梁 斌，李 戎，劉小宛，NODA Nao－Aki，徐紅玉

(1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽 471023;2.九州工業(yè)大學(xué) 機(jī)械系，日本 北九州 804－8550)

由于肋骨加強(qiáng)的圓柱殼體結(jié)構(gòu)能夠在減小自身重量的前提下達(dá)到增強(qiáng)結(jié)構(gòu)剛度和強(qiáng)度的作用，加肋圓柱殼已被廣泛應(yīng)用至潛艇耐壓船體結(jié)構(gòu)、航空航天等領(lǐng)域，研究環(huán)肋圓柱殼在靜水壓力下的振動特性對于研究水下圓柱殼體結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為有著非常重要的意義。Junger［1－2］最早對浸沒在聲場中的各向同性圓柱殼進(jìn)行研究。Zhang等［3－4］利用波動法研究了考慮流體影響的圓柱殼的振動特性。Loy等［5］利用Rayleigh－Ritz法研究了僅含有一條環(huán)肋時(shí)圓柱殼的振動特性。Liu等［6］考慮了靜水壓力對水下環(huán)肋圓柱殼輸入功率的影響。Gan等［7］以環(huán)肋圓柱殼為研究對象討論了波動法在對此類問題進(jìn)行分析時(shí)的計(jì)算精度問題。Tatianna等［8］采用 Flügge 殼體理論研究了側(cè)向壓力下圓柱殼體的穩(wěn)定性。Zhu等［9］基于波動法討論了通過殼體的固有頻率和靜水壓力來得到不加肋水下圓柱殼臨界壓力的方法的可行性。

本文在Flügge理論的基礎(chǔ)上，考慮流體的影響，采用波動法得到耦合系統(tǒng)的振動方程。再通過變換軸向波數(shù)，利用牛頓迭代法得到連續(xù)變化的靜水壓力下、不同邊界條件時(shí)水下圓柱殼的固有頻率。通過分別退化計(jì)算不考慮液體影響的環(huán)肋圓柱殼和水下不加肋圓柱殼的固有頻率，驗(yàn)證了本文方法的有效性和正確性。作為算例，計(jì)算并分析了肋條尺寸和數(shù)目、靜水壓力、邊界條件等因素對殼體固有頻率的影響。

1 力學(xué)模型

假定環(huán)肋圓柱殼(外加肋)如圖1所示，半徑為R，長度為L，壁厚為h，肋條截面長度為hr，寬度為 br，肋條間距為d2。將正交坐標(biāo)系(x，θ，z)建立在殼體中面上，其中x，θ和z分別為殼體的軸向、環(huán)向和徑向坐標(biāo)。

圖1 環(huán)肋圓柱殼模型Fig.1 Geometry of a ring-stiffened cylindrical shell

2 理論推導(dǎo)

由Flügge［10］理論可以得到考慮靜水壓力時(shí)圓柱殼的運(yùn)動方程

圓柱殼的振動位移函數(shù)可以表示為

式中，Um，Vm，Wm分別表示 x，θ，z方向的波幅，ω 為固有角頻率。

考慮液體影響的圓柱殼滿足聲波方程，在柱坐標(biāo)系(x，θ，r)中，流體的運(yùn)動方程為

式中，t為時(shí)間，c為流體的聲速，ψ為聲壓，r坐標(biāo)沿殼體徑向選取。而在流體中，滿足聲波方程(3)的聲壓場在柱坐標(biāo)系中的形式，可以表示為

式(5)中，Ω，CL和CF分別為無量綱頻率參數(shù)，圓柱殼體的聲速及流體的聲速。由于在殼體外壁與流體的接觸界面上，流體徑向位移與殼體徑向位移必須相等。該耦合條件表達(dá)式為

針對不同情況，代入具體的邊界條件至km［11］，求解式(8)，可以得到

式中，P1(ω)和P2(ω)分別為關(guān)于未知數(shù)ω的多項(xiàng)式。在一定外壓下，采用牛頓迭代法即可得到給定靜水壓力時(shí)環(huán)肋圓柱殼的固有頻率值。當(dāng)FL=0，Q=0時(shí)，即可還原為不考慮流體影響情況下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率的計(jì)算。

3 算例與討論

表1計(jì)算了靜水壓力下，不考慮肋條影響時(shí)三種邊界條件下圓柱殼的固有頻率。通過與Zhu［9］的結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文在計(jì)算靜水壓力下殼體固有頻率時(shí)的有效性和正確性。殼體的幾何參數(shù)為:E=2.1×1011N/m2，μ =0.3，ρ=7 850 kg/m3，L/R=20，h/R=0.01，R=1 m，m=1，n=2。

表1 不同邊界條件下水下圓柱殼固有頻率的對比分析Tab.1 Comparison offundamental natural frequencies under different hydrostatic pressures in various boundary conditions

表2計(jì)算了兩端簡支邊界條件下，不考慮液體影響時(shí)環(huán)肋圓柱殼的固有頻率。通過與參考文獻(xiàn)［7，12］的結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文在計(jì)算環(huán)肋圓柱殼的固有頻率時(shí)的有效性和正確性。

由于當(dāng)靜水壓力超過臨界壓力時(shí)，結(jié)構(gòu)會失穩(wěn)，再進(jìn)行固有頻率的計(jì)算已無意義，所以對圓柱殼容器進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，需要考慮其臨界壓力大小。而對于靜水壓力下的環(huán)肋圓柱殼，當(dāng)殼體的固有頻率為0時(shí)，則可認(rèn)為此時(shí)所對應(yīng)的靜水壓力即為環(huán)肋圓柱殼臨界荷載的彈性理論解。因此，本文在進(jìn)行水下環(huán)肋圓柱殼的振動特性分析時(shí)，靜水壓力數(shù)值均控制在其殼體分別對應(yīng)的臨界壓力以下。作為算例，本文分別計(jì)算了連續(xù)變化的靜水壓力下，變換h/R、軸向半波數(shù)、肋條尺寸和數(shù)目、邊界條件等多種影響因素時(shí)圓柱殼的固有頻率變化曲線，見圖2至圖10。殼體的幾何參數(shù)為:E=2.077 88 × 1011N/m2，μ =0.317 756，ρ=8 166 kg/m3，L/R=20，R=1 m，m=1，hr=0.005 m，br=0.003 m，肋條數(shù) Nr=20。

表2 環(huán)肋圓柱殼固有頻率的對比分析Tab.2 Comparison of natural frequencies of stiffened cylindrical shell

為了更好的表現(xiàn)肋條對于圓柱殼的固有頻率的影響，下面首先以兩端簡支邊界條件下的環(huán)肋圓柱殼作為研究對象，分析不考慮靜水壓力時(shí)肋條對殼體固有頻率的影響，h/R=0.002。圖2分別以不加肋和環(huán)肋圓柱殼作為研究對象，給出了不同軸向半波數(shù)時(shí)，兩端簡支邊界條件下圓柱殼的固有頻率的變化規(guī)律曲線。從圖中可以看出，加肋圓柱殼的固有頻率明顯大于不加肋圓柱殼的固有頻率，且隨著周向波數(shù)的逐漸增大，肋條對固有頻率的影響逐漸顯現(xiàn);與不加肋圓柱殼相比，肋條對殼體的固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下;軸向半波數(shù)對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較小的情況下。

圖3給出了不同肋條數(shù)目(當(dāng)殼體長度一定時(shí)，增減肋條數(shù)目等同于改變肋條間距)時(shí)，殼體固有頻率的變化曲線?？梢钥闯?，隨著肋條數(shù)目的不斷增多(肋條間距的逐漸減小)，殼體的固有頻率逐漸增大，肋條數(shù)目對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下;隨著周向波數(shù)的逐漸增大，固有頻率先減小后增大。

圖4以肋條截面長度和寬度比作為出發(fā)點(diǎn)，研究了肋條尺寸對殼體固有頻率的影響，br=0.003 m。由圖可知，殼體的固有頻率隨著肋條截面長度和寬度比的增大而增大，且其比例值越大，頻率增長幅度約明顯;長度和寬度比對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下;與肋條數(shù)目(肋條間距)相比，肋條的截面長度和寬度比對固有頻率的影響更為顯著。

圖5給出了不同h/R時(shí)環(huán)肋圓柱殼的固有頻率曲線。如圖所示，隨著周向波數(shù)的逐漸增大，殼體的固有頻率先減小后增大;固有頻率隨著h/R的增大而增大，且h/R對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下。

圖2 不同軸向半波數(shù)m時(shí)圓柱殼的固有頻率的變化規(guī)律曲線Fig.2 Variation of natural frequencies of cylindrical shells for some different axial half wave numbers

圖3 不同肋條數(shù)目時(shí)圓柱殼的固有頻率的變化規(guī)律曲線Fig.3 Variation of natural frequencies ofring-stiffened cylindrical shells for the number of Nr

圖4 不同hr/br時(shí)圓柱殼的固有頻率的變化規(guī)律曲線Fig.4 Variation of natural frequencies for a ring-stiffened cylindrical shells with different hr/br ratios

圖5 不同h/R時(shí)環(huán)肋圓柱殼的固有頻率變化曲線Fig.5 Variation of natural frequency for a submerged ring-stiffened cylindrical shell with different h/R ratios

圖6 不同軸向半波數(shù)m時(shí)圓柱殼的耦合頻率和非耦合頻率的變化規(guī)律曲線Fig.6 Variation of coupled and uncoupled frequencies of cylindrical shells for some different axial half wave numbers

圖7 兩端簡支邊界條件下水下圓柱殼的固有頻率變化曲線Fig.7 Variation for a simply support submerged cylindrical shell

圖6 －10給出了考慮液體影響時(shí)環(huán)肋圓柱殼的固有頻率變化規(guī)律曲線，為了更好表現(xiàn)流體因素對殼體固有頻率的影響。圖6給出了僅考慮流體影響，靜水壓力Q=0時(shí)的固有頻率曲線?？梢钥闯雎晧簩んw的固有頻率有顯著的影響;隨著周向波數(shù)的逐漸增大，耦合頻率逐漸由非耦合頻率的約1/5增大至非耦合頻率的1/3;軸向半波數(shù)對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較小的情況下。

選用h/R=0.01。圖7給出了靜水壓力下，兩端簡支環(huán)肋圓柱殼的固有頻率曲線。可以看出，隨著靜水壓力的逐漸增大，殼體的固有頻率逐漸減小;固有頻率隨著周向波數(shù)的增大而增大;當(dāng)n=2，Q=80 kPa時(shí)，固有頻率接近0，此時(shí)的靜水壓力即為殼體的臨界壓力。

基于上圖結(jié)論，接下來將n=2時(shí)殼體固有頻率作為研究對象。圖8給出了靜水壓力下，不同肋條數(shù)目時(shí)殼體的固有頻率。從圖中可以看出，隨著靜水壓力的不斷增大，殼體的固有頻率逐漸減小;不同肋條數(shù)目時(shí)殼體的固有頻率非常接近，即肋條數(shù)目對殼體的固有頻率的影響并不明顯，當(dāng)靜水壓力接近80 kPa，固有頻率下降速度明顯加快，不同固有頻率之間的差別開始顯現(xiàn);當(dāng)Nr=0時(shí)，殼體的固有頻率下降速度變快。

圖9給出了靜水壓力下，不同邊界條件時(shí)環(huán)肋圓柱殼的固有頻率變化曲線?？梢钥闯觯瑲んw的固有頻率隨著靜水壓力的逐漸增大而減小，接近臨界壓力時(shí)固有頻率下降速度變快;五種邊界條件中，兩端固定邊界條件下的固有頻率最大，一端自由一端滑移邊界條件下的固有頻率最小;一端自由一端滑移和一端固定一端自由這兩種邊界條件下的固有頻率非常接近;當(dāng)靜水壓力為50 kPa時(shí)，一端自由一端滑移邊界條件下的固有頻率接近0，達(dá)到臨界靜水壓力。

圖10給出了靜水壓力下，不同h/R時(shí)殼體的固有頻率。由圖可知，殼體厚度對固有頻率的影響非常顯著;隨著靜水壓力的增大，殼體的固有頻率逐漸減小，當(dāng)h/R=0.002時(shí)固有頻率下降速度最快;殼體的固有頻率隨著h/R的增大而增大，且固有頻率的下降速度隨著h/R的增大而迅速變緩。

圖8 靜水壓力下不同肋條數(shù)目時(shí)圓柱殼的固有頻率的變化曲線Fig.8 Variation of natural frequencies of ring-stiffened cylindrical shells for the number of Nr under hydrostatic pressure

圖9 不同邊界條件下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率曲線Fig.9 Variation of natural frequency for a submerged ring-stiffened cylindrical shell with different boundary conditions

圖10 不同h/R時(shí)水下環(huán)肋圓柱殼的固有頻率變化曲線Fig.10 Variation of natural frequency for a submerged ring-stiffened cylindrical shell with different h/R ratios under hydrostatic pressure

4 結(jié)論

本文基于Flügge理論并考慮流體影響，采用波動法研究了靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的耦合振動特性。

(1)環(huán)肋圓柱殼的固有頻率明顯大于不加肋圓柱殼的固有頻率;肋條對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下;軸向半波數(shù)對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較小的情況下。

(2)肋條數(shù)目對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下;殼體的固有頻率隨著肋條截面長度和寬度比的增大而增大，且其比例值越大，頻率增長幅度約明顯;長度和寬度比對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下;與肋條數(shù)目(肋條間距)相比，肋條的截面長度和寬度比對固有頻率的影響更為顯著。

(3)固有頻率隨著h/R的增大而增大，且h/R對固有頻率的影響主要表現(xiàn)在周向波數(shù)較大的情況下;當(dāng)考慮流體影響時(shí)，隨著靜水壓力的增大，殼體的固有頻率逐漸減小，當(dāng)h/R=0.002時(shí)固有頻率下降速度最快;殼體的固有頻率隨著h/R的增大而增大，且固有頻率的下降速度隨著h/R的增大而迅速變緩。

(4)隨著靜水壓力的逐漸增大，殼體的固有頻率逐漸減小;當(dāng)靜水壓力接近臨近壓力時(shí)，固有頻率下降速度明顯加快。

(5)五種邊界條件中，兩端固定邊界條件下的固有頻率最大，一端自由一端滑移邊界條件下的固有頻率最小;一端自由一端滑移和一端固定一端自由這兩種邊界條件下的固有頻率非常接近;當(dāng)靜水壓力為50 kPa時(shí)，一端自由一端滑移邊界條件下的固有頻率接近0，達(dá)到臨界靜水壓力。

［1］Junger M C.Radiation loading of cylindrical and spherical surfaces［J］.Acoust.Soc.Am.，1952，24(3):288 －289.

［2］Junger M C.Vibrations of elastic shells in a fluid medium and the associated radiation of sound ［J］.Appl.Mech.，1952，19(3):439 －445.

［3］Zhang X M，Liu G R，Lam K Y.Coupled vibration analysis of fluid-filled cylindrical shells using the wave propagation approach［J］.Applied Acoustics，2001，62(3):229 －243.

［4］Zhang X M.Frequency analysis of submerged cylindrical shells with the wave propagation approach［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2002，44(7):1259－1273.

［5］Loy C T，Lam K Y.Vibration of cylindrical shells with ring support［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1997，39(4):455 －471.

［6］ Liu Z Z，Li T Y，Zhu X，et al.Effect of hydrostatic pressure on input power flow in submerged ring-stiffened cylindrical shells［J］.Journal of Ship Mechanics.2011，15(3):301－312.

［7］ Gan L，Li X B，Zhang Z.Free vibration analysis of ringstiffened cylindrical shells using wave propagation approach［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，326(3 －5):633－646.

［8］Vodenitcharova T， Ansourian P. Buckling of circular cylindrical shells subject to uniform lateral pressure［J］.Eng.Struct.，1996，18(8):604 －614.

［9］Zhu X，Ye W B，Li T Y，et al，The elastic critical pressure prediction of submerged cylindrical shell using wave propagation method［J］.Ocean Engineering，2013，58:22－26.

［10］ Flügge W.Stresses in shells［M］.Second Edition.Springer -Verlag，New York，1973.

［11］Zhang X M，Liu G R，Lam K Y.Coupled vibration analysis of fluid-filled cylindrical shells using the wave propagation approach［J］.Applied Acoustics，2001，62(3):229 －243.

［12］Jafari A A，Bagheri M.Free vibration of non-uniformly ring stiffened cylindrical shells using analytical，experimental and numerical methods ［J］.Thin-Walled Structures，2006，44(1):82－90.