編隊(duì)構(gòu)型最優(yōu)開(kāi)關(guān)控制策略研究

陳祥, 廖鶴, 童慶為, 宋濤

(上海衛(wèi)星工程研究所 研發(fā)中心, 上海 200240)

0 引言

衛(wèi)星編隊(duì)可以形成大的口徑或測(cè)量基線,在電子偵察、立體成像、精確定位、氣象測(cè)量等方面具有很大的優(yōu)勢(shì),是當(dāng)前航天領(lǐng)域的重要研究方向[1]。衛(wèi)星編隊(duì)長(zhǎng)期在軌運(yùn)行中要求進(jìn)行構(gòu)型保持或重構(gòu),以滿足任務(wù)需求。根據(jù)任務(wù)要求,一般可以分為時(shí)間最短控制和燃料最省控制。

目前編隊(duì)構(gòu)型的控制研究主要集中于燃料最省策略研究,控制方式按照推進(jìn)方式可以分為脈沖控制和連續(xù)推力控制。德國(guó)TanDEM-X衛(wèi)星任務(wù)采用面內(nèi)雙脈沖、面外單脈沖的簡(jiǎn)單控制策略,該策略并不是最優(yōu)的,會(huì)造成編隊(duì)構(gòu)型速度方向漂移,從而導(dǎo)致控制頻繁,構(gòu)型容易發(fā)散[2]。四脈沖控制策略作為經(jīng)典的最優(yōu)編隊(duì)構(gòu)型控制策略,具有求解簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn),與雙脈沖策略相比,速度方向不發(fā)散,且燃料消耗也相對(duì)較優(yōu)[3]。還有一些學(xué)者針對(duì)脈沖編隊(duì)構(gòu)型控制問(wèn)題,設(shè)計(jì)了LQR控制策略和基于Lyapunov方法[4]的控制策略,但燃料消耗較前兩種策略更多。基于有限推力或連續(xù)推力方法進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型控制研究的思路是:基于Hill方程進(jìn)行最優(yōu)控制建模后通過(guò)優(yōu)化算法求解得到最優(yōu)控制問(wèn)題的解。該思路經(jīng)典直觀,但是存在計(jì)算量大,不易求解等缺陷[5-6]。

本文針對(duì)編隊(duì)飛行的連續(xù)小推力最優(yōu)控制問(wèn)題,根據(jù)編隊(duì)飛行的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),采用最優(yōu)控制理論和極小值原理設(shè)計(jì)了僅需要求解非線性方程組的編隊(duì)構(gòu)型的最短時(shí)間和最省燃料開(kāi)關(guān)控制策略,并進(jìn)行數(shù)值仿真,驗(yàn)證了控制策略的正確性和優(yōu)越性。

1 動(dòng)力學(xué)模型

首先定義目標(biāo)軌道坐標(biāo)系:Oe為地心,坐標(biāo)原點(diǎn)O位于目標(biāo)星的質(zhì)心,Ox軸沿目標(biāo)星地心距矢量方向,Oy軸指向速度方向,Oz軸與Ox軸和Oy軸組成右手坐標(biāo)系。目標(biāo)軌道坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系Fig.1 Target satellite orbital coordinate system

在目標(biāo)軌道坐標(biāo)系中滿足目標(biāo)軌道為圓軌道和近距離假設(shè)條件時(shí),編隊(duì)飛行的跟隨航天器相對(duì)目標(biāo)航天器的運(yùn)動(dòng)可表示為Hill方程[7],即編隊(duì)構(gòu)型控制狀態(tài)方程:

(1)

將式(1)改寫(xiě)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式如下:

(2)

x(t)=Φ(t)x(0)+Γ(t)u

(3)

式中,Φ(t)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;Γ(t)為控制響應(yīng)矩陣。為得到全局最優(yōu)解,Hill方程改寫(xiě)為[2]:

(4)

式中,R為相對(duì)運(yùn)動(dòng)在軌道平面內(nèi)分運(yùn)動(dòng)的短半軸;S為平面外簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅;nt為t時(shí)刻目標(biāo)星的平緯度幅角;θ0為跟隨航天器在目標(biāo)軌道平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的初始相位;φ0為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初始相位。

2 最優(yōu)構(gòu)型控制策略

由于編隊(duì)飛行相對(duì)運(yùn)動(dòng)在目標(biāo)星軌道平面內(nèi)和軌道平面外的運(yùn)動(dòng)是解耦的,因此,分別進(jìn)行編隊(duì)飛行的軌道面內(nèi)控制和面外控制,再通過(guò)約束條件將兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)結(jié)合,即可得到控制問(wèn)題的解。

2.1 時(shí)間最短開(kāi)關(guān)控制策略

根據(jù)最優(yōu)控制原理,式(2)線性定常系統(tǒng)的最短時(shí)間機(jī)動(dòng)問(wèn)題即為終端時(shí)間自由的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題,最優(yōu)控制為Bang-Bang控制[8],控制切換流程如圖2所示。圖中,t1,t2,t3,tf,tz1和tzf為待優(yōu)化變量。

圖2 時(shí)間最短控制切換流程Fig.2 Switching sequence for minimum-time control

時(shí)間最短控制的性能指標(biāo)為:

(5)

哈密爾頓函數(shù)為:

Htime(t)=1+λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(6)

協(xié)態(tài)方程為:

(7)

極值條件為:

H[x*(t),u*(t),λ(t),t]=

(8)

根據(jù)最優(yōu)控制原理,定常系統(tǒng)時(shí)間最短控制的哈密爾頓函數(shù)須保持為0,并滿足式(8)極值條件。根據(jù)最優(yōu)控制原理,式(8)等價(jià)為:

λT(ti)B=0,?ti

(9)

式中,λT(ti)B定義為切換函數(shù);ti為Bang-Bang控制切換的時(shí)刻。根據(jù)圖2可知,在初始和終端構(gòu)型條件已知時(shí),式(3)可以轉(zhuǎn)化為式(10)和式(11)。求解式(10)和式(11)即可得到時(shí)間最短控制對(duì)應(yīng)的控制切換時(shí)刻和終端時(shí)間。

(10)

(11)

式中,uy0為Oy軸方向輸入的控制加速度;uz0為Oz軸方向輸入的控制加速度。

2.2 燃料最省開(kāi)關(guān)控制策略

根據(jù)線性定常系統(tǒng)燃料最省控制原理[9],最省燃料控制問(wèn)題為終端時(shí)刻固定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題,且在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中存在滑行段,控制流程見(jiàn)圖3。

圖3 燃料最省控制切換流程Fig.3 Switching sequence for minimum-fuel control

燃料最省控制的性能指標(biāo)為:

(12)

哈密爾頓函數(shù)為:

Hfuel(t)=|u(t)|+λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(13)

根據(jù)最優(yōu)控制原理,燃料最省控制的哈密爾頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線保持為常值。結(jié)合式(12)和式(13),極值條件可改寫(xiě)為:

λT(ti)B=-sgn[u(ti)],?ti

(14)

當(dāng)λTB<-1時(shí),輸入+|u|;當(dāng)λTB>1時(shí),輸入-|u|;當(dāng)-1≤λTB≤1時(shí),航天器自由滑行。

根據(jù)式(3)以及圖3可以得到非線性方程組式(15)和式(16)。

(15)

式(15)非滿秩,雖然可以通過(guò)一些算法求解,但魯棒性差,甚至得到錯(cuò)誤解。因此,需要將協(xié)態(tài)變量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程結(jié)合求解,得到控制切換時(shí)刻和協(xié)態(tài)變量初值,然后通過(guò)燃料最省的哈密爾頓函數(shù)特性和極值條件驗(yàn)證控制最優(yōu)性。

(16)

3 數(shù)值仿真及分析

3.1 仿真條件

衛(wèi)星質(zhì)量為100 kg,采用連續(xù)電推進(jìn)方式進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)型控制,航天器的切向和法向安裝電推力器,推力大小為8 mN。目標(biāo)軌道根數(shù)為:a=6 887.135 km,e=0.0011,i=97.43°,Ω=283.67°,ω=90°。初始編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)和目標(biāo)構(gòu)型參數(shù)如表1所示。由于電推進(jìn)比沖很高,因此忽略控制過(guò)程中航天器的質(zhì)量變化。

表1 初始構(gòu)型和目標(biāo)構(gòu)型參數(shù)Table 1 Parameters of initial and target configuration

3.2 仿真結(jié)果及分析

燃料最省構(gòu)型控制所耗費(fèi)的時(shí)間大于時(shí)間最短編隊(duì)構(gòu)型控制,因此參考時(shí)間最短控制所耗費(fèi)的時(shí)間,最終選取終端時(shí)間7 200 s作為燃料最省控制的時(shí)間歷程。經(jīng)計(jì)算,控制結(jié)束后的構(gòu)型參數(shù)如表1所示。最優(yōu)控制的切換時(shí)刻和消耗速度增量見(jiàn)表2和表3,最優(yōu)控制驗(yàn)證曲線如圖4～圖7所示。

表2 平面內(nèi)最優(yōu)構(gòu)型控制解Table 2 Solution of in-plane optimal control

表3 平面外最優(yōu)構(gòu)型控制解Table 3 Solution of out-plane optimal control

圖4 時(shí)間最短面內(nèi)控制驗(yàn)證曲線Fig.4 Validating graph of in-plane minimum-time control

圖5 燃料最省面內(nèi)控制驗(yàn)證曲線Fig.5 Validating graph of in-plane minimum-fuel control

圖6 時(shí)間最短面外控制驗(yàn)證曲線Fig.6 Validating graph of out-plane minimum-time control

圖7 燃料最省面外控制驗(yàn)證曲線Fig.7 Validating graph of out-plane minimum-fuel control

由表1的數(shù)據(jù)可以看出,時(shí)間最短和燃料最省控制結(jié)束后編隊(duì)的構(gòu)型均達(dá)到控制目的,誤差較小。由圖4～圖7可以看出,切換控制律分別滿足時(shí)間最短和燃料最省極值條件的約束,計(jì)算過(guò)程中哈密爾頓函數(shù)均滿足最優(yōu)性要求,證明所設(shè)計(jì)的線性定常系統(tǒng)燃料最省和時(shí)間最短控制律是正確、可行的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了編隊(duì)構(gòu)型最優(yōu)開(kāi)關(guān)控制策略,仿真結(jié)果證明了該策略的正確性和可靠性。與其他求解連續(xù)推力編隊(duì)控制問(wèn)題相比,該方法充分利用編隊(duì)飛行的動(dòng)力學(xué)特性,不需要求解復(fù)雜的兩點(diǎn)邊界值問(wèn)題,通過(guò)求解描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的非線性方程組即可以得到最優(yōu)控制策略,大大減少了計(jì)算量。結(jié)合目前衛(wèi)星推力器安裝方式和電推進(jìn)技術(shù)的研究現(xiàn)狀,該方法非常適合編隊(duì)構(gòu)型控制的工程應(yīng)用。

在本文研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn),求解最優(yōu)控制策略對(duì)應(yīng)的非線性方程組需要采用數(shù)值方法進(jìn)行迭代求解,對(duì)初值選取仍較為敏感,且控制時(shí)序仍然需要根據(jù)迭代結(jié)果和最優(yōu)控制的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行人工判斷。此外,燃料最省控制策略的響應(yīng)速度往往太慢,達(dá)不到任務(wù)要求。因此,后續(xù)可針對(duì)高魯棒性的控制策略求解方法以及控制時(shí)間、燃料的綜合最優(yōu)控制問(wèn)題進(jìn)行研究。

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