1，2及3都矛盾，故假設(shè)不成立，因此原結(jié)論成立.

注5 盡管方法3用的反證法，但其關(guān)鍵和核心是用拉格朗日中值定理來(lái)否定假設(shè)的.

注6 反證法其獨(dú)特的證題方法和思維方式對(duì)培養(yǎng)學(xué)員邏輯思維能力(特別是逆向思維能力)和創(chuàng)造性思維能力有著重大的意義，是鍛煉學(xué)員思維的多樣性、敏捷性、靈活性的極好素材.

由上述證明可以看出，對(duì)一道題目的解法往往有不同的思路，知識(shí)點(diǎn)之間表面上看是相互獨(dú)立的，實(shí)際上它們具有一定的聯(lián)系. 其實(shí)，高等數(shù)學(xué)課程中許多知識(shí)體系都是相關(guān)聯(lián)的，在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教員應(yīng)堅(jiān)持經(jīng)常性地向?qū)W員灌輸知識(shí)體系中的相互關(guān)系，使學(xué)員體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生和過(guò)程的發(fā)展，深刻理解和掌握數(shù)學(xué)的基本思想和方法，從而提高學(xué)員的學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)知識(shí)的理解.

總之，高等數(shù)學(xué)課程中很多題目都可以用多種思路和方法來(lái)求，教員在應(yīng)用這類(lèi)一題多解的題目組織教學(xué)時(shí)，必須以學(xué)員為本，鼓勵(lì)學(xué)員積極參與教學(xué)活動(dòng)，敢于標(biāo)新立異，勇于提出問(wèn)題，開(kāi)展交流和討論，這樣才有利于學(xué)員突破思維的局限性，培養(yǎng)學(xué)員的發(fā)散思維和綜合能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳忠祥.工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)教學(xué)輔導(dǎo)書(shū)(上)[M].北京：高等教育出版社，2006

[2] 曾靜.不等式證明的三種方法[J].重慶工商大學(xué)：自然科學(xué)版，2013，30(7)：16-18