黃芬芬

2011版數(shù)學課程標準提出，建模思想是數(shù)學的基本思想。它強調，數(shù)學符號化過程，數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學法則的總結，數(shù)學原理的建構……其本質都是數(shù)學建模的過程。學生將生活情境“數(shù)學化”的過程，在數(shù)學學習中具有普遍性意義。摸清數(shù)學建模中的幾個重要特性，是理解學生數(shù)學活動本質的要點之一。有效地把握教學方向，明確教學目標，從學生數(shù)學學習活動用度來說，其本質就是由數(shù)學建模實現(xiàn)“數(shù)學化”的過程。

一、“形式化”——讓數(shù)學思維更加簡約

在數(shù)學建模中，形式化是它的重點方向。當我們用數(shù)學符號表達數(shù)量及其關系，用抽象的數(shù)學概念表達數(shù)學思維，用圖形表示物體的空間關系時，這些思考方式的變化，也就是數(shù)量關系和空間關系形式化的過程。這個過程，使我們的思維從繁復的“雜多”里解放。簡化集約后的現(xiàn)實情境，經建模實現(xiàn)形式化，更易于數(shù)學思維對它進行“操作”，更符合人的思考的心理機制。例如，北師大版《生活中的數(shù)》一課中的1-10的數(shù)的教學（見下圖）。

先讓學生列舉生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、兩個蘋果、三張船票等。接著，用小棒、圓圈、手指、計數(shù)器等記錄這些數(shù)。這個過程，舍棄了熊的顏色、蘋果的大小、船票上的圖案……這時數(shù)學思維活動，處于“半抽象”的狀態(tài)，減輕了思維的“負荷”，使操作更為簡便。當要求學生用數(shù)字符號表示這些數(shù)時，學生的數(shù)學思維進入高度的形式化，也是生活情景到數(shù)學模型的抽象、簡化的過程。從“生活中的數(shù)”到“數(shù)字符號”，是“數(shù)概念”與符號“對應結構”的形成，是數(shù)的“數(shù)學含義”與符號的融合。這些數(shù)學符號的“形式化”，給了我們極大的“自由空間”，進而使我們得以表達大數(shù)、發(fā)展小數(shù)和分數(shù)并進行更復雜的運算。

二、“結構化”——讓數(shù)學關系成為整體

數(shù)學是描述數(shù)量關系與空間形式的科學。數(shù)學模型的形成，也就是從多個維度建構數(shù)學關系的過程。各種數(shù)學關系相互聯(lián)系、多重交互，構成了“整體性”的結構。在教學過程中，幫助學生發(fā)現(xiàn)、揭示或理解數(shù)學情境中的各種關系，進而讓學生通過抽象、建構得出數(shù)學模型，并幫助學生從總體上把握數(shù)學模型中各要素間的相互聯(lián)系。例如，每一邊可以放19個棋子的圍棋棋盤，外圍最多可以擺幾個棋子？

如果不想一個一個地數(shù)，就必須對棋盤外圍的棋子進行“結構化”，通過“結構化”，使彌散的“數(shù)學因子”形成一個有組織、有次序的整體。不同的“結構”將“規(guī)劃”“包含”不同的“數(shù)量間的關系”，能使我們更加準確地把握數(shù)學問題的本質，正確選擇解決問題的方向，利用建構的數(shù)學模型對數(shù)學問題展開有步驟的解答。數(shù)學模型的“結構化”具有重要的意義，通過了解結構中各“數(shù)學因子”之間的未知與已知聯(lián)系，我們可以借助已知條件求出未知條件，借助各種形式的數(shù)學模型和推理，實現(xiàn)問題的解決。

三、“喻體化”——讓隱性結構突顯其形

在數(shù)學結構里，當關系是隱性的，或一些“要素”看不見的時候，數(shù)學就變得生澀難懂，產生巨大的距離感、生疏感。前蘇聯(lián)數(shù)學家馬寧有一個論斷：“數(shù)學是一種比喻?！睌?shù)學模型可以借助“喻體”，揭開數(shù)學結構的神秘面紗，露出“曼妙的身段”。好的喻體，能讓原本無形的數(shù)學結構“一目了然”，讓枯燥的數(shù)學模型充滿生活的趣味，煥發(fā)文化氣息。重要的是，它使數(shù)學易于理解，容易讓學生接受。如下圖，這是美國加州小學數(shù)學第四冊上的一個“方程模型”，這個數(shù)學模型，以杯子代表“未知數(shù)”，用籌碼當“已知數(shù)”。

這個簡單的“比喻”，形象的描繪了包含“未知數(shù)”的加法模型，讓學生生動地理解了等式兩邊數(shù)量之間的關系，為學生進一步抽象出“X+3=5”這個方程式提供了很好的鋪墊。從這個角度，我們可以看出，數(shù)學模型的建構，包括了“與自我的對話”和“與他人的交流”的價值。所以，好的“喻體”能使其形象，得以“淺顯”，能被接受，使蘊藏在背后的隱性數(shù)量關系得以彰顯出來。

四、“工具化”——讓數(shù)學模型能夠伸延

數(shù)學模型的工具化，指的是我們可以利用己經建構的數(shù)學模型進行描述，解釋生活中的數(shù)量關系和空間形式，創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實中的具體問題，形成學生的數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，讓學生體會“數(shù)學有用”，體驗數(shù)學的應用價值觀。它使數(shù)學模型得以在“同構”問題中伸延，并拓展數(shù)學模型的利用空間。例如下面這個幾何圖形，我們可以通過“圓的面積公式模型”輕易地解決它。

先把它看成一個“圓環(huán)”，再用“圓環(huán)面積”除以2，也就是用“（大圓面積-小圓面積）÷2”來求面積。這里把“圓的面積公式模型”作為解決問題的“工具”。發(fā)現(xiàn)、建構、解釋問題間的關系，將復雜的數(shù)量關系，轉化成可以解讀的數(shù)量間的聯(lián)系。學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，一方面離不開“工具箱”的備齊、備全；另一方面，又是對“工具”應用的延伸、拓展，以及靈活的掌握和創(chuàng)造性的應用。在不同的問題情境中，抽象出數(shù)學關系，把握數(shù)學本質，利用相應的數(shù)學模型工具，可以解決具體的數(shù)學問題，體驗數(shù)學的實用價值。

五、“多樣化”——讓數(shù)學視角得以轉化

數(shù)學模型的多樣性指的是它的同構異型。同樣的數(shù)學情景可能根據不同類型、方式建構數(shù)學模型，比如：數(shù)學語言描述，數(shù)式、圖示、幾何圖形等，也可能在不同的抽象層級上建構數(shù)學模型。這便于我們從不同角度來審視數(shù)學關系、討論數(shù)學問題，發(fā)揮數(shù)學模型解釋、分析數(shù)學信息的最佳功能。例如，一桶油，連桶重15千克，用去一半后，連桶重9千克，這桶油重多少千克？

這道習題中，包含著幾個關鍵的數(shù)量：“油連桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。簡單地說，它反應的是“總體—部分”的關系?？梢杂眠@個圖例來表示這些數(shù)量間的關系：

這個示意圖例是在生活原型的基礎上，對其進行簡單的抽象、升華、重構而得到的“數(shù)學模型”。它既保留“原貌”，又能反應各部分間的關系。同時我們還可用維恩圖、線段圖、“分析樹形圖”、數(shù)學關系式、算式等多種形式，建構同構異型的數(shù)學模型，來反映 “總體—部分”結構。轉換形式、變換視角，凸顯內在數(shù)量間的相互關系。

建模，是學生思維走向數(shù)學化的重要環(huán)節(jié)。它為學生造就了一雙數(shù)學的眼睛，把生活中紛繁復雜的現(xiàn)實情境，用抽象的方式，以模型作為載體，建構數(shù)量和空間關系，從而描述并凸顯數(shù)學問題的本質，成為數(shù)學思考的一把“利器”，實現(xiàn)思維方式上的簡約而經濟，靈活能變通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的張力，使數(shù)學成為一門有生命力的基礎學科。

（責任編輯：李雪虹）endprint

2011版數(shù)學課程標準提出，建模思想是數(shù)學的基本思想。它強調，數(shù)學符號化過程，數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學法則的總結，數(shù)學原理的建構……其本質都是數(shù)學建模的過程。學生將生活情境“數(shù)學化”的過程，在數(shù)學學習中具有普遍性意義。摸清數(shù)學建模中的幾個重要特性，是理解學生數(shù)學活動本質的要點之一。有效地把握教學方向，明確教學目標，從學生數(shù)學學習活動用度來說，其本質就是由數(shù)學建模實現(xiàn)“數(shù)學化”的過程。

一、“形式化”——讓數(shù)學思維更加簡約

在數(shù)學建模中，形式化是它的重點方向。當我們用數(shù)學符號表達數(shù)量及其關系，用抽象的數(shù)學概念表達數(shù)學思維，用圖形表示物體的空間關系時，這些思考方式的變化，也就是數(shù)量關系和空間關系形式化的過程。這個過程，使我們的思維從繁復的“雜多”里解放。簡化集約后的現(xiàn)實情境，經建模實現(xiàn)形式化，更易于數(shù)學思維對它進行“操作”，更符合人的思考的心理機制。例如，北師大版《生活中的數(shù)》一課中的1-10的數(shù)的教學（見下圖）。

先讓學生列舉生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、兩個蘋果、三張船票等。接著，用小棒、圓圈、手指、計數(shù)器等記錄這些數(shù)。這個過程，舍棄了熊的顏色、蘋果的大小、船票上的圖案……這時數(shù)學思維活動，處于“半抽象”的狀態(tài)，減輕了思維的“負荷”，使操作更為簡便。當要求學生用數(shù)字符號表示這些數(shù)時，學生的數(shù)學思維進入高度的形式化，也是生活情景到數(shù)學模型的抽象、簡化的過程。從“生活中的數(shù)”到“數(shù)字符號”，是“數(shù)概念”與符號“對應結構”的形成，是數(shù)的“數(shù)學含義”與符號的融合。這些數(shù)學符號的“形式化”，給了我們極大的“自由空間”，進而使我們得以表達大數(shù)、發(fā)展小數(shù)和分數(shù)并進行更復雜的運算。

二、“結構化”——讓數(shù)學關系成為整體

數(shù)學是描述數(shù)量關系與空間形式的科學。數(shù)學模型的形成，也就是從多個維度建構數(shù)學關系的過程。各種數(shù)學關系相互聯(lián)系、多重交互，構成了“整體性”的結構。在教學過程中，幫助學生發(fā)現(xiàn)、揭示或理解數(shù)學情境中的各種關系，進而讓學生通過抽象、建構得出數(shù)學模型，并幫助學生從總體上把握數(shù)學模型中各要素間的相互聯(lián)系。例如，每一邊可以放19個棋子的圍棋棋盤，外圍最多可以擺幾個棋子？

如果不想一個一個地數(shù)，就必須對棋盤外圍的棋子進行“結構化”，通過“結構化”，使彌散的“數(shù)學因子”形成一個有組織、有次序的整體。不同的“結構”將“規(guī)劃”“包含”不同的“數(shù)量間的關系”，能使我們更加準確地把握數(shù)學問題的本質，正確選擇解決問題的方向，利用建構的數(shù)學模型對數(shù)學問題展開有步驟的解答。數(shù)學模型的“結構化”具有重要的意義，通過了解結構中各“數(shù)學因子”之間的未知與已知聯(lián)系，我們可以借助已知條件求出未知條件，借助各種形式的數(shù)學模型和推理，實現(xiàn)問題的解決。

三、“喻體化”——讓隱性結構突顯其形

在數(shù)學結構里，當關系是隱性的，或一些“要素”看不見的時候，數(shù)學就變得生澀難懂，產生巨大的距離感、生疏感。前蘇聯(lián)數(shù)學家馬寧有一個論斷：“數(shù)學是一種比喻?！睌?shù)學模型可以借助“喻體”，揭開數(shù)學結構的神秘面紗，露出“曼妙的身段”。好的喻體，能讓原本無形的數(shù)學結構“一目了然”，讓枯燥的數(shù)學模型充滿生活的趣味，煥發(fā)文化氣息。重要的是，它使數(shù)學易于理解，容易讓學生接受。如下圖，這是美國加州小學數(shù)學第四冊上的一個“方程模型”，這個數(shù)學模型，以杯子代表“未知數(shù)”，用籌碼當“已知數(shù)”。

這個簡單的“比喻”，形象的描繪了包含“未知數(shù)”的加法模型，讓學生生動地理解了等式兩邊數(shù)量之間的關系，為學生進一步抽象出“X+3=5”這個方程式提供了很好的鋪墊。從這個角度，我們可以看出，數(shù)學模型的建構，包括了“與自我的對話”和“與他人的交流”的價值。所以，好的“喻體”能使其形象，得以“淺顯”，能被接受，使蘊藏在背后的隱性數(shù)量關系得以彰顯出來。

四、“工具化”——讓數(shù)學模型能夠伸延

數(shù)學模型的工具化，指的是我們可以利用己經建構的數(shù)學模型進行描述，解釋生活中的數(shù)量關系和空間形式，創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實中的具體問題，形成學生的數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，讓學生體會“數(shù)學有用”，體驗數(shù)學的應用價值觀。它使數(shù)學模型得以在“同構”問題中伸延，并拓展數(shù)學模型的利用空間。例如下面這個幾何圖形，我們可以通過“圓的面積公式模型”輕易地解決它。

先把它看成一個“圓環(huán)”，再用“圓環(huán)面積”除以2，也就是用“（大圓面積-小圓面積）÷2”來求面積。這里把“圓的面積公式模型”作為解決問題的“工具”。發(fā)現(xiàn)、建構、解釋問題間的關系，將復雜的數(shù)量關系，轉化成可以解讀的數(shù)量間的聯(lián)系。學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，一方面離不開“工具箱”的備齊、備全；另一方面，又是對“工具”應用的延伸、拓展，以及靈活的掌握和創(chuàng)造性的應用。在不同的問題情境中，抽象出數(shù)學關系，把握數(shù)學本質，利用相應的數(shù)學模型工具，可以解決具體的數(shù)學問題，體驗數(shù)學的實用價值。

五、“多樣化”——讓數(shù)學視角得以轉化

數(shù)學模型的多樣性指的是它的同構異型。同樣的數(shù)學情景可能根據不同類型、方式建構數(shù)學模型，比如：數(shù)學語言描述，數(shù)式、圖示、幾何圖形等，也可能在不同的抽象層級上建構數(shù)學模型。這便于我們從不同角度來審視數(shù)學關系、討論數(shù)學問題，發(fā)揮數(shù)學模型解釋、分析數(shù)學信息的最佳功能。例如，一桶油，連桶重15千克，用去一半后，連桶重9千克，這桶油重多少千克？

這道習題中，包含著幾個關鍵的數(shù)量：“油連桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。簡單地說，它反應的是“總體—部分”的關系?？梢杂眠@個圖例來表示這些數(shù)量間的關系：

這個示意圖例是在生活原型的基礎上，對其進行簡單的抽象、升華、重構而得到的“數(shù)學模型”。它既保留“原貌”，又能反應各部分間的關系。同時我們還可用維恩圖、線段圖、“分析樹形圖”、數(shù)學關系式、算式等多種形式，建構同構異型的數(shù)學模型，來反映 “總體—部分”結構。轉換形式、變換視角，凸顯內在數(shù)量間的相互關系。

建模，是學生思維走向數(shù)學化的重要環(huán)節(jié)。它為學生造就了一雙數(shù)學的眼睛，把生活中紛繁復雜的現(xiàn)實情境，用抽象的方式，以模型作為載體，建構數(shù)量和空間關系，從而描述并凸顯數(shù)學問題的本質，成為數(shù)學思考的一把“利器”，實現(xiàn)思維方式上的簡約而經濟，靈活能變通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的張力，使數(shù)學成為一門有生命力的基礎學科。

（責任編輯：李雪虹）endprint

2011版數(shù)學課程標準提出，建模思想是數(shù)學的基本思想。它強調，數(shù)學符號化過程，數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學法則的總結，數(shù)學原理的建構……其本質都是數(shù)學建模的過程。學生將生活情境“數(shù)學化”的過程，在數(shù)學學習中具有普遍性意義。摸清數(shù)學建模中的幾個重要特性，是理解學生數(shù)學活動本質的要點之一。有效地把握教學方向，明確教學目標，從學生數(shù)學學習活動用度來說，其本質就是由數(shù)學建模實現(xiàn)“數(shù)學化”的過程。

一、“形式化”——讓數(shù)學思維更加簡約

在數(shù)學建模中，形式化是它的重點方向。當我們用數(shù)學符號表達數(shù)量及其關系，用抽象的數(shù)學概念表達數(shù)學思維，用圖形表示物體的空間關系時，這些思考方式的變化，也就是數(shù)量關系和空間關系形式化的過程。這個過程，使我們的思維從繁復的“雜多”里解放。簡化集約后的現(xiàn)實情境，經建模實現(xiàn)形式化，更易于數(shù)學思維對它進行“操作”，更符合人的思考的心理機制。例如，北師大版《生活中的數(shù)》一課中的1-10的數(shù)的教學（見下圖）。

先讓學生列舉生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、兩個蘋果、三張船票等。接著，用小棒、圓圈、手指、計數(shù)器等記錄這些數(shù)。這個過程，舍棄了熊的顏色、蘋果的大小、船票上的圖案……這時數(shù)學思維活動，處于“半抽象”的狀態(tài)，減輕了思維的“負荷”，使操作更為簡便。當要求學生用數(shù)字符號表示這些數(shù)時，學生的數(shù)學思維進入高度的形式化，也是生活情景到數(shù)學模型的抽象、簡化的過程。從“生活中的數(shù)”到“數(shù)字符號”，是“數(shù)概念”與符號“對應結構”的形成，是數(shù)的“數(shù)學含義”與符號的融合。這些數(shù)學符號的“形式化”，給了我們極大的“自由空間”，進而使我們得以表達大數(shù)、發(fā)展小數(shù)和分數(shù)并進行更復雜的運算。

二、“結構化”——讓數(shù)學關系成為整體

數(shù)學是描述數(shù)量關系與空間形式的科學。數(shù)學模型的形成，也就是從多個維度建構數(shù)學關系的過程。各種數(shù)學關系相互聯(lián)系、多重交互，構成了“整體性”的結構。在教學過程中，幫助學生發(fā)現(xiàn)、揭示或理解數(shù)學情境中的各種關系，進而讓學生通過抽象、建構得出數(shù)學模型，并幫助學生從總體上把握數(shù)學模型中各要素間的相互聯(lián)系。例如，每一邊可以放19個棋子的圍棋棋盤，外圍最多可以擺幾個棋子？

如果不想一個一個地數(shù)，就必須對棋盤外圍的棋子進行“結構化”，通過“結構化”，使彌散的“數(shù)學因子”形成一個有組織、有次序的整體。不同的“結構”將“規(guī)劃”“包含”不同的“數(shù)量間的關系”，能使我們更加準確地把握數(shù)學問題的本質，正確選擇解決問題的方向，利用建構的數(shù)學模型對數(shù)學問題展開有步驟的解答。數(shù)學模型的“結構化”具有重要的意義，通過了解結構中各“數(shù)學因子”之間的未知與已知聯(lián)系，我們可以借助已知條件求出未知條件，借助各種形式的數(shù)學模型和推理，實現(xiàn)問題的解決。

三、“喻體化”——讓隱性結構突顯其形

在數(shù)學結構里，當關系是隱性的，或一些“要素”看不見的時候，數(shù)學就變得生澀難懂，產生巨大的距離感、生疏感。前蘇聯(lián)數(shù)學家馬寧有一個論斷：“數(shù)學是一種比喻?！睌?shù)學模型可以借助“喻體”，揭開數(shù)學結構的神秘面紗，露出“曼妙的身段”。好的喻體，能讓原本無形的數(shù)學結構“一目了然”，讓枯燥的數(shù)學模型充滿生活的趣味，煥發(fā)文化氣息。重要的是，它使數(shù)學易于理解，容易讓學生接受。如下圖，這是美國加州小學數(shù)學第四冊上的一個“方程模型”，這個數(shù)學模型，以杯子代表“未知數(shù)”，用籌碼當“已知數(shù)”。

這個簡單的“比喻”，形象的描繪了包含“未知數(shù)”的加法模型，讓學生生動地理解了等式兩邊數(shù)量之間的關系，為學生進一步抽象出“X+3=5”這個方程式提供了很好的鋪墊。從這個角度，我們可以看出，數(shù)學模型的建構，包括了“與自我的對話”和“與他人的交流”的價值。所以，好的“喻體”能使其形象，得以“淺顯”，能被接受，使蘊藏在背后的隱性數(shù)量關系得以彰顯出來。

四、“工具化”——讓數(shù)學模型能夠伸延

數(shù)學模型的工具化，指的是我們可以利用己經建構的數(shù)學模型進行描述，解釋生活中的數(shù)量關系和空間形式，創(chuàng)造性地解決現(xiàn)實中的具體問題，形成學生的數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，讓學生體會“數(shù)學有用”，體驗數(shù)學的應用價值觀。它使數(shù)學模型得以在“同構”問題中伸延，并拓展數(shù)學模型的利用空間。例如下面這個幾何圖形，我們可以通過“圓的面積公式模型”輕易地解決它。

先把它看成一個“圓環(huán)”，再用“圓環(huán)面積”除以2，也就是用“（大圓面積-小圓面積）÷2”來求面積。這里把“圓的面積公式模型”作為解決問題的“工具”。發(fā)現(xiàn)、建構、解釋問題間的關系，將復雜的數(shù)量關系，轉化成可以解讀的數(shù)量間的聯(lián)系。學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，一方面離不開“工具箱”的備齊、備全；另一方面，又是對“工具”應用的延伸、拓展，以及靈活的掌握和創(chuàng)造性的應用。在不同的問題情境中，抽象出數(shù)學關系，把握數(shù)學本質，利用相應的數(shù)學模型工具，可以解決具體的數(shù)學問題，體驗數(shù)學的實用價值。

五、“多樣化”——讓數(shù)學視角得以轉化

數(shù)學模型的多樣性指的是它的同構異型。同樣的數(shù)學情景可能根據不同類型、方式建構數(shù)學模型，比如：數(shù)學語言描述，數(shù)式、圖示、幾何圖形等，也可能在不同的抽象層級上建構數(shù)學模型。這便于我們從不同角度來審視數(shù)學關系、討論數(shù)學問題，發(fā)揮數(shù)學模型解釋、分析數(shù)學信息的最佳功能。例如，一桶油，連桶重15千克，用去一半后，連桶重9千克，這桶油重多少千克？

這道習題中，包含著幾個關鍵的數(shù)量：“油連桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。簡單地說，它反應的是“總體—部分”的關系?？梢杂眠@個圖例來表示這些數(shù)量間的關系：

這個示意圖例是在生活原型的基礎上，對其進行簡單的抽象、升華、重構而得到的“數(shù)學模型”。它既保留“原貌”，又能反應各部分間的關系。同時我們還可用維恩圖、線段圖、“分析樹形圖”、數(shù)學關系式、算式等多種形式，建構同構異型的數(shù)學模型，來反映 “總體—部分”結構。轉換形式、變換視角，凸顯內在數(shù)量間的相互關系。

建模，是學生思維走向數(shù)學化的重要環(huán)節(jié)。它為學生造就了一雙數(shù)學的眼睛，把生活中紛繁復雜的現(xiàn)實情境，用抽象的方式，以模型作為載體，建構數(shù)量和空間關系，從而描述并凸顯數(shù)學問題的本質，成為數(shù)學思考的一把“利器”，實現(xiàn)思維方式上的簡約而經濟，靈活能變通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的張力，使數(shù)學成為一門有生命力的基礎學科。

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