杭石琴

［摘要］ 數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性往往是考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況，同時考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力. 本文作者結(jié)合自己的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，以“反比例函數(shù)的應(yīng)用”為例，談?wù)勛陨淼乃伎寂c做法.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)知識；應(yīng)用性

在初中數(shù)學(xué)系列知識中，有一類知識是屬于應(yīng)用性質(zhì)的，“反比例函數(shù)的應(yīng)用”即屬此類. 這類知識在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，總是被當(dāng)成習(xí)題課來教，這體現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)評價需要下的“應(yīng)用性”，但實(shí)際上習(xí)題的解答并不完全是應(yīng)用，因而現(xiàn)行觀點(diǎn)一致認(rèn)為要將數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性落到實(shí)處，要讓數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性在學(xué)生的思維中得到真正彰顯，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識完整的認(rèn)識，也才能真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

首先必須提及的是，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性往往是考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況，同時考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力. 這種應(yīng)用不僅僅是解題方面的，其實(shí)也包括命題方面的. 如果我們能夠從教者或者命題者的角度來思考數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，會發(fā)現(xiàn)，知識的應(yīng)用既包括對問題的解決，也包括對問題的設(shè)計(jì). 因此，知識的應(yīng)用性是一個設(shè)計(jì)與解決共同組合的問題. 其次，必須強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上面，還體現(xiàn)在學(xué)生身上. 也就是說，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性最終是通過學(xué)生的努力去完成的，因此，真正的應(yīng)用性必定是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的，必須與數(shù)學(xué)知識發(fā)展的規(guī)律相吻合. 從學(xué)生的角度來看，這個過程必定也是為學(xué)生所喜歡的.

本文就試以“反比例函數(shù)的應(yīng)用”為例，談?wù)勛陨淼乃伎寂c做法.

■ 讓反比例函數(shù)知識變得形象

“反比例函數(shù)的應(yīng)用”是建立在學(xué)生對反比例函數(shù)及圖象與性質(zhì)的認(rèn)識基礎(chǔ)之上的，其應(yīng)用性主要體現(xiàn)在兩個方面：一是就鞏固知識而言，學(xué)生必須能夠逐步熟練地應(yīng)用反比例函數(shù)、圖象及性質(zhì)去解決初中階段可能遇到的各種類型的習(xí)題；二是就將來的函數(shù)知識學(xué)習(xí)而言，其又蘊(yùn)涵了此時還沒顯現(xiàn)但到了后續(xù)的學(xué)習(xí)中就會重點(diǎn)關(guān)注的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等，同時本函數(shù)還是冪函數(shù)的典型代表，因此此處的應(yīng)用，也應(yīng)當(dāng)為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

更重要的問題在于，從函數(shù)知識開始，學(xué)生就會生成一個強(qiáng)烈的認(rèn)識，即函數(shù)知識永遠(yuǎn)是那么的抽象，數(shù)學(xué)課堂上成天打交道的就是這些概念與符號，還有圖象等. 學(xué)生內(nèi)心容易產(chǎn)生一種想法：我們學(xué)這種抽象的東西有什么用？盡管這個問題與數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)幾乎沒有什么聯(lián)系，但作為教學(xué)而言，如果不解決這個問題，就難以真正調(diào)動大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣（那種因?yàn)閷兇鈹?shù)學(xué)感興趣的學(xué)生畢竟是少數(shù)）. 因此，針對初中生的認(rèn)知特點(diǎn)，作為數(shù)學(xué)教師，還是要想辦法讓抽象的數(shù)學(xué)知識變得形象一些.

對于反比例函數(shù)，筆者思考從實(shí)際生活中的反比例關(guān)系引入本知識的應(yīng)用，以讓學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的“數(shù)學(xué)有用”的認(rèn)知. 筆者的做法是這樣的：通過資料查閱和網(wǎng)絡(luò)搜索等方法，找到空氣的能見度，在一定的情況下，車速與行車時間之間的關(guān)系、隱形飛機(jī)的隱身能力與載重之間的關(guān)系等. 由于這兩種情境與初中生的認(rèn)知興趣很有關(guān)系，前者就與自己的實(shí)際生活有關(guān)，而后者與絕大多數(shù)學(xué)生尤其是男學(xué)生的興趣有關(guān)，只要將這些關(guān)系進(jìn)行簡化，就可以得到存在于這些例子當(dāng)中的反比例關(guān)系. 而當(dāng)這種關(guān)系被賦予數(shù)值（可以編制，但要接近實(shí)際情形）并在圖象上呈現(xiàn)時，則更能激發(fā)學(xué)生的參與興趣，從而本知識的應(yīng)用也就有了一個堅(jiān)實(shí)的興趣基礎(chǔ).

■ 讓反比例函數(shù)應(yīng)用變得順利

反比例函數(shù)相對于正比例函數(shù)和一次函數(shù)而言，更為復(fù)雜，所以學(xué)生在理解過程中也會出現(xiàn)更多的困難. 因此，將過程設(shè)計(jì)得符合學(xué)生的認(rèn)知需要，就成為考驗(yàn)數(shù)學(xué)教師教學(xué)智慧的一個挑戰(zhàn). 筆者應(yīng)對的策略是這樣的：讓學(xué)生結(jié)合上述例子，思考車速與行車時間之間的關(guān)系，并判斷，若自己以一定的速度行駛，則從家到學(xué)校需要多長時間. 在思考這個問題的過程中，車速與時間的圖象由教師提供（限于篇幅，此處略去），而從家到學(xué)校的距離則由學(xué)生自己賦值. 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)增加了學(xué)生的自主性，學(xué)生在賦值這一簡單動作的背后存在著一種自己必須解決自己提出的問題的心理，從而讓學(xué)習(xí)過程變得更加符合學(xué)生的需要.

在這一過程中，學(xué)生通常用到的方法有兩個：一種方法是根據(jù)函數(shù)的方程，利用函數(shù)的性質(zhì)來解決，此處得到的是精確的結(jié)果；另一種方法是利用圖象，即利用數(shù)形結(jié)合的思想，此種方法得到的是一個粗略的結(jié)果，其精確程度與圖象的精確程度有關(guān). 一般情形下，學(xué)生不會主動使用這一方法，因此需要教師主動提醒. 但這種方法對于反比例函數(shù)的應(yīng)用而言，卻也比較重要，如果不涉及，則反比例函數(shù)的應(yīng)用就不完整.

在這個過程中，筆者的教學(xué)實(shí)踐有二：首先，讓學(xué)生自主解決；其次是引導(dǎo)學(xué)生生成相對完整的解題思路. 至于后者，也就是什么時候引導(dǎo)學(xué)生，怎樣引導(dǎo)學(xué)生，取決于教師對學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程的觀察與掌控. 筆者在教學(xué)過程觀察到的情形是這樣的：學(xué)生起初能夠反應(yīng)出利用圖象先求出反比例函數(shù)的方程，然后通過賦值的方法去求解. 在學(xué)生的這段努力之后，教師則通過畫龍點(diǎn)睛式的點(diǎn)撥，即反比例函數(shù)本質(zhì)上是正比例函數(shù)的變量關(guān)系的變換，是正比例函數(shù)的逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí). 而在本題中，其實(shí)就是路程一定時，速度與時間兩者之間的變量關(guān)系. 這種化繁為簡的點(diǎn)撥可以讓學(xué)生的思維舉重若輕.

除此之外，在反比例函數(shù)的應(yīng)用中還有一道典型的題目，那就是在某容器容積一定的情況下，容器的深度與底面積之間的關(guān)系（具體題目此處略去）. 在一般的教學(xué)方式中，教師一般會將其加上學(xué)生熟悉的某種情境，以吸引學(xué)生主動參與，但其實(shí)質(zhì)卻沒有發(fā)生變化. 筆者的思路也不例外，但在改造的時候多動了一點(diǎn)腦筋. 那就是給出命題思路：容器的總體積不變！在此前提下讓學(xué)生嘗試去命題，結(jié)果是學(xué)生所選題材（容器）不同，但學(xué)生的思維都在向反比例函數(shù)靠攏，在靠攏的過程中，由于各人的建構(gòu)能力不同，他們在建構(gòu)反比例函數(shù)時也會表現(xiàn)出不同的水平. 比如，有學(xué)生所賦的體積值不合理，導(dǎo)致底面積與深度之間的反比例函數(shù)關(guān)系雖然成立，卻不合常理. 這是數(shù)學(xué)問題的實(shí)際要求，學(xué)生很快就能自主發(fā)現(xiàn)；隨后，有學(xué)生設(shè)計(jì)出了比較合理的反比例函數(shù)關(guān)系，然后提出了三個具有代表性的問題：一是根據(jù)已經(jīng)賦值的反比例函數(shù)圖象設(shè)計(jì)出已知體積，讓他人求出底面積與深度關(guān)系的問題；二是設(shè)計(jì)某一個深度讓他人去求底面積，或給出底面積讓他人去求深度；三是給出某一個實(shí)際情境，給長度或?qū)挾仍O(shè)計(jì)了一個具體的數(shù)值之后，讓其他人去求深度. 這三個問題的難度相對平行，也反應(yīng)了學(xué)生的實(shí)際思維水平. 而設(shè)計(jì)問題的過程也是學(xué)生自我求解的過程，他們會自己先提供一個供他人參考的答案，以完成自己既命題又解題的過程. 而完成了這個過程之后，反比例函數(shù)在學(xué)生的應(yīng)用過程中就會變得更加順利.

■ 讓數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)變得享受

由反比例函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)所想到的是，在整個數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不應(yīng)當(dāng)是一個學(xué)生口中所說的痛苦的過程，而應(yīng)當(dāng)是一個享受的過程. “享受”這個術(shù)語并不只是一種浪漫的表達(dá)，更是一種相對客觀的描述. 從數(shù)學(xué)發(fā)展本身來看，數(shù)學(xué)家在研究數(shù)學(xué)問題的過程中，更多的是一種享受. 那為什么我們今天的初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程就變得那么辛苦了呢？這既與現(xiàn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評價有關(guān)，也與數(shù)學(xué)教師的教學(xué)取向有關(guān). 人們常說，考試是一根指揮棒，這實(shí)際上是教師將自己專業(yè)成長的權(quán)利交給了外界.

筆者的意思是想說，數(shù)學(xué)發(fā)展本身有自己的規(guī)律，數(shù)學(xué)教學(xué)本身也有著自己的規(guī)律，而遵循著規(guī)律所做的事情一定是一個享受的過程. 就拿反比例函數(shù)的教學(xué)來說，其應(yīng)用是在遵循了反比例函數(shù)、圖象及性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過理解來獲得應(yīng)用技能的. 這是一個符合認(rèn)知規(guī)律的過程，但這種規(guī)律是通過教師的教學(xué)設(shè)計(jì)來體現(xiàn)的，通過教師的教學(xué)過程來實(shí)現(xiàn)的. 如果設(shè)計(jì)不合理，實(shí)施不得當(dāng)，那學(xué)生的學(xué)習(xí)過程一樣有可能變得并不那么享受. 那么，怎樣的設(shè)計(jì)才是合理的，才是有規(guī)律的呢？在筆者看來，其實(shí)也不是很困難，關(guān)鍵在于研究學(xué)生，知道自己所教的學(xué)生在認(rèn)知上有什么特點(diǎn)，知道自己所教的每一屆學(xué)生都有哪些自身的特點(diǎn)，知道提醒自己不以過去的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來套用現(xiàn)在的學(xué)生，知道應(yīng)當(dāng)在課堂上順著學(xué)生的思維去及時調(diào)整自己的教學(xué)策略，那這個過程就會變得有享受的價值了.

總而言之，數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性是建立在教師對學(xué)生的準(zhǔn)確把握基礎(chǔ)上的，要想讓數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性得到真正彰顯，關(guān)鍵就在于讓學(xué)生在適合他們認(rèn)知需要的情境中，運(yùn)用自己所習(xí)得的數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題，直至自己設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題. 如果做到這樣，那離有效教學(xué)的境界也就不遠(yuǎn)了.