謝黎明張秀林靳嵐

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅蘭州730050)

0 引言

機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)在機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)及軌跡規(guī)劃中都是非常重要的課題，因機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)問題隨著運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的增多而越來越復(fù)雜，要建立通用的算法相當(dāng)困難。對(duì)逆運(yùn)動(dòng)方程求解提出了解析法[1]、幾何法[2]、迭代法[3]、幾何-解析法[4]以及一些新的解析法[5]；近年來，相繼提出采用遺傳算法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論[7]、遺傳粒子群算法[8]、基于信賴域的優(yōu)化算法[9]等。其中，Paul[10]、王奇志[1]等分別對(duì)PUMA560機(jī)器人在d2=0，d2≠0條件下的逆運(yùn)動(dòng)方程提出了相應(yīng)的解析法。但此法在實(shí)際應(yīng)用中要直接得到完全正確的8組逆解仍不是件易事，有時(shí)出現(xiàn)8組逆解中有幾組不是真解。劉松國(guó)[3]等提出的迭代法的收斂速度要遠(yuǎn)高于其他算法，但由于受雅可比矩陣的制約，不一定能求解出工作空間所有可行點(diǎn)的逆解。王洪斌[7]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論求解逆運(yùn)動(dòng)，但由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)最終結(jié)果影響的不確定性及需要大量已知訓(xùn)練樣本，使這一問題未能得到很好的解決。陳寧[5]提出了一種新的解析法，推導(dǎo)出直接計(jì)算各轉(zhuǎn)角變量正、余弦值的公式，計(jì)算出各解的轉(zhuǎn)角量，但運(yùn)動(dòng)方程中有許多角度的耦合，比如C234，這就使得無(wú)法從矩陣中提取足夠的元素來求解單個(gè)的正弦和余弦項(xiàng)以計(jì)算角度。為使角度解耦，方便求解各角的正、余弦，本文針對(duì)PUMA560型焊接機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解分析，用單個(gè)或多個(gè)()-1矩陣左乘0A6矩陣，使得方程右邊不再包括這個(gè)角度，于是就可以找到產(chǎn)生角度的正弦值和余弦值的元素，并進(jìn)而求得相應(yīng)的角度，完成運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求逆。

1 機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析是機(jī)器人軌跡規(guī)劃研究的基礎(chǔ)，包括正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，其中逆運(yùn)動(dòng)學(xué)應(yīng)用比較多，而正運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立是運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆的關(guān)鍵。所以，首先建立了機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，以PUMA560為研究對(duì)象進(jìn)行求解計(jì)算，用ADAMS軟件仿真，并與計(jì)算結(jié)果相對(duì)比，驗(yàn)證了所建正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性，為后續(xù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求逆奠定了基礎(chǔ)。

1.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

采用D-H方法[11]來表示此連桿坐標(biāo)系與上一連桿坐標(biāo)系之間的關(guān)系，相鄰兩連桿的空間關(guān)系矩陣為連桿變換矩陣。建立的齊次變換矩陣為:

式中:C=cos，S=sin，αi-1為zi-1到zi沿xi-1測(cè)量的距離；ai-1為zi-1到zi繞xi-1旋轉(zhuǎn)的角度；di為xi-1到xi沿zi測(cè)量的距離；θi為xi-1到xi繞zi旋轉(zhuǎn)的角度；xi，yi，zi為第i個(gè)關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系。

由上面的相鄰連桿之間的變換矩陣，可以得出正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

，，，，，為肩坐標(biāo)系相對(duì)于基座坐標(biāo)系、大臂坐標(biāo)系相對(duì)于肩坐標(biāo)系、小臂坐標(biāo)系相對(duì)于大臂坐標(biāo)系、腕1坐標(biāo)系相對(duì)于小臂坐標(biāo)系、腕2坐標(biāo)系相對(duì)于腕1坐標(biāo)系、腕3坐標(biāo)系相對(duì)于腕2坐標(biāo)系。

式中:為姿態(tài)矩陣；為位置矩陣；

C234——分別代表 cos(θ2+θ3+θ4)，S234為 sin(θ2+θ3+θ4)，余同。

1.2 PUMA560的正運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算

PUMA560機(jī)器人本體的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)由回轉(zhuǎn)的機(jī)體、肩、大臂、小臂、腕部，機(jī)械手等部分組成(圖1)，共有6個(gè)關(guān)節(jié)自由度，而且6個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，屬關(guān)節(jié)型機(jī)器人。前3個(gè)關(guān)節(jié)主要影響末端執(zhí)行器的位置，后3個(gè)關(guān)節(jié)決定末端的姿態(tài)。如圖2所示POMA560機(jī)器人的桿件坐標(biāo)，根據(jù)D-H方法由圖2可以得出POMA560機(jī)器人的各桿件參數(shù)如表1所示。

圖1 PUMA560的實(shí)體模

圖2 PUMA560機(jī)器人的坐標(biāo)

其中:a2=431.8 mm，a3=20.32 mm，d1=660.4 mm，d2=149.09 mm，d4=433.07 mm，d6=80.13 mm。

表1 PUMA560機(jī)器人的連桿參數(shù)表

其中:=

與圖2所示的情況完全一致，則機(jī)械手末端相對(duì)于基座標(biāo)的位姿[12]為:

則機(jī)械手末端在ADAMS世界坐標(biāo)系中的位姿為:

現(xiàn)讓肩關(guān)節(jié)繞y軸旋轉(zhuǎn)-90°，小臂關(guān)節(jié)繞x軸旋轉(zhuǎn)90°，其他的關(guān)節(jié)不旋轉(zhuǎn)，得到機(jī)械手末端在ADAMS世界坐標(biāo)系中的位姿為:

1.3 PUMA560機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

圖3和圖4分別表示POMA560機(jī)器人各桿件在仿真前、仿真后的位置關(guān)系。經(jīng)過仿真得出機(jī)器人未端在整個(gè)運(yùn)行過程中的位移曲線如圖5所示。

從仿真結(jié)果可以看出，機(jī)械手末端在0 s時(shí)刻的坐標(biāo)為(945，680，-149)，與式(2)的計(jì)算結(jié)果相近。機(jī)械手的末端在3 s時(shí)的坐標(biāo)為(149，147，452)，與式(3)的計(jì)算結(jié)果相近。所以，驗(yàn)證了所建模型的正確性。

2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法是機(jī)器人軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)，但在求解時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程中有許多角度的耦合，為使角度解耦，方便求解各角的正、余弦，本文用單個(gè)或多個(gè)()-1矩陣左乘0A6矩陣，使得方程右邊不再包括這個(gè)角度，于是可以找到產(chǎn)生角度的正弦值和余弦值的元素，并進(jìn)而求得相應(yīng)的角度，完成運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求逆。

圖3 仿真前各連桿之間位置關(guān)系

圖4 仿真后各連桿之間位置關(guān)系

圖5 末端的位移曲線

2.1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的求解

根據(jù)上述得出的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(1)分析:

1) 求θ1

用()-1左乘式(1)兩邊，得到:

根據(jù)等式兩邊第3行第4列元素對(duì)應(yīng)相等，有:

2)求θ3

根據(jù)式(1)兩邊第1行第4列和第2行第4列分別對(duì)應(yīng)相等，有:

將兩個(gè)方程兩邊平方相加，得:

式中， S2S23+C2C23=Cos(θ2+θ3-θ2)=C3

故

3)求解θ2，θ4

用左乘式(1)兩邊，得到:

式(5)兩邊第3行第3列元素對(duì)應(yīng)相等，有:

由此可以求得S234，C234，即可求得θ3

由式(4)可知

可得:

因?yàn)棣?34有兩個(gè)值，所以θ4也相應(yīng)有兩個(gè)值。

4) 求θ5

由式(5)兩邊第1行第3列和第2行第3列元素對(duì)應(yīng)相等，有:

故

5) 求θ6:

由()-1左乘式(5)有:

由第2行第1列和第2行第2列元素對(duì)應(yīng)相等，得:

故

給定末端位姿為式(3)計(jì)算結(jié)果，根據(jù)上述所得各角求解公式，用MATLAB編程計(jì)算各關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的角度，計(jì)算結(jié)果為:θ1=90°，θ2=0°，θ3=-90°，θ4=0°，θ5=0°，θ6=0°，與表1所給條件相符，所以驗(yàn)證了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的正確。

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中的角度耦合問題，采用解析法推導(dǎo)了焊接機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。通過解耦，已給出各角求解公式，由求解公式可知PUMA560的運(yùn)動(dòng)反解可能存在8種解。但是，由于結(jié)構(gòu)的限制，各關(guān)節(jié)變量不能全部在360°范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，有些解不能實(shí)現(xiàn)，應(yīng)根據(jù)一些約束條件選取其中最滿意的一組，以滿足機(jī)器人的工作要求。該算法使用于機(jī)器人的最后三個(gè)關(guān)節(jié)交于一個(gè)公共點(diǎn)，否則就不能用這個(gè)方法來求解，而只能直接求解矩陣或通過計(jì)算矩陣的逆來求解未知的量。大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人都有相交的腕關(guān)節(jié)。

[1]王志奇，徐心和，尹朝萬(wàn).PUMA機(jī)械手逆運(yùn)動(dòng)方程新的推導(dǎo)方法及求解[J].機(jī)器人.1998，2(20):81-87.

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