張佳華 楊小禮 張標(biāo) 許敬叔 楊子漢

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

由于受地形條件或者經(jīng)濟成本的限制以及避免生態(tài)環(huán)境被破壞等原因，山嶺隧道通常沿河傍山修建，則淺埋和偏壓成為了影響隧道工程安全的重要因素.隧道埋深較淺則圍巖的自穩(wěn)能力較差，地形不對稱就會引起隧道支護結(jié)構(gòu)受力不對稱而形成偏壓，這兩種情況通常都會造成重大的工程安全事故［1-2］.因此，對淺埋偏壓隧道穩(wěn)定性的研究具有非常重要的科研價值和現(xiàn)實意義.

而關(guān)于淺埋偏壓隧道的穩(wěn)定性問題，基于理論分析的研究成果大多數(shù)都是采用極限平衡法，即鐵路隧道設(shè)計規(guī)范或者公路隧道設(shè)計規(guī)范等［3-4］.如:楊小禮等［5］采用極限平衡法研究了水平地震力對淺埋偏壓隧道圍巖穩(wěn)定性的影響，并且求出了圍巖壓力和破裂角的解析解，有力地對公路隧道設(shè)計規(guī)范進行了完善和補充.安永林［6］采用公路隧道設(shè)計規(guī)范中淺埋偏壓隧道圍巖壓力的公式，研究了地表傾角、隧道埋深以及圍巖參數(shù)等對圍巖壓力和破裂角的影響.Yang 等［7-8］采用極限平衡法推導(dǎo)出三孔淺埋偏壓隧道圍巖壓力的解析解，并且分析了凈距對水平方向圍巖壓力和豎直方向圍巖壓力的影響.

雖然極限平衡法在隧道工程中得到了推廣和應(yīng)用，而且優(yōu)勢也比較明顯，但是仍然存在很多不足，尤其是在計算過程中忽略了土體應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系.而極限分析法卻正好彌補了這個缺點，它用一種理想的方式考慮了土體的本構(gòu)關(guān)系，即流動法則，從而在計算中能夠得到更準(zhǔn)確的解［9］.所以，目前國內(nèi)外的一部分學(xué)者都開始采用極限分析法來研究淺埋隧道的穩(wěn)定性.Atkinson 等［10］基于假定的破壞模式采用極限分析法推導(dǎo)了淺埋隧道支護力的解析解.Davis 等［11］假定了淺埋隧道的4 種破壞模式，并且利用極限分析法研究了隧道圍巖的穩(wěn)定性.楊峰等［12］提出了淺埋隧道的兩種平動破壞模式，并且運用極限分析法求解了圍巖壓力的上限解.

但是，上述研究都只是針對淺埋隧道，對于淺埋偏壓隧道，絕大多數(shù)研究都還是基于極限平衡理論.換言之，即采用極限分析法對淺埋偏壓隧道進行的研究非常少.所以，為了更準(zhǔn)確地得到淺埋偏壓隧道的解析解，更真實地了解淺埋偏壓隧道的穩(wěn)定性，文中基于非線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則，采用極限分析法對淺埋偏壓隧道穩(wěn)定性系數(shù)、支護力的大小以及破壞面的位置進行研究，為今后淺埋偏壓隧道的支護設(shè)計提供理論依據(jù)和參考價值.

1 定義與定理

1.1 非線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則

國內(nèi)外眾多研究表明，土體破壞時剪應(yīng)力和正應(yīng)力呈非線性關(guān)系，線性關(guān)系僅僅是其中一個特例.在應(yīng)力空間σn-τ 中，非線性Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則可表述為

式中:τ 為剪應(yīng)力;σn為正應(yīng)力;c0為初始粘聚力;σt為軸向拉應(yīng)力;m 為非線性系數(shù)，且m=1 時，剪應(yīng)力與正應(yīng)力的非線性關(guān)系就退化成了線性關(guān)系.

在應(yīng)力空間σn-τ 中，非線性破壞準(zhǔn)則表現(xiàn)為一條曲線，如果作一條直線與該曲線相切，則切線的表達式為

式中，ct、tan φt分別表示切線的截距與斜率.

由式(1)和式(2)可得非線性破壞準(zhǔn)則下土體參數(shù)的表達式:

在應(yīng)力空間σn-τ 中，當(dāng)橫坐標(biāo)一定時，切線上的縱坐標(biāo)始終大于或者等于曲線上的縱坐標(biāo)，故采用式(3)所計算出的解必定是真實值的一個上限解［13-17］.

1.2 上限定理

對于極限分析上限定理，Chen［9］認為，在運動許可的速度場中，根據(jù)外力做的功率與內(nèi)部能量耗散功率相等所確定的荷載一定不小于破壞狀態(tài)下的真實荷載，其表達式為

式中:Fi為極限狀態(tài)下的荷載;為速度矢量;S 為破壞面長度;A 為塑性區(qū)面積;γi為土體容重;σij和分別為土體的應(yīng)力與應(yīng)變;τ、σn分別為破壞面上的剪應(yīng)力與正應(yīng)力.

2 破壞模式

運用極限分析上限定理來研究淺埋偏壓隧道的穩(wěn)定性，必須先構(gòu)建合適的破壞模式.針對不排水黏土層(φ=0°)，Davis 等［11］構(gòu)建了淺埋隧道的4 種破壞模式，并且對這4 種破壞模式進行了對比和分析.文中選取其中一種較優(yōu)的破壞模式，結(jié)合實際工程情況得到了一般巖土材料(c-φ 材料)的破壞模式，并且將其應(yīng)用于淺埋偏壓隧道中，則淺埋偏壓隧道的破壞模式和速度場如圖1 所示.此外，在淺埋偏壓隧道的破壞模式中，為了體現(xiàn)出淺埋、偏壓的特點，破壞面延伸至地表，而且決定破壞面位置的破裂角不相等，即θ1≠θ2，則2θ1與2θ2所對應(yīng)的邊墻長度也不相等，圍巖壓力σT假設(shè)為徑向均布荷載，故左右兩邊墻上圍巖壓力的合力也不相等.換言之，左右兩邊墻的合力不相等體現(xiàn)了偏壓對圍巖壓力的影響，而破裂角不相等則體現(xiàn)了偏壓對破壞面的影響.

圖1 淺埋偏壓隧道的破壞模式和速度場Fig.1 Collapse mechanism and velocity field of shallow bias tunnel

3 計算過程

把淺埋偏壓隧道的破壞模式看作平面應(yīng)變二維問題來進行處理時，根據(jù)極限分析上限定理的要求，在計算中還做了以下假設(shè):①圍巖(土體)服從相關(guān)聯(lián)流動規(guī)則;②在破壞過程中滑塊體積不變.

3.1 速度

圍巖(土體)服從非線性破壞準(zhǔn)則和相關(guān)聯(lián)流動規(guī)則，則在破壞模式中速度與間斷線之間的夾角為φt;在運動許可的速度場中，速度又滿足閉合條件，如圖1(b)所示，則破壞模式中的各項速度分別為

3.2 外力做的功率和內(nèi)部能量耗散功率

在淺埋偏壓隧道中，外力做的功率有土重做的功率Pγ、地表荷載做的功率Ps、孔隙水壓力做的功率Pu和支護力做的功率PT;內(nèi)部能量耗散功率PV為各間斷線耗散功率的總和.圖2 為淺埋偏壓隧道破壞模式示意圖.

圖2 淺埋偏壓隧道破壞模式的示意圖Fig.2 Schematic diagram of collapse mechanism of shallow bias tunnel

由圖2 可得，破壞模式中MG、ME 等間斷線長度和S1、S2等滑塊面積分別表示為

1)重力做功功率

2)地表荷載做的功率

3)孔隙水壓力做的功率

由圖2 可得，輔助線長度與多邊形面積的計算公式如下

根據(jù)Bishop［18］的觀點，可以將孔隙水壓力看作是土體自重應(yīng)力的一部分，則

式中:u 為孔隙水壓力;ru為孔隙水壓力系數(shù);γ 為土體容重;z 為土體任意一點到地表面的豎直距離.

此外，Viratjandr 等［19］認為孔隙水壓力做的功率等于孔隙水使土顆粒膨脹做的功率與孔隙水在邊界上做的功率的總和，其表達式為

由于在破壞過程中假定土體的體積不發(fā)生變化，即應(yīng)變率˙ε=0，故孔隙水壓力做的功率就只等于孔隙水在邊界上做的功率，其表達式為

4)支護力做的功率

5)內(nèi)部能量耗散功率

3.3 支護力與穩(wěn)定性系數(shù)

根據(jù)極限分析上限定理，由式(19)、(20)、(34)、(35)、(36)可得，淺埋偏壓隧道支護力的解析解為

Broms 等［20］評價淺埋隧道的穩(wěn)定性時提出了穩(wěn)定性系數(shù)N 的概念，并且認為N≤6 時淺埋隧道處于穩(wěn)定狀態(tài)，N＞6 時淺埋隧道處于不穩(wěn)定狀態(tài).具體表達式為

式中:σs為地表荷載;σT為支護力;γ 為土體容重;cu為土體不排水時的抗剪強度.

由式(37)可得，圍巖壓力(支護力)σT是關(guān)于θ1、θ2和φt的函數(shù)，如果要求解圍巖壓力σT為最大值，則可以將其計算轉(zhuǎn)化成為一個求最大值的數(shù)學(xué)模型.約束條件為

換言之，在滿足式(39)的約束條件下，尋找目標(biāo)函數(shù)σT=f(θ1，θ2，φt)的最大值，該最大值即為圍巖壓力的最優(yōu)解，將圍巖壓力的最優(yōu)解代入式(38)則可得到穩(wěn)定性系數(shù)的最優(yōu)解，此過程可通過Matlab 軟件中的序列二次迭代算法來實現(xiàn).

4 結(jié)果分析

4.1 對比分析

基于線性破壞準(zhǔn)則，Davis 等［11］針對不排水黏土層(φ=0°)得到了淺埋隧道穩(wěn)定性系數(shù)的上限解.為了驗證文中方法的正確性，在計算過程中，首先令非線性系數(shù)m=1、內(nèi)摩擦角φ=0°、地面坡角α=0°、地表荷載σs=0 kPa、孔隙水壓力系數(shù)ru=0、土體容重γ=20 kN/m3，即將巖土材料的非線性破壞準(zhǔn)則退化成線性破壞準(zhǔn)則，并且把文中其他條件簡化相同，然后再將文中穩(wěn)定性系數(shù)的計算結(jié)果與Davis 等［11］研究成果進行對比，如表1 所示.由表1 可得，在無土重和有土重的情況下，文中穩(wěn)定性系數(shù)的計算結(jié)果與文獻［11］基本一致，且最大誤差小于10%，故驗證了文中方法的正確性.

表1 穩(wěn)定性系數(shù)計算結(jié)果對比Table 1 Comparison of stability number calculated results

4.2 參數(shù)分析

基于圖1 構(gòu)建的淺埋偏壓隧道的破壞模式(兩邊墻合力的不相等體現(xiàn)了偏壓對圍巖壓力的影響，破裂角的不相等體現(xiàn)了偏壓對破壞面的影響)，在非線性破壞準(zhǔn)則下研究各參數(shù)對圍巖壓力以及破壞面的影響.

4.2.1 非線性系數(shù)的影響

在非線性破壞準(zhǔn)則下，研究巖土材料的非線性系數(shù)對淺埋偏壓隧道支護力和破壞模式的影響.當(dāng)非線性系數(shù)m=1.1～1.5，洞徑D=10 m，土體容重γ=20kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，軸向拉應(yīng)力σt=24.73 kPa，地表荷載σs=150 kPa，孔隙水壓力系數(shù)ru=0.3，地面坡角α=30°時，由文中方法計算得到非線性系數(shù)對淺埋偏壓隧道支護力σT和破壞模式的影響分別如圖3、圖4 所示.

圖3 非線性系數(shù)對支護力的影響Fig.3 Influence of nonlinear coefficient on supporting force

圖4 非線性系數(shù)對破壞模式的影響(C=15 m)Fig.4 Influence of nonlinear coefficient on collapse mechanism(C=15 m)

由圖3 可得，當(dāng)埋深C 一定時，支護力σT隨非線性系數(shù)m 的增大呈明顯增大的趨勢;當(dāng)非線性系數(shù)m 一定時，支護力σT隨埋深C 的增大而增大.由此可見，在圍巖較差或埋深較大的情況下，淺埋偏壓隧道所需的支護力較大，因此在開挖過程中應(yīng)加強支護措施.由圖4 可得，非線性系數(shù)m 對淺埋偏壓隧道破壞面的位置也有較大的影響，即隨著非線性系數(shù)m 的增大，淺埋偏壓隧道的破壞面呈向外擴展的趨勢.這表明圍巖越差，在開挖過程中形成的塑性區(qū)范圍越大，故對于較差的圍巖應(yīng)加強支護措施，防止發(fā)生垮塌事故.

4.2.2 地表荷載的影響

在非線性破壞準(zhǔn)則下，研究地表荷載對淺埋偏壓隧道支護力和破壞模式的影響.當(dāng)埋深C=15m，洞徑D=10 m，土體容重γ=20 kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，軸向拉應(yīng)力σt=24.73 kPa，地表荷載σs=50～250 kPa，孔隙水壓力系數(shù)ru=0.3，地面坡角α=30°時，由文中方法計算得到地表荷載對淺埋偏壓隧道支護力和破壞模式的影響分別如圖5、圖6 所示.

圖5 地表荷載對支護力的影響Fig.5 Influence of ground load on supporting force

圖6 地表荷載對破壞模式的影響(m=1.3)Fig.6 Influence of ground load on collapse mechanism(m=1.3)

由圖5 可得，當(dāng)非線性系數(shù)m 一定時，支護力σT隨地表荷載σs的增大呈明顯增大的趨勢.因此，在地表荷載較大的情況下，淺埋偏壓隧道所需的支護力較大，故在開挖過程中應(yīng)加強支護措施.由圖6可得，地表荷載σs對淺埋偏壓隧道破壞面的位置也有較大的影響，即隨著地表荷載σs的增大，淺埋偏壓隧道的破壞面呈向外擴展的趨勢.這表明地表荷載較大，在開挖過程中形成的塑性區(qū)范圍較大，故對于地表荷載較大的地段應(yīng)加強支護措施.

4.2.3 孔隙水壓力系數(shù)的影響

在非線性破壞準(zhǔn)則下，研究孔隙水壓力系數(shù)對淺埋偏壓隧道支護力和破壞模式的影響.當(dāng)埋深C=15 m，洞徑D=10 m，土體容重γ=20 kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，軸向拉應(yīng)力σt=24.73 kPa，地表荷載σs=150 kPa，孔隙水壓力系數(shù)ru=0.1～0.5，地面坡角α=30°時，由文中方法計算得到孔隙水壓力系數(shù)對淺埋偏壓隧道支護力和破壞模式的影響如圖7、圖8 所示.

由圖7 可得，當(dāng)非線性系數(shù)m 一定時，支護力σT隨孔隙水壓力系數(shù)ru的增大呈明顯增大的趨勢.因此，在圍巖賦存較豐富孔隙水的情況下，淺埋偏壓隧道所需的支護力較大，故在開挖過程中應(yīng)做好支護措施，避免發(fā)生垮塌事故.由圖8 可得，孔隙水壓力系數(shù)ru對淺埋偏壓隧道破壞面的位置也有較大的影響，即隨著孔隙水壓力系數(shù)ru的增大，淺埋偏壓隧道的破壞面呈向外擴展的趨勢.這表明圍巖中賦存的孔隙水越豐富，在開挖過程中產(chǎn)生的塑性區(qū)范圍越大，所以孔隙水較豐富的地段應(yīng)該加強支護措施和防水措施，以防止發(fā)生突泥涌水甚至垮塌事故.

圖7 孔隙水壓力系數(shù)對支護力的影響Fig.7 Influence of coefficient of pore water pressure on sup porting force

圖8 孔隙水壓力系數(shù)對破壞模式的影響(m=1.3)Fig.8 Influence of coefficient of pore water pressure on collapse mechanism(m=1.3)

4.2.4 地面坡角的影響

在非線性破壞準(zhǔn)則下，研究地面坡角對淺埋偏壓隧道支護力和破壞模式的影響.當(dāng)埋深C=15 m，洞徑D=10 m，土體容重γ=20 kN/m3，初始黏聚力c0=10 kPa，軸向拉應(yīng)力σt=24.73 kPa，地表荷載σs=150 kPa，孔隙水壓力系數(shù)ru=0.3，地面坡角α=10°～50°時，由文中方法計算得到地面坡角對淺埋偏壓隧道支護力和破壞模式的影響如圖9、圖10所示.

圖9 地面坡角對支護力的影響Fig.9 Influence of ground slope angle on supporting force

圖10 地面坡角對破壞模式的影響(m=1.3)Fig.10 Influence of ground slope angle on collapse mechanism(m=1.3)

由圖9 可知，當(dāng)非線性系數(shù)m 一定時，支護力σT隨地面坡角α 的增大呈明顯增大的趨勢;且非線性系數(shù)m 越大，支護力σT所增加的效果越明顯.因此，在地面坡角較大或圍巖較差的情況下，淺埋偏壓隧道所需的支護力較大，在開挖過程中一定要注意加強支護措施，防止發(fā)生垮塌事故.由圖10 可得，地面坡角α 對淺埋偏壓隧道破壞面的位置也有較大的影響，即隨著地面坡角α 的增大，淺埋偏壓隧道的破壞面呈向外擴展的趨勢.這表明地面坡角α 較大，在開挖過程中由偏壓引起的塑性區(qū)范圍較大，故為了防止因偏壓引起的垮塌事故，對地面坡角較大的淺埋偏壓隧道應(yīng)注意加強支護措施.

5 結(jié)論

(1)運用極限分析上限定理推導(dǎo)出非線性破壞準(zhǔn)則下淺埋偏壓隧道穩(wěn)定性系數(shù)和支護力的解析解，并且采用序列二次迭代算法得到了穩(wěn)定性系數(shù)和支護力的優(yōu)化解.

(2)令非線性系數(shù)m=1，即非線性破壞準(zhǔn)則退化成線性破壞準(zhǔn)則，且其他條件簡化相同后，將用文中方法計算得到穩(wěn)定性系數(shù)的上限解與Davis 等［11］研究成果進行了對比，其結(jié)果基本一致，且最大誤差小于10%，驗證了文中方法的正確性.

(3)在非線性破壞準(zhǔn)則下，隨著非線性系數(shù)、埋深、地表荷載、孔隙水壓力系數(shù)和地面坡角的增加，淺埋偏壓隧道的支護力增大，且塑性區(qū)范圍也相應(yīng)增大，破壞面呈向外擴展的趨勢.因此，對于淺埋偏壓隧道，在圍巖較差、埋深較大、地表荷載較大、孔隙水較豐富以及地面坡角較大的地段應(yīng)加強支護措施，防止發(fā)生突泥涌水甚至垮塌事故.

［1］賀志勇，張娟，王存寶，等.高速公路隧道安全性的綜合評價［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，36(2):58-63.He Zhi-yong，Zhang Juan，Wang Cun-bao，et al.Comprehensive evaluation of expressway tunnel safety［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2008，36(2):58-63.

［2］潘健，劉杰偉，陳紅兵，等.鲘門隧道病害治理中的輕質(zhì)土澆注技術(shù)［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，36(1):122-127.Pan Jian，Liu Jie-wei，Chen Hong-bing，et al.Light-soil casting technology for disease repairing of Houmen tunnel［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2008，36(1):122-127.

［3］劉福勝，徐國元，黃文通.山嶺隧道地下水滲流及加固參數(shù)的解析研究［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，40(2):112-117.Liu Fu-sheng，Xu Guo-yuan，Huang Wen-tong.Analytical research on groundwater seepage and reinforcement parameters of mountain tunnels［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2012，40(2):112-117.

［4］Huang Fu，Qin Chang-bing，Li Shu-cai.Determination of minimum cover depth for shallow tunnel subjected to water pressure ［J］.Journal of Central South University，2013，20(8):2307-2313.

［5］楊小禮，黃波，王作偉.水平地震力作用下淺埋偏壓隧道松動圍巖壓力的研究［J］.中南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，41(3):1090-1095.Yang Xiao-li，Huang Bo，Wang Zuo-wei.Rock failure pressure of shallow tunnel subjected to horizontal seismic and unsymmetrical loads ［J］.Journal of Central South University:Science and Technology，2010，41(3):1090-1095.

［6］安永林.偏壓隧道圍巖壓力分布規(guī)律理論研究［J］.湖南科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，26(4):47-50.An Yong-lin.Study on principle of rock pressure distribution of unsymmetrical pressure tunnel［J］.Journal of Hunan University of Science ＆ Technology:Natural Science Edition，2011，26(4):47-50.

［7］Yang Xiao-li，Jin Qi-yun，Ma Jun-qiu.Pressure from surrounding rock of three tunnels with large section and small spacing［J］.Journal of Central South University，2012，19(8):2380-2385.

［8］Yang Xiao-li，Zhang Jia-hua，Jin Qi-yun，et al.Analytical solution to rock pressure acting on three shallow tunnels subjected to unsymmetrical loads［J］.Journal of Central South University，2013，20(2):528-535.

［9］Chen W F.Limit analysis and soil plasticity［M］.Amsterdam:Elsevier，1975:275-306.

［10］Atkinson J H，Potts D M.Stability of shallow tunnel in cohesionless soil［J］.Geotechnique，1977，27(2):203-215.

［11］Davis E H，Gunn M J，Mair R J，et al.The stability of shallow tunnels and underground openings in cohesive material［J］.Geotechnique，1980，30(4):397-416.

［12］楊峰，陽軍生.淺埋隧道圍巖壓力確定的極限分析方法［J］.工程力學(xué)，2008，25(7):179-184.Yang Feng，Yang Jun-sheng.Limit analysis method for determination of earth pressure on shallow tunnel［J］.Engineering Mechanics，2008，25(7):179-184.

［13］Yang Xiao-li，Yin Jian-hua.Slope stability analysis with nonlinear failure criterion ［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，2004，130(3):267-273.

［14］Yang Xiao-li，Zou Jin-feng.Cavity expansion analysis with nonlinear failure criterion［J］.Geotechnical Engineering，2011，164(1):41-49.

［15］Yang Xiao-li，Yin Jian-hua.Analytical solutions for passive earth pressure considering different failure mechanisms with nonlinear failure criterion［J］.Journal of the Southeast Asian Geotechnical Society，2008，39(3):129-135.

［16］Yang Xiao-li.Upper bound limit analysis of active earth pressure with different fracture surface and nonlinear yield criterion ［J］.Theoretical and Applied Fracture Mechanics，2007，47(1):46-56.

［17］Yang Xiao-li，Huang Fu.Influences of strain softening and seepage on elastic and plastic solutions of circular openings in nonlinear rock masses［J］.Journal of Central South University of Technology，2010，17(3):621-627.

［18］Bishop A W.The use of pore-pressure coefficients in practice［J］.Geotechnique，1954，4(4):148-152.

［19］Viratjandr C，Michalowski R L.Limit analysis of submerged slopes subjected to water drawdown［J］.Canadian Geotechnical Journal，2006，43(8):802-814.

［20］Broms B B，Bennermark H.Stability of clay in vertical openings［J］.Soil Mech Found Div ASCE，1967，193(1):71-94.