王珍珍, 楊秀良

(杭州師范大學理學院, 浙江 杭州 310036)

1 引言和準備知識

設Xn={1,2,…,n},Tn表示Xn上的全變換半群,設ρ是Xn上的一個等價關(guān)系,≤是Xn/ρ上的一個全序,在文獻[1]中研究出全變換半群Tn的所有極大半傳遞子幺半群,其中首次引入了Tn的子半群

T(ρ,≤)={α∈Tn:(xα)ρ≤xρ,?x∈Xn},

稱其為劃分遞減變換幺半群.

并在文[3]中又刻劃出T(ρ,≤)的自同構(gòu)群.在此我們進一步研究T(ρ,≤)的Green關(guān)系和正則元.

2 Green關(guān)系

在文[4]中給出了Green關(guān)系的定義.在本節(jié)中給出T(ρ,≤)上的Green關(guān)系如下.

定理1令α,β∈T(ρ,≤),那么

2) (α,β)∈當且僅當imα=imβ且對任意的s∈imα,y,z∈Xn有min{yρ:y∈sα-1}=min{zρ:z∈sβ-1};

xα=yα?xαγ=yαγ?xβ=yβ;xα=yα?xβδ=yβδ?xβ=yβ.

于是kerα=kerβ.又有

(xα)ρ=(xβδ)ρ≤(xβ)ρ; (xβ)ρ=(xαγ)ρ≤(xα)ρ.

及≤是Xn/ρ上的一個全序可知(xα)ρ=(xβ)ρ.

充分性 由kerα=kerβ可設

其中α,β∈T(ρ,≤).則aiρ≤xρ,biρ≤xρ(x∈Ai,i=1,2,…,k).又由對任意的x∈Xn有(xα)ρ=(xβ)ρ知aiρ=biρ(i=1,2,…,k).于是可以定義δ,γ如下形式:

(2)充分性 由imα=imβ且對任意的s∈imα,y,z∈Xn有min{yρ|y∈sα-1}=min{zρ|z∈sβ-1}.可設μsρ=min{yρ|y∈sα-1}=min{zρ|z∈sβ-1}=νsρ,其中μs∈sα-1,νs∈sβ-1(μs與νs可以相同,μs,νs∈Xn).于是定義δ,γ如下形式:

yδ=νs(y∈sα-1,s∈imα);zγ=μs(z∈sβ-1,s∈imβ).

故δ,γ∈T(ρ,≤)且α=δβ,β=γα.因此(α,β)∈.

必要性 若(α,β)∈,那么(α,β)∈(Tn),于是imα=imβ.也知道存在δ,γ∈T(ρ,≤)使得α=δβ,β=γα.設對任意的s∈imα=imβ,t∈Xn,tρ=min{yρ|y∈sα-1}且t∈sα-1,則

tδβ=tα=s.

從而

tδ∈sβ-1.

因此

tρ≥(tδ)ρ≥min{zρ|z∈sβ-1}.

也就是

min{yρ|y∈sα-1}≥min{zρ|z∈sβ-1}.

類似證明min{zρ|z∈sβ-1}≥min{yρ|y∈sα-1}.故min{yρ|y∈sα-1}=min{zρ|z∈sβ-1}.

(3)由(1)和(2)知(3)顯然成立.

φ:imα→imβ

使得任意的z∈imα,x,y∈Xn有

(z,zφ)∈ρ,min{xρ|x∈zα-1}=min{yρ|y∈(zφ)β-1}.

則由已知可令

那么對任意的x,y∈Xn,zi∈imα(i=1,…,r)有

(zi,ziφ)∈ρ,min{xρ|x∈Ai}=min{yρ|y∈Bi}(i=1,…,r).

又由β∈T(ρ,≤)知(ziφ)ρ≤min{yρ|y∈Bi}(i=1,…,r).從而ziρ≤min{yρ|y∈Bi}(i=1,…,r).于是可作γ如下:

所以imα=imγ且對任意的zi∈imα(i=1,…,r),x,y∈Xn有

min{xρ|x∈ziα-1}=min{xρ|x∈Ai}=min{yρ|y∈Bi}=min{yρ|y∈ziγ-1}.

知(α,γ)∈.也有kerγ=kerβ且對任意的z∈Xn有

(zγ)ρ=ziρ=(ziφ)ρ=(zβ)ρ(i=1,…,r)

也存在γ∈T(ρ,≤)使得αγβ,那么imα=imγ且對任意的zi∈imα(i=1,…,r),x,y∈Xn有

min{xρ|x∈ziα-1}=min{yρ|y∈ziγ-1}, kerγ=kerβ

且對任意的z∈Xn有

(zγ)ρ=(zβ)ρ.

其中zi1,…,zir是z1,…,zr的一個排列且設zi=zij(i=1,…,r,ij=i1,…,ir).那么由任意的z∈Xn有(zγ)ρ=(zβ)ρ知

zijρ=ljρ(j=1,…,r).

由任意的zi∈imα(i=1,…,r),x,y∈Xn有min{xρ|x∈ziα-1}=min{yρ|y∈ziγ-1}知

min{xρ|x∈Ai}=min{xρ|x∈ziα-1}=min{yρ|y∈zijγ-1}=min{yρ|y∈Bj}=min{yρ|y∈ljβ-1}.

因此可設φ是從imα到imβ的一個雙射且ziφ=lj(i,j=1,…,r).于是對任意的zi∈imα(i=1,…,r),x,y∈Xn有(ziφ)ρ=ljρ=zijρ=ziρ且

min{xρ|x∈ziα-1}=min{xρ|x∈Ai}=min{yρ|y∈ljβ-1}=min{yρ|y∈(ziφ)β-1}.

3 正則元

如果一個半群S的元a滿足a=aba(b∈S),那么稱a為正則元.如果S的所有元都是正則元,那么稱S為正則半群.在本節(jié)中將給出T(ρ,≤)的正則元.

其中a1ρ≤x1ρ(x1∈A1),a2ρ≤x2ρ(x2∈A2),…,arρ≤xrρ(xr∈Ar).那么α為正則元當且僅當aiρ∩Ai≠?(i=1,2,…,r).

證明必要性 由α為正則元知存在β∈T(ρ,≤)使得αβα=α.那么可令

aiβ=bi(i=1,2,…,r).

于是bi∈Ai且biρ≤aiρ(i=1,2,…,r).又由定義知aiρ≤biρ(i=1,2,…,r).所以

aiρ=biρ(i=1,2,…,r),

從而

bi∈(aiρ)∩Ai(i=1,2,…,r).

故aiρ∩Ai≠?(i=1,2,…,r).

充分性 若aiρ∩Ai≠?(i=1,2,…,r),不妨設bi∈(aiρ)∩Ai(i=1,2,…,r),則biρ=aiρ(i=1,2,…,r).可作β如下:

bi=aiβ(i=1,2,…,r);y=yβ(y≠ai).

于是β∈T(ρ,≤)且對任意的x∈Xn有

xαβα=aiβα=biα=ai=xα(i=1,2,…,r),

則αβα=α.故α是正則元.

定理3T(ρ,≤)是正則半群當且僅當ρ=Xn×Xn或Xn/ρ={{1},Xn-{1}}({1}

證明充分性 如果ρ=Xn×Xn,那么T(ρ,≤)=Tn;如果Xn/ρ={{1},Xn-{1}}且{1}

必要性 假設ρ≠Xn×Xn且Xn/ρ≠{{1},Xn-{1}}({1}

1)若|Z1|=1,則Z1={1}且t>2.那么可設Z2={2,…,r}(2≤r≤n-1),…,Zt={k,…,n}(r

可知α∈T(ρ,≤),但由引理1知α不是正則元與已知矛盾,假設不成立.

2)若|Z1|≥2,則t≥2.不妨設Z1={1,2,…,r}(1

可知α∈T(ρ,≤),但由引理1知α不是正則元與已知矛盾,假設不成立.

由定理3立刻有

推論1若T(ρ,≤)是正則半群,則|T(ρ,≤)|=nn或|T(ρ,≤)|=(n-1)n.

由引理1立刻有

進而由定理3立刻有

[1]Yang Xiuliang, Yang Haobo. Maximal half-transitive submonoids of full transformation semigroups[J]. Adv Math,2011,40(5):580-586.

[2]Umar A. On the semigroups of order-decreasing finite full transformations[J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh,1992,120A:129-142.

[3]Yang Haobo, Yang Xiuliang. Automorphisms of partition order-decreasing transformation monoids[J]. Semigroup Form,2012,85:513-524.

[4]Howie J M. Fundamentals of semigroups theory[M]. Oxford: Oxford University Press,1995.