馬金生,宋衛(wèi)東

(1.合肥廣播電視大學(xué),安徽 合肥 230001; 2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

設(shè)CQn+p是復(fù)n+p維黎曼流形,若其曲率張量取為如下形式:

則稱CQn+p為擬復(fù)射影空間[1].其中a,b是CQn+p上的光滑函數(shù),g為CQn+p上的黎曼度量,J為CQn+p的復(fù)結(jié)構(gòu),λA是CQn+p上的單位向量函數(shù).文獻(xiàn)[2-3]討論了擬常曲率空間中的2-調(diào)和子流形,文獻(xiàn)[4]討論了復(fù)空間形式中的2-調(diào)和子流形,2-調(diào)和子流形是極小子流形的推廣.本文將外圍空間推廣到了擬復(fù)射影空間,由于擬復(fù)射影空間的復(fù)雜性給計(jì)算及估計(jì)帶來(lái)很多的困難,本文得到如下結(jié)果.

定理1設(shè)Mn是擬復(fù)射影空間CQn+p中n維緊致全實(shí)2-調(diào)和子流形,則有如下積分不等式:

其中：||B||為Mn的第二基本形式模長(zhǎng);H為Mn的平均曲率.

定理2設(shè)Mn是擬復(fù)射影空間CQn+p中n維具有平行平均曲率的全實(shí)2-調(diào)和子流形,||B||2為Mn的第二基本形式模長(zhǎng)的平方,則

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Mn是CQn+p中的實(shí)n維全實(shí)子流形,J為CQn+p的復(fù)結(jié)構(gòu).在CQn+p上選取局部規(guī)范正交標(biāo)架場(chǎng)

e1,…,en,en+1,…,en+p,e1*=Je1,…,en*=Jen,e(n+1)*=Jen+1,…,e(n+p)*=Jen+p.

使得限制于Mn,{e1,…,en}與Mn相切.本文對(duì)各類指標(biāo)取值范圍約定如下

A,B,C,…=1,…,n+p,1*,…,(n+p)*;i,j,k,…=1,…,n;

α,β,γ,…=n+1,…,n+p,1*,…,(n+p)*;λ,μ,…=n+1,…,n+p.

令{ωA}是{eA}的對(duì)偶標(biāo)架場(chǎng),CQn+p的結(jié)構(gòu)方程限制到Mn上有：

(1)

(2)

(3)

(4)

其中B,ξ,Rijkl,Rαβkl分別是Mn的第二基本形式,平均曲率向量場(chǎng),曲率向量場(chǎng),曲率張量場(chǎng),法曲率張量場(chǎng),是CQn+p的曲率張量場(chǎng),在標(biāo)準(zhǔn)正交基下gAB=δAB.此時(shí),由于CQn+p是擬復(fù)射影空間,那么,

KABCD=a(δACδBD-δADδBC+JACJBD-JADJBC+2JABJCD)+b(δACλBλD+δBDλAλC-δADλBλC-δBCλAλD),

(5)

(6)

(7)

以下總假設(shè)Mn是擬復(fù)射影空間CQn+p中全實(shí)2-調(diào)和子流形,則

引理1[5]Mn是CQn+p中全實(shí)2-調(diào)和子流形的條件是

(8)

利用式(5)，易得

引理2[6]設(shè)Mn是擬復(fù)射影空間CQn+p中的任一子流形,則

(9)

2 定理證明

定理1的證明

首先計(jì)算Mn的第二基本形式模長(zhǎng)平方||B||2的Laplace算子,

由式(6),將式(8)第1式改寫為

兩端關(guān)于指標(biāo)i求共變導(dǎo)數(shù)，并關(guān)于i求和,得

調(diào)整指標(biāo),結(jié)合式(8)第2式得,

(10)

由式(5)和式(10)通過計(jì)算得

(11)

現(xiàn)在估計(jì)式(11)中出現(xiàn)的一些項(xiàng),首先易見

由于Mn是緊致的,由stokes定理,有

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

n(a-2|b|)(||B||2-nH2)

(20)

由式(11)～(20)及引理2,以及Mn的緊致性,經(jīng)整理即可完成定理1的證明.

(21)

由Cauchy不等式,得

(22)

由式(5),得

(23)

(1)當(dāng)infb≥0時(shí),由式(33)得

(24)

若處處有

(25)

則唯一的可能是n2H2=0,即Mn是CQn+p中的極小子流形.

(26)

于是由式(23)得

(27)

(28)

則唯一的可能是n2H2=0,即Mn是CQn+p中的極小子流形.

即完成定理2的證明.

參考文獻(xiàn):

[1]宋衛(wèi)東,朱巖.擬復(fù)射影空間中的2-全實(shí)偽臍子流形[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2012,50(4):673-676.

[2]宋衛(wèi)東.關(guān)于擬常曲率空間中的2-調(diào)和子流形[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2006,26A(3):426-430.

[3]鄧義華.擬常曲率空間中的2-調(diào)和子流形為極小子流形的條件[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009,39(8):234-237.

[4]Zhu Yecheng, Song Weidong. 2-Harmonic Submanifolds in a Complex Space Form[J]. Journal of Mathematical Research & Exposition,2008,28(3):727-732.

[5]姜國(guó)英.2-調(diào)和映照及其第一、第二變分公式[J].數(shù)學(xué)年刊,1986,7A:389-402.

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[7]孫宏安,鐘定興.復(fù)射影空間的全實(shí)2-調(diào)和超曲面[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1999,19(2):431-436.

[8]宣滿友,劉繼志.擬常曲率黎曼流形中具有平行平均曲率向量的子流形[J].數(shù)學(xué)研究,2001,34(4):379-385.