陳 陽，宋玉坤,2,楊 洋

(1.承德石油高等專科學(xué)校 社科與數(shù)理部，河北 承德 067000；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所，吉林 長春 130012)

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位勢井族方法在一類Schr?dinger方程中的應(yīng)用

陳 陽1，宋玉坤1,2,楊 洋1

(1.承德石油高等專科學(xué)校 社科與數(shù)理部，河北 承德 067000；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所，吉林 長春 130012)

研究一類二階非線性Schr?dinger方程的初邊值問題，利用位勢井族結(jié)合Galerkin方法通過構(gòu)造問題的近似解得到了近似解的先驗(yàn)估計(jì)和收斂性，證明了整體解的存在性.

Schr?dinger方程；位勢井族；存在性

1 問題的提出

Schr?dinger方程是非常重要的數(shù)學(xué)物理模型.在非線性光學(xué)中研究強(qiáng)激光束通過非均勻介質(zhì)和在等離子體的傳播問題時,提出了一類二階Schr?dinger方程：

iut+Δu+|u|p-1·u=0，x∈Ω，t>0

(1)

u(x,0)=u0(x)，x∈Ω

(2)

u(x,t)|?Ω=0，t≥0

(3)

對于問題(1)-(2)，文獻(xiàn)[1]中利用方程的基態(tài)解以及估計(jì)的方法討論了整體解的存在性。目前利用位勢井族方法研究此類問題還比較少，文獻(xiàn)[3]中在研究波動方程時首次引入了位勢井族，將文獻(xiàn)[2]中常見的位勢井方法作為一種特殊情況進(jìn)行了推廣，得到了很好的結(jié)論. 本文將利用文獻(xiàn)[3]中位勢井族的方法證明問題(1)-(3)整體解的存在性。

2 方程整體解的存在性

和位勢井族：

另外定義

(4)

(5)

1° 先證u0∈Wδ. 若Jδ2(u0)>0，由J(u0)=E(0)0，δ∈(δ1,δ2).

2°再證um(0)∈Wδ. 若Jδ2(u0)>0，對任一固定的δ∈(δ1,δ2)，對充分大的m，有

Jδ(um(0))>0，Em(0)

(6)

在(4)中令m=ν→∞得，

3 重要推論

證明：由I(u0)>0意味著Jδ0(u0)>0，又由Jδ2(u0)>Jδ0(u0)可知定理1成立.

[1]Jian Zhang. Sharp conditions of global existence for nonlinear Schr?dinger and Klein-Gordon equations [J]. Nonlinear Analysis, 2002(48):191-207.

[2]Payne, L. E. and Sattinger, D. H. Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations. Israel Journal of Mathematics 1975,22(3-4):273-303.

[3]Yacheng Liu. On potential wells and vacuum isolating of solutions to semilinear wave equations,J.DifferentialEquations, 2003(192):155-169.

簡訊

我校召開省儀器儀表工程中心學(xué)術(shù)年會2014年4月19日，我校與熱河克羅尼儀表公司聯(lián)合邀請機(jī)械工業(yè)儀器儀表綜合技術(shù)研究所、天津大學(xué)、東北大學(xué)、燕山大學(xué)等專家學(xué)者來我校，進(jìn)行省儀器儀表工程中心學(xué)術(shù)年會活動。校黨委副書記孔小利主持，副校長于立國、楊洋教授等參會并作重要發(fā)言。

FamilyPotentialWellsandItsApplicationtoaClassofSchr?dingerEquations

CHEN Yang1, SONG Yu-kun1,2, YANG Yang1

(1.Department of Social Sciences, Mathematics and Physics, Chengde Petroleum College,Chengde 067000, Hebei, China;2.Institute of Mathematics, Jilin University, Changchun 130012, Jilin, China)

This paper discusses the initial boundary value problem of a class of two order Schr?dinger equation. It is shown that the global weak solutions exist by applying a family of potential wells theory and Galerkin method through constructing and estimating the norm of the approximate solutions.

Schr?dinger equations; potential wells; existence

河北省高等學(xué)校自然科學(xué)研究項(xiàng)目：Z2010209

2013-11-04

陳陽(1982-)，女，黑龍江哈爾濱人，承德石油高等專科學(xué)校社科與數(shù)理部講師，碩士研究生。主要從事系統(tǒng)分析與建模和偏微分方程方面研究工作。

O24

：B

：1008-9446(2014)02-0037-03