陳暉 沈明

(1.福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108;2.福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108)

微縫隙流動(dòng)廣泛存在于流體動(dòng)力系統(tǒng)、微納機(jī)電系統(tǒng)、薄膜流體潤滑和高端集成電路(IC)裝備［1］等領(lǐng)域中，在壓力和流量等參數(shù)的控制方面發(fā)揮著重要作用［2-3］.當(dāng)液膜縫隙厚度為微納尺度時(shí)，表面效應(yīng)愈加明顯，其內(nèi)部流動(dòng)規(guī)律將明顯區(qū)別于宏觀流體流動(dòng)，其中一個(gè)突出的特征是液固交界處的邊界滑移［4］.

實(shí)驗(yàn)顯示微納尺度下滑移長度從幾納米到幾十微米不等，邊界滑移對流動(dòng)特性的影響顯著［5-6］.邊界滑移受到眾多因素的影響，其中一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)是界面的親疏液性質(zhì).在超疏液界面下，固體表面分子與液體分子間的吸引力很容易被流體流動(dòng)所帶來的剪切率平衡，易在固體表面形成速度滑移［7］;其主要原因是在疏液固體表面存在微納氣層，液體在其上面實(shí)現(xiàn)近自由剪切流動(dòng);通過界面微納結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，提升固液界面的微氣體比例，則可實(shí)現(xiàn)大尺度的滑移［8］.對于親液性界面，由于其表面較強(qiáng)的殘余化學(xué)鍵，表現(xiàn)出高的表面能，對流體分子具有較強(qiáng)的吸附力，一般很難產(chǎn)生滑移，甚至?xí)a(chǎn)生抑制液體流動(dòng)的負(fù)滑移現(xiàn)象［9-11］.

滑移流動(dòng)目前仍未有一個(gè)公認(rèn)的物理機(jī)制和模型［12-14］，對于它的研究常伴隨著新現(xiàn)象和新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，尤其是在親液和疏液復(fù)合界面下的微流動(dòng)研究中.如通過對納米水膜的試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)水膜位于親水壁面和疏水壁面之間時(shí)，即便下方疏水壁面運(yùn)動(dòng)速度非常快，上方親水壁面對水膜仍有著非常強(qiáng)且穩(wěn)定的束縛，這是一個(gè)有趣的現(xiàn)象［15］.

文中圍繞著微納尺度下典型的平板縫隙剪切流，建立基于Navier 滑移的二維微流動(dòng)精確解模型，在此基礎(chǔ)上結(jié)合文獻(xiàn)中試驗(yàn)測量所得的滑移參數(shù)值，研究親液和疏液復(fù)合界面內(nèi)的瞬態(tài)滑移流動(dòng)行為，以及壁面性質(zhì)對微縫隙流動(dòng)的作用規(guī)律.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 微縫隙剪切流的控制方程與邊界條件

微縫隙流動(dòng)主要受到進(jìn)出口壓差和壁面剪切作用，對于主要為層流的微納流動(dòng)，在此基礎(chǔ)上將形成相互獨(dú)立的壓差流和剪切流.

壓差流充分發(fā)展后的流動(dòng)速度場呈拋物線分布，流動(dòng)形式穩(wěn)定.剪切流動(dòng)受壁面運(yùn)動(dòng)影響強(qiáng)烈，并伴隨時(shí)間發(fā)生瞬時(shí)變化，因此研究瞬態(tài)剪切滑移流動(dòng)對全面獲知微縫隙的內(nèi)部流動(dòng)規(guī)律十分必要.

設(shè)縫隙微流動(dòng)為層流且不可壓縮，忽略進(jìn)出口壓差和重力的影響，則二維微縫隙流動(dòng)的控制方程為

式中，u 為液體的流動(dòng)速度，μ 為液體的動(dòng)力黏度，t為微縫隙壁面的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，y 為液體質(zhì)點(diǎn)與縫隙下壁面的距離.

由式(1)可知，除液體性質(zhì)μ 和微縫隙厚度h之外，微縫隙流動(dòng)的速度u 還受到壁面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及性質(zhì)的影響.

由于微縫隙流動(dòng)的壁面剪切率普遍低且沿壁面分布處處相等，與粘性剪應(yīng)率和滑移系數(shù)成正比的Navier 滑移模型［16］在該狀態(tài)下模型簡單可靠，因此采用該模型描述界面滑移現(xiàn)象，其基本形式為

式中:W 為壁面邊界;b 為滑移長度，該值反映壁面材料屬性并由試驗(yàn)測定.

壁面親疏液性質(zhì)對于滑移的影響主要通過滑移長度b 的大小描述.滑移長度為正且其值大意味著液固界面的滑移強(qiáng)度大;滑移長度若為負(fù)值(即負(fù)滑移)則表明在距離該壁面一定范圍內(nèi)存在靜止的液體層.

基于Navier 滑移模型的微縫隙剪切流原理如圖1 所示.以靜止上壁面處的滑移流動(dòng)為例，假設(shè)無滑移速度位于離實(shí)際固壁上方距離為b2的位置(即該處的速度u'為零)，同時(shí)認(rèn)為上壁面處的液體流速與當(dāng)?shù)鼐植繎?yīng)變率成正比，由此描述壁面處具有一定流動(dòng)速度u(t，h)的滑移現(xiàn)象，而經(jīng)典無滑移認(rèn)為該位置的液體速度為零.定義下壁面運(yùn)動(dòng)速度V 的最大值為U，在Navier 滑移模型中，在距離運(yùn)動(dòng)壁面下方b1的位置處的速度u'等于壁面最大運(yùn)動(dòng)速度U.

圖1 基于Navier 滑移的縫隙流模型Fig.1 Gap-flow model with Navier slip condition

為研究壁面性質(zhì)對微流動(dòng)的影響規(guī)律，基于Navier 滑移模型建立微縫隙剪切滑移流動(dòng)的初邊界條件:

式中，b1為下壁面的滑移長度，b2為上壁面的滑移長度，h 為微縫隙的厚度.

1.2 剪切微流動(dòng)的精確解建模

由于初邊界問題(1)和(3)具有非齊次的第3類邊界條件，直接求解十分困難.為將其轉(zhuǎn)化為齊次邊界求解，令

將方程(4)代入初邊界問題(1)和(3)得

利用疊加原理，將方程(5)分解為

和

并且有

利用分離變量法和齊次化原理，求得w1和w2.結(jié)合方程(4)和(8)，得復(fù)合滑移下的微縫隙速度場的精確解為

其中，

式中，βn(n=1，2，3，…)為式(13)的可列無窮多個(gè)正解，利用數(shù)值求解法可得其滿足βn＜βn+1.

根據(jù)方程的解(9)－(13)和級數(shù)理論可知u(t，y)是收斂的.n=500 時(shí)的u(t，y)比n=499 的增量小于10－8，結(jié)果變化微小，可近似認(rèn)為解已收斂.因此，文中取n=500 進(jìn)行求解分析.

2 結(jié)果與分析

試驗(yàn)顯示不同疏液性表面的滑移長度差異大.Tretheway 等［17］采用Micro-PIV 對特征尺寸為30 μm的流動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行測定，所得滑移長度約為1 μm;Chang 等［6］利用流變儀測定端面間隙為53 μm 的系統(tǒng)，以水為介質(zhì)時(shí)的最大滑移長度為20 μm.因此，文中的滑移長度b1、b2選取為縫隙厚度h 的正負(fù)0.01～0.30 倍.

區(qū)別于疏液表面的正滑移，親液性表面由于液體分子吸附力而呈現(xiàn)出負(fù)滑移現(xiàn)象，但滑移長度僅為幾納米［9］.因此，所分析具有親液壁面的微縫隙厚度取納米級.此外，為便于分析，取純水為液體介質(zhì)，縫隙運(yùn)動(dòng)壁面的速度為0.5 m/s，流場厚度h 為10～105nm，滑移長度b1、b2取±(0.01h～0.30h)，壁面運(yùn)動(dòng)速度V 為0.5 m/s，時(shí)間t 為0.0～0.1 s.

2.1 模型的可靠性驗(yàn)證

為驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的可靠性，基于Fluent 軟件建立二維非定常計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)模型(CFD)進(jìn)行對比分析.在CFD 模型中，將入口和出口處網(wǎng)格進(jìn)行鏈接并建立周期性邊界條件，由此消除進(jìn)出口壓差帶來的影響;在此基礎(chǔ)上，編寫基于Navier 滑移的udf程序組，將其作為邊界條件分別加載到微縫隙流場的上下壁面中.此外，設(shè)置縫隙厚度方向的網(wǎng)格為100 層，以更加準(zhǔn)確地獲取微縫隙的滑移流動(dòng)規(guī)律.

在典型流場厚度(h=100 μm)和兩壁面具有相同滑移強(qiáng)度(滑移長度均為b1=b2=0.1h)的狀態(tài)下，伴隨下壁面以V=0.5 m/s 的速度運(yùn)動(dòng)，縫隙中心流場(y=0.5h)的流速變化規(guī)律如圖2 所示.圖中，u(t，0.5h)/V 為流場中心的無量綱液體流速.

圖2 CFD 仿真與數(shù)學(xué)模型的瞬態(tài)結(jié)果對比Fig.2 Comparison of unsteady results of CFD simulation and mathematical model

結(jié)果顯示，CFD 仿真與數(shù)學(xué)模型的計(jì)算結(jié)果一致.伴隨下壁面的運(yùn)動(dòng)，粘性牽拉作用使中心流場的速度迅速提升并趨向于恒定值，這種現(xiàn)象在無滑移剪切流中同樣存在［15］.上下壁面的滑移強(qiáng)度一致導(dǎo)致兩壁面的滑移作用相互抵消，使中心流場的穩(wěn)定流速u(t，0.5h)等于壁面運(yùn)動(dòng)速度V 的一半.

值得注意的是，在這種縫隙較大情況下，流速穩(wěn)定的過程仍然迅速(＜0.01 s).對于尺度更小的微納縫隙，壁面運(yùn)動(dòng)影響的增強(qiáng)將使流速穩(wěn)定時(shí)間進(jìn)一步縮短.因此，為便于研究，后面主要圍繞穩(wěn)定狀態(tài)(取壁面運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0.1 s)利用該精確解模型研究微尺度下的滑移流動(dòng)規(guī)律.

2.2 親疏液復(fù)合滑移的微流動(dòng)特性

界面滑移主要分為疏液正滑移和親液負(fù)滑移兩種類型，當(dāng)微縫隙中同時(shí)存在親液壁面和疏液壁面時(shí)，流動(dòng)更加復(fù)雜.由于親液負(fù)滑移的作用范圍為納米尺度，所以該問題的研究對象取厚度為10 nm 的微縫隙.

對于下壁面為疏液正滑移(b1＞0)、上壁面為親液負(fù)滑移(b2＜0)的工況，其液體流速和水分子分布狀態(tài)如圖3 所示.圖中，u/V 為無量綱的液體流速，y/h 為液體質(zhì)點(diǎn)與下壁面的無量綱距離.親液上壁面因負(fù)滑移作用形成具有與上壁面同處于靜止?fàn)顟B(tài)的液體止滯層.在疏液下壁面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，增大上壁面負(fù)滑移長度將明顯放大止滯層的厚度，當(dāng)下壁面為疏液正滑移時(shí)這種效應(yīng)將進(jìn)一步增強(qiáng)，因此使微縫隙中部以上的液體均處于靜止?fàn)顟B(tài).

圖3 下疏上親型微縫隙的典型流速分布Fig.3 Typical velocity distribution of micro-gap flow with hydrophilic bottom-wall and hydrophobic upper-wall

由此可見，親液上壁面將呈現(xiàn)出對微液體的強(qiáng)附著力，若進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)微縫隙的超親液和超疏液壁面復(fù)合，則在邊界快速運(yùn)動(dòng)下仍可有效束縛液體，這與試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在納米親疏水運(yùn)動(dòng)壁面中存在液體強(qiáng)束縛力的現(xiàn)象［15］相吻合.

從圖3 中還可以看到，在同類壁面性質(zhì)下，微縫隙流場呈近似線性分布.這說明壁面運(yùn)動(dòng)引起的微縫隙粘性剪切流達(dá)了到牛頓粘性定律的穩(wěn)定狀態(tài)，即線性流場分布.相比無滑移狀態(tài)時(shí)呈45°斜率的穩(wěn)定流速分布(即Couette 流)，該狀態(tài)近運(yùn)動(dòng)壁面的流速變化更迅速.

對具有相反滑移性質(zhì)的流場，即下壁面為親液負(fù)滑移、上壁面為疏液正滑移的情況，典型結(jié)果如圖4所示.

圖4 下親上疏型微縫隙的典型流速分布Fig.4 Typical velocity distribution of micro-gap flow with hydrophobic bottom-wall and hydrophilic upper-wall

相比較于前者，在相同滑移長度下，疏液壁面的滑移速度近似相等，但下壁面親液負(fù)滑移時(shí)液體的止滯層厚度縮小60%，液固界面對液體的束縛力明顯減弱.究其原理，主要是由于壁面運(yùn)動(dòng)增強(qiáng)了壁面及附近液體分子間的粘性剪切作用，從而削弱了液固界面對水分子的吸引力，由此降低了負(fù)滑移帶來的影響.

2.3 變強(qiáng)度復(fù)合滑移的微流動(dòng)特性

相同滑移類型、不同滑移強(qiáng)度是復(fù)合滑移界面的另一種典型形式.對于上下均為親液型壁面的復(fù)合滑移，其典型微流動(dòng)如圖5 所示.

圖5 親液復(fù)合型微縫隙的典型流速分布Fig.5 Typical velocity distribution of micro-gap flow with complicated hydrophilic walls

流場內(nèi)部存在兩個(gè)負(fù)滑移區(qū)域，其內(nèi)的液體相對壁面靜止.增大滑移長度時(shí)，上壁面處液體的止滯區(qū)明顯.對比圖中3 中的親疏液復(fù)合滑移，該類型下壁面的負(fù)滑移使運(yùn)動(dòng)壁面影響獲得增強(qiáng)，從而導(dǎo)致微縫隙上方的液體止滯區(qū)縮小.值得注意的是，當(dāng)壁面負(fù)滑移長度較大(b1=b2=－0.3h)時(shí)，液體的流速變化區(qū)僅為微縫隙厚度的三分之一，這將形成強(qiáng)大的流動(dòng)阻力從而抑制液體更新，因此在納米流動(dòng)中需給予充分的重視.

區(qū)別于親液型微縫隙，疏液滑移作用范圍較大，取典型10μm 厚度的微縫隙為研究對象.在壁面均為正滑移的狀態(tài)下，其流動(dòng)特性如圖6 所示.

圖6 疏液復(fù)合型微縫隙的典型流速分布Fig.6 Typical velocity distribution of micro-gap flow with complicated hydrophobic walls

從圖中分析可知，疏液型復(fù)合界面下，同滑移長度不同壁面的滑移流速近似相等.如滑移長度b1=b2=0.1h 的情況，兩個(gè)壁面的無量綱滑移流速均為0.083，即兩壁面性質(zhì)對滑移流動(dòng)影響相同.實(shí)際工況下，若需要進(jìn)行流動(dòng)優(yōu)化，可根據(jù)需求選取易處理的表面進(jìn)行界面改性.

3 結(jié)論

結(jié)合界面滑移特性對微流動(dòng)的影響規(guī)律，文中建立了親疏液復(fù)合壁面下微縫隙剪切流的精確解模型，在CFD 建模驗(yàn)證其可靠性的基礎(chǔ)上，利用該模型得到以下結(jié)論:

(1)帶滑移邊界的微縫隙流動(dòng)在壁面(0.5 m/s)運(yùn)動(dòng)下，其流場存在一個(gè)發(fā)展過程，并迅速趨向于穩(wěn)定狀態(tài);對于厚度為100 μm 的微縫隙，該穩(wěn)定過程的時(shí)間為0.01 s.這表明對具有滑移行為的微縫隙流動(dòng)，可以直接采用穩(wěn)態(tài)模型進(jìn)行分析.

(2)在納米尺度下，滑移長度大的靜止親液壁呈現(xiàn)出強(qiáng)的液體附著力;若此時(shí)對應(yīng)運(yùn)動(dòng)壁面為疏液狀態(tài)，該效應(yīng)將進(jìn)一步增強(qiáng).然而，當(dāng)運(yùn)動(dòng)壁面為親液、靜止壁面為疏液時(shí)，親液壁面的液體附著力減小，液體相對壁面靜止的區(qū)域明顯縮小.這說明對于有強(qiáng)附著力要求的場合，增強(qiáng)靜止壁面的負(fù)滑移強(qiáng)度十分必要;反之對于低流阻要求場合則需要充分降低該類滑移的強(qiáng)度.

(3)疏液壁面性質(zhì)對流場的作用受壁面運(yùn)動(dòng)影響小，尤其當(dāng)微縫隙靜止和運(yùn)動(dòng)壁面均為疏液狀態(tài)時(shí)，兩壁面性質(zhì)對滑移流動(dòng)的影響近似相同.因此，若需要改變該滑移類型的微流動(dòng)狀態(tài)，可選擇易于表面改性的靜止(或運(yùn)動(dòng))壁面進(jìn)行界面處理.

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