胡 傲

(廣州奧的斯電梯有限公司，廣東 廣州 510425)

淺談一種建立自動(dòng)扶梯剎車距離數(shù)學(xué)模型的新方法

胡 傲

(廣州奧的斯電梯有限公司，廣東 廣州 510425)

介紹了一種建立自動(dòng)扶梯剎車距離數(shù)學(xué)模型的新方法，并且使用這種方法對(duì)自動(dòng)扶梯的部分結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算。與以前的建模方法相比，該方法最大的特點(diǎn)是直接根據(jù)自動(dòng)扶梯的實(shí)際剎車距離來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，而無(wú)需理會(huì)自動(dòng)扶梯的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

自動(dòng)扶梯；剎車距離；數(shù)學(xué)模型

0 引言

剎車距離是自動(dòng)扶梯安全性的一個(gè)重要參數(shù)。為了能夠準(zhǔn)確預(yù)計(jì)自動(dòng)扶梯的剎車距離，各大電梯公司及科研院所已經(jīng)建立了多種數(shù)學(xué)模型[1]。但這些模型都是根據(jù)自動(dòng)扶梯的內(nèi)部結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出來(lái)的，它們的建立需要對(duì)自動(dòng)扶梯的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有充分的了解。此外，這些數(shù)學(xué)模型還包含了很多假設(shè)參數(shù)，如摩擦系數(shù)、傳遞效率等。因此在使用前，往往需要根據(jù)實(shí)際的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行校正。

本文嘗試使用了一種新方法，即不理會(huì)自動(dòng)扶梯的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，只根據(jù)自動(dòng)扶梯的實(shí)際剎車距離來(lái)建立其數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)這個(gè)模型，對(duì)自動(dòng)扶梯的一些結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算。該方法適合在不了解自動(dòng)扶梯內(nèi)部結(jié)構(gòu)的情況下對(duì)自動(dòng)扶梯的剎車數(shù)學(xué)模型以及結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行估算。

1 自動(dòng)扶梯剎車數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)

從能量轉(zhuǎn)化的角度來(lái)看，自動(dòng)扶梯的剎車過(guò)程可以看成自動(dòng)扶梯以及載荷的動(dòng)能Ek和勢(shì)能Ep通過(guò)克服剎車力F和摩擦力f做功轉(zhuǎn)化為熱的過(guò)程，即：

Ek .Esc+Ek .Weight+Ep+W=0

式中，Ek .Esc和Ek .Weight為剎車前自動(dòng)扶梯以及載荷的動(dòng)能；Ep為剎車過(guò)程中載荷下滑減少的勢(shì)能；W為剎車過(guò)程中剎車力F和摩擦力f所做的負(fù)功。

自動(dòng)扶梯的剎車過(guò)程可以分為兩個(gè)階段：第一階段，剎車系統(tǒng)已被觸發(fā)，但其機(jī)械機(jī)構(gòu)還沒(méi)運(yùn)動(dòng)到作用位置。這一階段，自動(dòng)扶梯的剎車只受重力G和梯路摩擦力f的影響，近似處于自由下滑狀態(tài)，其下滑距離為Sfree。第二階段，剎車系統(tǒng)的機(jī)械機(jī)構(gòu)已運(yùn)動(dòng)到作用位置。此時(shí)自動(dòng)扶梯的剎車受到剎車力F、重力G和梯路摩擦力f的作用，開(kāi)始減速下滑直至停止，其下滑距離為Sbrk。二者之和即總剎車距離S=Sfree+Sbrk。則上式可以轉(zhuǎn)化為：

式中，m表示載荷的質(zhì)量；v表示自動(dòng)扶梯的運(yùn)行速度；α表示自動(dòng)扶梯的傾斜角。

相同的運(yùn)行速度下，可以近似假設(shè)自動(dòng)扶梯的Ek .Esc、Sfree和f為常數(shù)。并且在相同狀態(tài)下，也可近似假設(shè)其剎車力F為常數(shù)。因此上式可以變形為：

(1)

表1展示了一個(gè)根據(jù)某自動(dòng)扶梯在不同載荷下的剎車距離數(shù)據(jù)所建立的剎車數(shù)學(xué)模型。該自動(dòng)扶梯傾斜角為30°，運(yùn)行速度為0.5 m/s。

表1 根據(jù)剎車距離建立自動(dòng)扶梯剎車數(shù)學(xué)模型

2 自動(dòng)扶梯剎車數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

2.1 自動(dòng)扶梯剎車距離的預(yù)測(cè)

2.1.1 自動(dòng)扶梯剎車距離的計(jì)算

在建立了剎車數(shù)學(xué)模型以后，就可以用它來(lái)預(yù)測(cè)不同載荷下自動(dòng)扶梯的剎車距離。將式(1)變形，得到：

(2)

將自動(dòng)扶梯的傾斜角度α、運(yùn)行速度v、線性回歸得到的參數(shù)a和b以及載荷質(zhì)量m代入，就可以算出自動(dòng)扶梯的剎車距離S。

2.1.2 自動(dòng)扶梯剎車距離置信區(qū)間的估計(jì)

由于測(cè)量誤差的存在，使a和b的回歸分析結(jié)果存在一定的不確定性，這導(dǎo)致了剎車距離S的計(jì)算值與實(shí)際測(cè)量結(jié)果之間存在偏差。為了提高對(duì)S預(yù)測(cè)結(jié)果的可信度，就有必要對(duì)其置信區(qū)間進(jìn)行估計(jì)。

為了表征a和b的不確定性，回歸分析給出了它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差se，如表1所示。剎車距離S的標(biāo)準(zhǔn)差不能直接求得，是可以根據(jù)式(2)，使用Monte Carlo模擬對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)而求出其置信區(qū)間[2-3]。

使用表1中“熱態(tài)”的數(shù)學(xué)模型，我們對(duì)載荷為4 000 kg時(shí)，剎車距離S的95%置信區(qū)間進(jìn)行了估算。首先根據(jù)參數(shù)a和b的值及它們的標(biāo)準(zhǔn)誤差se，構(gòu)建其正態(tài)分布模型；然后根據(jù)式(2)對(duì)剎車距離S的值進(jìn)行了10 000次的Monte Carlo模擬，得到剎車距離對(duì)數(shù)lnS的分布，如圖1所示。

圖1 使用Monte Carlo模擬得到剎車距離對(duì)數(shù)lnS的分布

依圖1得到lnS分布的均值為6.130，標(biāo)準(zhǔn)差為0.037 07。據(jù)此計(jì)算出當(dāng)載荷為4 000 kg時(shí)，該自動(dòng)扶梯的剎車距離預(yù)計(jì)值是459.4 mm，有95%的可能是落在427.2～494.0 mm的區(qū)間內(nèi)。

2.2 對(duì)自動(dòng)扶梯剎車相關(guān)參數(shù)的計(jì)算

對(duì)于使用剎車片的剎車系統(tǒng)，在連續(xù)進(jìn)行若干次剎車之后，剎車片會(huì)因摩擦發(fā)熱而溫度升高，從而導(dǎo)致摩擦力變大，我們把這種狀態(tài)稱為“熱態(tài)”，與之對(duì)應(yīng)的“冷態(tài)”就是指剎車片溫度沒(méi)有升高的狀態(tài)。對(duì)于這一類型的自動(dòng)扶梯，當(dāng)其處于“熱態(tài)”和“冷態(tài)”時(shí)，剎車力F的大小是不同的，而自動(dòng)扶梯的Ek .Esc、Sfree和f的值則不受此影響。這樣我們可以推導(dǎo)出以下關(guān)系：

熱態(tài)：

冷態(tài)：

令：awarm=-Fwarm×Sfree-Ek .Esc，acool=-Fcool×Sfree-Ek .Esc，bwarm=Fwarm+f，bcool=Fcool+f，則根據(jù)自動(dòng)扶梯處于熱態(tài)和冷態(tài)下不同載荷的剎車距離數(shù)據(jù)，就可以算出awarm、acool、bwarm和bcool的值，建立起自動(dòng)扶梯剎車系統(tǒng)在熱態(tài)和冷態(tài)下的剎車數(shù)學(xué)模型。

在正常情況下，剎車力F是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于梯路摩擦力f的，即F+f≈F，則可以對(duì)自動(dòng)扶梯剎車相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。表2展示了根據(jù)表1中的剎車數(shù)學(xué)模型，對(duì)自動(dòng)扶梯的剎車相關(guān)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果。

表2 根據(jù)自動(dòng)扶梯剎車數(shù)學(xué)模型對(duì)剎車相關(guān)參數(shù)的計(jì)算

2.3 對(duì)自動(dòng)扶梯剎車片磨損速率的估算

自動(dòng)扶梯的剎車片在使用過(guò)程中會(huì)因磨損而需要定期更換，更換時(shí)間與磨損速率有關(guān)。因此，我們需要估算自動(dòng)扶梯剎車片的磨損速率，以確定剎車片的更換時(shí)間。

自動(dòng)扶梯剎車片的磨損速率是根據(jù)剎車過(guò)程中其所吸收的能量來(lái)計(jì)算的，因此只要知道剎車片在剎車過(guò)程中吸收能量的大小，就能對(duì)其磨損速率進(jìn)行估算。

根據(jù)Ek .Esc+Ek .Weight+Ep+W=0，可知自動(dòng)扶梯剎車過(guò)程中剎車片吸收的能量有自動(dòng)扶梯的動(dòng)能Ek .Esc、自動(dòng)扶梯載荷的動(dòng)能Ek .Weight以及剎車過(guò)程中載荷下滑減少的勢(shì)能Ep三部分。根據(jù)自動(dòng)扶梯剎車的數(shù)學(xué)模型，可以估算出Ek .Esc；根據(jù)自動(dòng)扶梯的運(yùn)行速度以及人流量，可以估算出Ek .Weight以及Ep。這樣就可以估算出自動(dòng)扶梯剎車片的磨損速率了。

3 結(jié)語(yǔ)

根據(jù)自動(dòng)扶梯在不同載荷下的剎車距離，可以建立起自動(dòng)扶梯剎車距離的數(shù)學(xué)模型。而結(jié)合自動(dòng)扶梯在熱態(tài)和冷態(tài)下的剎車距離，可以求算出自動(dòng)扶梯一些與剎車有關(guān)的參數(shù)。這種方法的好處是無(wú)需理會(huì)自動(dòng)扶梯的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。但是這種方法假設(shè)在剎車過(guò)程中剎車力F保持不變，因此不適用于剎車系統(tǒng)帶自鎖緊功能的自動(dòng)扶梯。

[1]王薇，路俊秀.自動(dòng)扶梯和自動(dòng)人行道制動(dòng)能力的計(jì)算[J].機(jī)械設(shè)計(jì)，2006(5)：18～19

[2]王巖.MonteCarlo方法應(yīng)用研究[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006(28)：23～26

[3]曲雙石，王會(huì)娟.MonteCarlo方法及其應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)教育，2009(1)：45～55

2014-07-14

胡傲(1979—)，男，湖南長(zhǎng)沙人，測(cè)試工程師，研究方向：自動(dòng)扶梯認(rèn)證測(cè)試。