張 磊，曹躍云，楊自春，何元安

(1.海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院，武漢 430033；2.中國船舶工業(yè)集團(tuán)公司 船舶系統(tǒng)工程部，北京 100036)

機(jī)械設(shè)備作用在支撐結(jié)構(gòu)上的激勵(lì)力，作為結(jié)構(gòu)的動載荷。在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)計(jì)算、動態(tài)設(shè)計(jì)、故障分析及振動傳遞路徑分析等領(lǐng)域，它都是需要預(yù)先掌握的能反映設(shè)備特性的重要參數(shù)。激振力可以通過力傳感器直接測量，但因?yàn)榱鞲衅鞒叽绾桶惭b條件會受到限制，而且嵌入力傳感器必將改變原有系統(tǒng)的動力特性，測量結(jié)果常出現(xiàn)偏差[1]。

因載荷直接測量有困難，載荷識別方法受到了重視并有大量成果出現(xiàn)[2]。載荷識別是已知系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)特性求激勵(lì)特性的問題，是動力學(xué)第二類反問題。由于結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，載荷反演問題中結(jié)構(gòu)矩陣求逆的過程往往是病態(tài)的，該病態(tài)問題的恰當(dāng)處理是載荷識別成功的關(guān)鍵，國內(nèi)外許多學(xué)者對此做了許多有意義的工作。Thite等[3-4]提出逆矩陣法來識別工作載荷，利用最小二乘的正則化方法(Tikhonov正則化和奇異值截?cái)喾椒?解決頻率響應(yīng)矩陣存在的病態(tài)問題，并討論正則化參數(shù)選取(L曲線法、OCV法、GCV法)對載荷識別結(jié)果的影響。毛玉明[5]通過精細(xì)計(jì)算法建立精確的動態(tài)載荷識別問題反演模型，并引入正則化技術(shù)尋求一穩(wěn)定近似解。姜菊萍等[6]利用多項(xiàng)式加速迭代法的正則化方法來解決振源重構(gòu)中的不適定性。

上述最小二乘(Least Squares，LS)正則化方法在載荷識別時(shí)僅考慮振動響應(yīng)誤差的影響，當(dāng)振動響應(yīng)和傳遞函數(shù)矩陣同時(shí)受誤差影響時(shí)，此類方法的載荷識別結(jié)果將含有較大誤差，這時(shí)總體最小二乘(Total Least Squares，TLS)正則化算法將是一個(gè)最佳的選擇。Liu 等[7]提出截?cái)郥LS正則化算法實(shí)現(xiàn)載荷識別，該算法既能考慮結(jié)構(gòu)響應(yīng)的誤差也能反應(yīng)頻響函數(shù)矩陣的誤差，載荷識別效果好。但其難以準(zhǔn)確確定截?cái)嚅撝?，且容易截掉可靠的信息，?dǎo)致解的分辨率下降。近些年，對TLS問題的研究逐漸深入和廣泛。盡管TLS正則化算法在處理病態(tài)問題時(shí)存在一定的不足，但學(xué)者們[7-10]通過實(shí)例驗(yàn)證了當(dāng)系數(shù)矩陣存在誤差時(shí)，其解的精度要大大優(yōu)于LS正則化算法?？梢姡浅Ｓ斜匾獙LS正則化算法進(jìn)行改進(jìn)，克服在實(shí)際應(yīng)用中存在的不足，提高其處理病態(tài)問題的有效性和魯棒性。筆者將圍繞迭代TLS正則化算法在載荷識別中的應(yīng)用展開深入研究。

1 最小二乘法的載荷識別

若一線性時(shí)不變結(jié)構(gòu)，有激勵(lì)F1，F(xiàn)2，…Fm，時(shí)，存在響應(yīng)b1，b2，…，bn，由系統(tǒng)的運(yùn)動方程可得[7]

bn=Hn×mFm

(1)

式中:Hn×m為傳遞函數(shù)矩陣(頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣)，F(xiàn)n為路徑載荷的頻域力列向量，bm為頻域參考點(diǎn)響應(yīng)信號的列向量。

(2)

2 CG-TLS正則化算法的載荷識別

載荷識別時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性以及響應(yīng)測點(diǎn)選取等問題，傳遞函數(shù)矩陣中包含的結(jié)構(gòu)信息存在很大的相似性，導(dǎo)致各列之間復(fù)共線性強(qiáng)，傳遞函數(shù)矩陣為病態(tài)。無論是直接逆矩陣法估算激勵(lì)力還是最小二乘估計(jì)激勵(lì)力，都無法避免病態(tài)矩陣所帶來的計(jì)算誤差。本節(jié)將在TLS的基礎(chǔ)上進(jìn)行Tikhonov正則化，構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)，然后利用共軛梯度(Conjunction Gradation，CG)法求解該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。建立一種能同時(shí)考慮振動響應(yīng)點(diǎn)和傳遞函數(shù)矩陣受誤差影響且速度快、精度高、魯棒性好的CG-TLS正則化算法，最終實(shí)現(xiàn)載荷識別。

2.1 TLS正則化算法

總體最小二乘問題的準(zhǔn)則為

(3)

滿足b0=H0x，x代表式(1)中的激勵(lì)力F。當(dāng)H0=H時(shí)，不考慮系數(shù)矩陣的誤差，此時(shí)TLS準(zhǔn)則等效于LS準(zhǔn)則。

將式(3)進(jìn)行Tikhonov正則化，得到以下的目標(biāo)函數(shù)

(4)

式中:E為系數(shù)矩陣的誤差，r為觀測向量的誤差。λ為正則化參數(shù)，決定著解分辨率和光滑性這對不可調(diào)和的矛盾能否達(dá)到最佳折衷，同樣掌握著病態(tài)問題求解過程成功與否的命運(yùn)。矩陣Li為正則化矩陣，一般為帶狀行滿秩矩陣，經(jīng)典定義為單位矩陣，也可表示為權(quán)值的對角矩陣或者差分運(yùn)算[11]。

構(gòu)造拉格朗日目標(biāo)函數(shù)

(5)

(6)

(7)

(H+E)x=b+r

(8)

將式(7)代入式(6)有:

E=-rxH

(9)

結(jié)合式(9)和式(8)可推出:

將r和E帶入目標(biāo)函數(shù)式(4)，得到新的目標(biāo)函數(shù)為:

(10)

依據(jù)上式，f(x)的一階導(dǎo)數(shù)為

g(x)=f(x)=

(11)

可見，式(10)為無約束的最優(yōu)化問題，但該函數(shù)的凹凸性未知。Beck等[9]提出信賴域方法求解此最優(yōu)問題。Lampe[10]首先建立了高斯-牛頓迭代法進(jìn)行該最優(yōu)化問題的求解，但需滿足函數(shù)f(x)二階導(dǎo)數(shù)為正定，此假設(shè)一般情況不易滿足。為提高算法的求解速度，文獻(xiàn)[12]利用正交投影法，建立基于Krylov子空間的迭代TLS算法。上述方法不同程度上存在數(shù)值性能表現(xiàn)不佳、算法繁瑣，且在每步迭代時(shí)需要的存貯量和計(jì)算量較大，也不易達(dá)到全局收斂等不足。

2.2 CG-TLS正則化算法

共軛梯度法[13]在處理此類優(yōu)化問題時(shí)因其算法簡便、所需存儲量小、收斂速度快等特點(diǎn)而受許多研究人員所關(guān)注，各種各樣的非線性共軛梯度法如雨后春筍般的不斷涌現(xiàn)。但現(xiàn)存的方法大都存在一些不足，如數(shù)值穩(wěn)定性不佳，全局收斂的條件苛刻等。本節(jié)引入一種能解決非凸目標(biāo)函數(shù)，在特定線性搜索條件下易全局收斂的魯棒性好的非線性共軛梯度法。

為使算法能較迅速地收斂到最優(yōu)解，利用重新開始技術(shù)[16]改進(jìn)共軛梯度法，改進(jìn)思想為：若迭代到距離最優(yōu)點(diǎn)比較近時(shí)，重新取搜索方向?yàn)樨?fù)梯度方向，隨后的幾次迭代將產(chǎn)生近似的共軛方向，從而提高算法的效率。一般在實(shí)際應(yīng)用中每迭代l或l+1次，就重新設(shè)定搜索方向?yàn)樨?fù)梯度方向，得到l步重新開始的共軛梯度法。優(yōu)化問題式(10)求解程序如下

程序1：

Step0 給定迭代精度0<ε?1(取ε=10-6)和初始點(diǎn)x0，計(jì)算g0=f(x0)，令k∶=0。

Step 2計(jì)算搜索方向dk：

Step 5 令k∶=k+1，轉(zhuǎn)向步驟Step1。

2.3 正則化參數(shù)和正則化矩陣選取

3 仿真驗(yàn)證

為檢驗(yàn)第2節(jié)中提出的CG-TLS正則化算法在處理載荷識別不適定問題中的實(shí)際效果。通過ansys仿真一鋼質(zhì)平板在四個(gè)激勵(lì)力作用下的響應(yīng)，據(jù)此進(jìn)行載荷識別算法驗(yàn)證。仿真的優(yōu)勢在于精確激勵(lì)力為已知，且可以更靈活、全面地進(jìn)行算法的評估。

仿真鋼質(zhì)矩形板尺寸為600 mm×500 mm×6 mm，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3，阻尼系數(shù)為0.1，受四個(gè)垂直鋼板的激勵(lì)力作用，有限元模型如圖1所示，隨機(jī)布置10個(gè)響應(yīng)點(diǎn)(包含動載荷信息較為豐富的測點(diǎn)，且振動響應(yīng)不雷同的測點(diǎn))。仿真中，動載荷F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4為整個(gè)頻帶內(nèi)的單位激勵(lì)，激勵(lì)頻率范圍為10～1 000 Hz。經(jīng)計(jì)算得到鋼質(zhì)板的前十階模態(tài)為(14.146 Hz，28.281 Hz，31.872 Hz，38.522 Hz，67.279 Hz，73.629 Hz，76.154 Hz，97.613 Hz，121.660 Hz，126.820 Hz)。對每個(gè)激勵(lì)點(diǎn)單獨(dú)激勵(lì)，經(jīng)10次平均，依據(jù)激勵(lì)力和響應(yīng)點(diǎn)的加速度響應(yīng)，計(jì)算得到傳遞函數(shù)矩陣Hn×m，n為響應(yīng)點(diǎn)的數(shù)目，m為激勵(lì)力的數(shù)目。傳遞函數(shù)矩陣Hn×m的病態(tài)與否直接影響載荷識別的效果，一般情況下，由于結(jié)構(gòu)的模態(tài)效應(yīng)，響應(yīng)點(diǎn)之間具有一定的相關(guān)性。尤其在低頻時(shí)，響應(yīng)由單個(gè)模態(tài)或較少模態(tài)疊加而成，相關(guān)性更強(qiáng)。這使得Hn×m包含的結(jié)構(gòu)信息存在很大的相似性，將直接導(dǎo)致傳遞函數(shù)矩陣病態(tài)，低頻段病態(tài)性更嚴(yán)重。為減輕Hn×m的病態(tài)性，通常選擇n>m，但經(jīng)分析表明n>m并不一定能避免Hn×m病態(tài)，若選擇不當(dāng)反而會放大矩陣的病態(tài)性。

為了有效避免矩陣Hn×m病態(tài)，需首先診斷矩陣的病態(tài)性，利用條件數(shù)法和特征值分析法進(jìn)行病態(tài)性的診斷[17]。不同響應(yīng)點(diǎn)組成的Hn×m其矩陣的條件數(shù)和特征值不同，從10個(gè)備選響應(yīng)點(diǎn)中選擇4個(gè)最佳響應(yīng)點(diǎn)組成Hn×m(最佳響應(yīng)點(diǎn)即在整個(gè)頻率范圍內(nèi)條件數(shù)均較小，且特征值分布適宜)，進(jìn)而得到具有較輕病態(tài)性的Hn×m。即使如此，某些頻率點(diǎn)處對應(yīng)的Hn×m矩陣仍為病態(tài)矩陣，對其進(jìn)行求逆會出現(xiàn)不穩(wěn)定，又由于觀測噪聲不可避免，將導(dǎo)致載荷識別精度變差，結(jié)果不可信。正則化算法作為一種解決此類不適定問題的有力工具，本節(jié)將討論基于LS的Tikhonov算法[4]、TTLS算法[7]、CG-TLS正則化算法在載荷識別中的適用性。

圖1 有限元模型

表1 激勵(lì)力偏差范數(shù)結(jié)果表

圖2 條件數(shù)比較圖

圖3 噪聲N1時(shí)計(jì)算激勵(lì)力F1的1/3倍頻程圖

圖4 噪聲N1時(shí)計(jì)算激勵(lì)力F3的1/3倍頻程圖

圖5 噪聲N2時(shí)計(jì)算激勵(lì)力F1的1/3倍頻程圖

圖6 噪聲N2時(shí)計(jì)算激勵(lì)力F3的1/3倍頻程圖

圖7 L曲線圖

保持加速度響應(yīng)噪聲水平σb不變，將傳遞函數(shù)矩陣的噪聲水平提高到N2，計(jì)算得到圖5、圖6為F1和F3激勵(lì)力的三分之一倍頻程圖?？梢?，隨著傳遞函數(shù)矩陣噪聲水平的提高，Tikhonov正則化算法計(jì)算結(jié)果急劇變差，而TLS正則化算法對噪聲的考慮較全面，載荷識別精度高于前者。在某些頻點(diǎn)處，TTLS算法反而精度不高，可能由于處理矩陣維數(shù)較小，易截掉有價(jià)值的信息，而且奇異值的逐漸下降分布導(dǎo)致截?cái)嚅撝惦y以準(zhǔn)確確定。CG-TLS算法受噪聲水平和頻響函數(shù)矩陣奇異性的影響最小，計(jì)算精度高于以上兩種算法，表2給出了同樣的結(jié)論。因此，CG-TLS算法在進(jìn)行載荷識別時(shí)具有較好的有效性和魯棒性。

表2 激勵(lì)力偏差范數(shù)結(jié)果表

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)引入某雙層圓柱殼體的振動激勵(lì)-響應(yīng)試驗(yàn)，進(jìn)一步檢驗(yàn)CG-TLS正則化算法在載荷識別中的有效性。試驗(yàn)細(xì)節(jié)祥見文獻(xiàn)[18]，試驗(yàn)存在三個(gè)激勵(lì)源，在內(nèi)殼體上合理布置若干振動加速度計(jì)。選擇激勵(lì)工況為1#、2#、3#激振器分別單獨(dú)開啟和同時(shí)開啟，且均發(fā)射連續(xù)的正弦信號，頻率為3 kHz，功率輸出均為92 vpp。在進(jìn)行傳遞函數(shù)矩陣估計(jì)時(shí)，采用多次激勵(lì)，做了6次平均來盡量減少噪聲信號的污染。

為準(zhǔn)確求取工作載荷，需首先選取恰當(dāng)?shù)恼駝禹憫?yīng)點(diǎn)組成較為良態(tài)的傳遞函數(shù)矩陣，依據(jù)第3節(jié)中指出的條件數(shù)和特征值分布診斷方法，確定最佳的響應(yīng)點(diǎn)組合為振動傳感器(2，6，8，10)(具體位置見文獻(xiàn)[18]中的圖3)。計(jì)算傳遞函數(shù)矩陣的條件數(shù)，在3 kHz時(shí)矩陣的條件數(shù)為3.716×104，存在嚴(yán)重病態(tài)。在該頻點(diǎn)處，利用正則化算法提高載荷識別的精度，CG-TLS算法的迭代初始值選為(0，0，0)，L曲線法確定正則化參數(shù)如圖7所示。各種正則化算法的計(jì)算結(jié)果見表3，表中用激勵(lì)力估計(jì)值與其真值的差值范數(shù)衡量算法的計(jì)算精度。結(jié)果表明：經(jīng)正則化算法修正的載荷識別精度有顯著的提高，因試驗(yàn)中隨機(jī)噪聲和測量誤差不可避免，使得傳遞函數(shù)矩陣和振動加速度響應(yīng)的觀測項(xiàng)存在誤差波動，CG-TLS正則化算法可以有效地減輕此類誤差波動對載荷識別的影響，在保持計(jì)算效率的同時(shí)提高了載荷識別的精度。CG-TLS正則化算法計(jì)算值與真值的誤差可能源于：數(shù)據(jù)處理伴隨的數(shù)值計(jì)算誤差；頻域處理時(shí)的加窗截?cái)鄬?dǎo)致頻率泄露，從而降低了解的分辨率；利用離散數(shù)據(jù)的傅里葉變換結(jié)果始終不如連續(xù)傅里葉變換的結(jié)果好。

表3 激勵(lì)力的計(jì)算結(jié)果表

5 結(jié) 論

載荷識別的間接法，是動力學(xué)的第二類反問題，實(shí)際操作過程中常出現(xiàn)求解不適定問題，且主要表現(xiàn)在病態(tài)矩陣求逆的不穩(wěn)定性。為克服上述問題，結(jié)合共軛梯度法建立的CG-TLS正則化算法，具有算法簡便、所需存儲量小、收斂性能好等優(yōu)點(diǎn)，且能同時(shí)考慮傳遞函數(shù)矩陣和振動響應(yīng)受噪聲影響，更符合載荷識別的實(shí)際情況。

仿真結(jié)果表明結(jié)構(gòu)模態(tài)特性(尤其低頻情況)以及響應(yīng)點(diǎn)的組合形式是導(dǎo)致傳遞函數(shù)矩陣病態(tài)的根源,依據(jù)條件數(shù)和特征值分布優(yōu)選響應(yīng)點(diǎn)組合，能減輕傳遞函數(shù)矩陣的病態(tài)性的影響，進(jìn)而提高載荷識別的精度。正則化條件下，載荷識別的性能優(yōu)于直接計(jì)算法，CG-TLS正則化算法與真實(shí)值吻合非常好，優(yōu)于Tikhonov正則化、TTLS算法，并且具有較低的噪聲靈敏度和對迭代初始值不敏感性等優(yōu)點(diǎn)。振動激勵(lì)-響應(yīng)試驗(yàn)進(jìn)一步肯定了以上結(jié)果，并指出可能產(chǎn)生誤差的原因?yàn)閿?shù)值計(jì)算誤差，頻率泄露或離散數(shù)據(jù)傅里葉變換。綜上，CG-TLS正則化算法能夠減輕誤差波動對載荷識別精度的影響，在提高效率和抗噪能力的同時(shí)保證了載荷識別的精度。

[1]原春暉.機(jī)械設(shè)備振動源特性測試方法研究[D].武漢：華中科技大學(xué)，2006.

[2]Mohammed H F，Mohd J M，Ahmad K A，et al.Inverse combustion force estimation based on response measurements outside the combustion chamber and signal processing[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23: 2519-2537.

[3]Thite A N，Thompson D J.The quantification of structure-borne transmission paths by inverse methods.Part 1: Improved singular value rejection methods[J].Journal of Sound and Vibration，2003(264): 411-431.

[4]Choi H G，Thite A N，Thompson D J.Comparison of methods for parameter selection in Tikhonov regularization with application to inverse force determination[J].Journal of Sound and Vibration，2007(304): 894-917.

[5]毛玉明.動載荷反演問題時(shí)域分析理論方法和試驗(yàn)研究[D].大連：大連理工大學(xué)，2010.

[6]姜菊萍，姜哲.利用迭代正則化法重構(gòu)振動聲源[J].噪聲與振動控制，2006,26(5)：34-36.

JIANG Ju-ping，JIANG Zhe.Vibrating resources reconstruction using iterative regularization[J].Noise and Vibration Control，2006,26(5)：34-36.

[7]Liu Y，Steve W，Shepard J.Dynamic force identification based on enhanced least squares and total least-squares schemes in the frequency domain[J].Journal of Sound and Vibration，2005(282): 37-60.

[8]Maziar S，Hossein Z.Computational experiments on the tikhonov regularization of the total least squares problem[J].Computer Science Journal of Moldova，2009，17(1): 14-25.

[9]Bech A，Ben-Tal A.On the solution of the tikhonov regularization of the total least squares problem[J].SIAM Journal Optimal，2006，17: 98-118.

[10]Lampe J.Solving regularized total least squares problems based on eigenproblems[D].Hamburg: Hamburg University of Technology，2010.

[11]Wang Y M，Liang G B，Pan Z D.Inverse of particle size distribution from light-scattering date using a modified regularization algorithm [J].Particuology，2010，8: 365-371.

[12]Lampe J，Voss H.Large-scale tikhonov regularization of total least squares[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2013，238: 95-108.

[13]戴彧虹，袁亞湘.非線性共軛梯度法[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1994：1-27.

[14]魏志強(qiáng)，張?jiān)刚?復(fù)共軛梯度法的結(jié)構(gòu)[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，17(4): 122-126.

WEI Zhi-qiang，ZHANG Yuan-zhang.Structure of the complex conjugate gradient method[J].Journal of Harbin University of Science and Technology，2012，17(4): 122-126.

[15]Liu H L.A family of nonlinear conjugate gradient methods with a global convergence property[J].International Journal of Number Methods and Applications，2009，2: 81-87.

[16]解可新，韓健，林友聯(lián).最優(yōu)化方法[M].天津：天津大學(xué)，1998：22-24，110-120.

[17]盧秀山.Ⅱ類病態(tài)系統(tǒng)分析理論及其應(yīng)用研究[D].青島：山東科技大學(xué)，2006.

[18]張磊，曹躍云，楊自春，等.雙層圓柱殼體水下振動噪聲結(jié)構(gòu)傳遞路徑分析[J].振動與沖擊，2012，31(20)：12-16.

ZHANG Lei，CAO Yue-yun，YANG Zi-chun，et al.Structural transfer path analysis for vibration and noise of a submerged cylindrical double-shell[J].Journal of Vibration and Shock，2012，31(20)：12-16.