房春梅，樊彩虹

(集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000)

Boussinesq-burgers方程的對(duì)稱性約化

房春梅，樊彩虹

(集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000)

擴(kuò)展齊次平衡法是求孤子方程的Backlund變換、對(duì)稱性約化、精確解的一種簡(jiǎn)單有效的方法，該方法的思想是將高維的偏微分方程約化為低維的常微分方程.根據(jù)此方法獲得了Boussinesq-burgers方程的新的對(duì)稱性約化及相似解.

擴(kuò)展齊次平衡法；Boussinesq-burgers方程；對(duì)稱性約化

求非線性偏微分方程(組)的對(duì)稱約化方法很多，如Lie對(duì)稱方法[1]、Clarkson-kruskal(CK直接方法)[2-3]、擴(kuò)展齊次平衡法[4-5]等等.本文將擴(kuò)展齊次平衡法推廣應(yīng)用到Boussinesq-burgers方程[6]：

獲得了該方程的新的對(duì)稱性約化與相似解.

對(duì)于Boussinesq-burgers方程，文獻(xiàn)[6]討論了其Painleve可積性，文獻(xiàn)[7-8]討論了該方程基本的Darboux變換.文獻(xiàn)[9]獲得了無(wú)限維的可積系統(tǒng)，進(jìn)一步得出了(2+1)維Boussinesq-burgers方程的準(zhǔn)周期解.

本文將擴(kuò)展齊次平衡法應(yīng)用到Boussinesq-burgers方程中，獲得了此方程的新的對(duì)稱性約化以及相似解.

1 Boussinesq-burgers方程的對(duì)稱性約化與相似解

Boussineq-Burgers方程：

(1)

根據(jù)擴(kuò)展齊次平衡法的思想，對(duì)方程(1)可以尋找如下形式的對(duì)稱性約化:

(2)

(3)

其中u0,v0是兩個(gè)待定函數(shù).

將式(2)～(3)代入式(1)可得到:

要使上兩式約化成f,g關(guān)于w的常微分方程，那么f,g的不同導(dǎo)數(shù)系數(shù)之比僅是關(guān)于w的函數(shù)，換句話說(shuō)就是滿足下面的限制條件：

其中Γi(w)(i=1,2,…,13)為待定函數(shù).

求解上述方程時(shí)，可以利用下面的三個(gè)自由度：

1)如果w(x,t)是由方程Ω1(w)=w0(x,t)所確定，可以取Ω1(w)=w(x,t).

利用上述規(guī)則可以得出上述限制條件的解為：

Γ1=Γ2=Γ3=Γ4=Γ6=Γ8=Γ9=Γ10=Γ11=Γ12=Γ13=0,

其中θ=θ(t),σ=σ(t)滿足如下的方程組：

σ″-2σ′Aθ2=θ4(A2σ-2B),θ′=Aθ3.

且A,B是任意常數(shù).

若取f′=R,g″=S,則可得到式(1)如下的對(duì)稱性約化及相似解：

[1]Rodica Cimpoiasu,Rodu Constantinescu.Lie symmetries and invariants for a 2D nonlinear heat equation[J].Nonlinear Analysis,2008,68:2261-2268.

[2]范恩貴.二類變式Boussinesq方程的對(duì)稱性約化和精確解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1999,19(4)：373-378.

[3]樓森岳,唐曉艷.非線性數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[4]范恩貴,張鴻慶.齊次平衡法若干新的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，1997,19(3):286-292.

[5]Fan E G,Zhang H Q.A new approach to Backlund transformation of nonlinear evolution equations[J].Appl Math Mech,1998,19(7):645-650.

[6]Sachs R l.On the Integrable Variant of the Boussinesq System:Painleve Property,Rational Solutions[J].Physica D,1988,30:1-27.

[7]Matveev V B,Salle M A.Darboux Transformations and Soliton[M].Berlin:Springger,1991.

[8]展紅霞.Boussinesq-burgers方程的各類達(dá)布變換關(guān)系及其精確解[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2010(8):265-269.

[9]Zhang J,Wu Y,Li X.Quasi-Periodic solution of the (2+1)-dimensional Boussines q-Burgers soliton equation[J].Physica A,2003,319:213-232.

責(zé)任編輯：時(shí)凌

SymmetryReductionsoftheBoussinesq-burgersEquation

FANG Chunmei，F(xiàn)AN Caihong

(Department of Mathematics,Jining Teachers College,Wulanchabu 012000,China)

The extended homogeneous balance method is mainly used for finding the Backlund transformation,symmetry reduction and exact solutions of nonlinear evolution equations.The idea of the method is to reduce the high dimensional partial differential to a low-dimensional ordinary differential equation. Based on this method, the new symmetry reduction and solution of the Boussinesq-burgers equation are obtained.

extended homogeneous balance method; Boussinesq-burgers equation; symmetry reduction

2014-04-01.

內(nèi)蒙古高等學(xué)?？茖W(xué)研究資助項(xiàng)目(NJZC13283)

房春梅(1985- )，女(蒙古族)， 碩士生，主要從事孤子方程與可積系統(tǒng)的研究.

O290

A

1008-8423(2014)02-0148-02