李 彬，夏 虹

(哈爾濱工程大學 核科學與技術學院，哈爾濱 150001)

反應堆主冷卻劑泵作為核電廠的一個重要組成部分，其運行狀態(tài)直接關系核電廠的運行安全，從第一座核電站運行至今，由于主冷卻劑泵的故障引起的核電廠停堆事故達到多起，造成了重大經(jīng)濟損失。而作為主冷卻劑泵的一個主要核心部件——轉子的特性直接決定了主泵的運行狀態(tài)，所以對轉子故障特征的監(jiān)測與識別能夠及時有效地保證反應堆的安全運行以及減少不必要的維護費用。

小波分析方法由于其良好的分析特性己經(jīng)在旋轉機械的故障診斷中得到了廣泛應用，但是其在工程應用中仍然有一個重要的難題沒有解決——小波基的選擇問題。不同的小波基具有不同的性質，對信號的分析能力也不同，對同一信號采用不同的小波基得到的結果也不同［1－3］，在小波應用中，多數(shù)采用離散的 db小波或者haar小波，也有少部分利用連續(xù)的morlet小波［4］。眾多學者也積極對這一領域開展研究，例如，Yang等［5］利用最大形狀匹配的原則來確定適合振動信號的小波基，Schukin等［4］利用最小總誤差和時頻分辨率的規(guī)則來選擇適合沖擊信號的小波基，但是多數(shù)研究結果也都只是從某一方面來確定適合特定信號的小波基。

小波變換后的小波系數(shù)表明了小波與被處理信號之間的相似程度，如果小波系數(shù)較大，則表明小波和信號的波形相似程度較大;反之則比較小。所以，本文提出基于小波系數(shù)與信號之間的互相關系數(shù)的方法來選取合適的小波基。通過對反應堆主冷卻劑泵裂紋故障進行建模仿真，獲取故障信號，然后利用選取的小波基信號進行故障特征識別。

1 最大互相關系數(shù)法

將任意L2(R)空間中的函數(shù)f(t)在小波基下展開，稱這種展開為函數(shù)f(t)的連續(xù)小波變換(CWT)，其表達式為［6］:

我們稱WTf(a，b)為小波系數(shù)，它反映信號與小波基的相似程度為連續(xù)小波基函數(shù)，通過調(diào)整尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b，可以得到具有不同時－頻寬度的小波以匹配被測信號的任意位置，達到對信號的時－頻局部化分析的目的。

小波變換實質上就是分析信號與小波基在不同尺度上的相似性，根據(jù)這個特點，我們引入了互相關系數(shù)——用來描述兩個變量相互之間密切程度的數(shù)字特征量。由于小波系數(shù)能夠描述被測信號的局部特征，所以其就成為了聯(lián)系小波基與信號的紐帶，而小波系數(shù)與信號之間的互相關系數(shù)自然也就能夠刻畫小波基與被測信號的相似程度，即當互相關系數(shù)絕對值越接近1時，表示小波基與被測信號越相似。

結合互相關系數(shù)的定義，我們重新給出小波系數(shù)與被測信號之間互相關系數(shù)的公式:

其中，N是被測信號x(n)的序列長度，WT(a，k)是被測信號x(n)在尺度a上的第k個小波系數(shù)，WT(a)和—x分別表示為尺度a上的小波系數(shù)和被測信號的平均值。利用這個公式，我們能夠計算出在尺度a上小波系數(shù)與被測信號的互相關系數(shù)，然后，再通過比較不同的小波基與被測信號的互相關系數(shù)，確定使互相關系數(shù)最大的小波基作為最優(yōu)小波基，我們稱這種方法為最大互相關系數(shù)法。本文中主要從以下18種小波基中選擇被測信號的最優(yōu)小波基，它們分別為:haar、meyr、morl、mexh、db2、db4、db6、db8、db10、db12、db16、sym2、sym4、sym6、sym8、coif1、coif2、coif3 等，它們的特點如下表1中所示:

表1 不同小波基函數(shù)的特點Tab.1 Characteristics of different wavelet basis functions

圖1 裂紋模型Fig.1 Model of crack

2 反應堆主冷卻劑泵裂紋轉子振動模型

目前，大多數(shù)裂紋轉子系統(tǒng)模型的研究是基于水平轉子［7－8］，而反應堆主冷卻劑泵一般情況下是垂直安裝，所以要充分考慮軸承和基礎對轉子的影響，基于此，本研究結合有關裂紋轉子的剛度模型［9］(圖1)建立了垂直安裝主泵的裂紋轉子－軸承－基礎的振動模型，如圖2所示，其中m1為泵體等效質量;O1為m1的質心;c1為泵體支撐阻尼;k1為泵體支撐剛度;m3為軸等效質量;O3為m3的質心;m2為等效圓盤質量;Oe為等效圓盤質心;y表示徑向;O2為軸心;c2為轉子阻尼;2kp為轉軸剛度。該模型的振動微分方程如公式5所示，式中:x、y為各個等效質量的徑向振幅;c、k分別為阻尼和剛度;e為等效圓盤的偏心距;m為各個等效質量;w為軸轉速;t為時間;φ為初始相位角。

圖2 反應堆主冷卻劑泵裂紋轉子模型Fig.2 Model of the cracked rotor of RCP

在上面的微分方程中，裂紋轉子的剛度表示為如下式子:

其中，f(θ)為開關函數(shù)，其表達式如下［8］:

在公式(4)和(5)中，θ=wt+φ+β－，其中 可由tan=得到，β為轉子偏心方向與裂紋方向的夾角，α可以通過cosα=求出，R、T分別為軸直徑和裂紋深度，k0為無裂紋時的初始剛度，Δkη、Δkξ為有裂紋時的剛度變量。R－T

3 主泵轉子裂紋故障特征識別

由于主泵垂直安裝，重力在徑向幾乎不起作用，在動撓度遠大于靜撓度的前提下，可采用開裂紋形式［10］，即開關函數(shù)f(θ)=1。而由于轉子裂紋的出現(xiàn)，使轉軸的剛度不對稱，從而引發(fā)非線性振動，出現(xiàn)旋轉頻率的1倍、2倍、3倍等高倍分量。

現(xiàn)設轉軸轉速w=2 200 r/min，m1=200 kg，m2=220 kg，m3=30 kg，c1=4 300 N·s/m，c2=9 300 N·s/m，c3=3 000 N·s/m，k1=5.26×107N/m，k2=2.104 ×108N/m，k3=5 ×107N/m，e=0.2 mm，φ =0，α=，β=0，這里裂紋取在 ξ方向上，kη=2.004×108N/m，kξ=1.8×108N/m。其仿真信號及其傅里葉變換如圖3和圖4所示，其中采樣頻率為2 000 Hz。從原始信號的傅里葉變換圖中，可以清晰地看出轉子的旋轉頻率，其值為36.7 Hz，并不能識別出裂紋轉子的高倍分量故障特征。

圖3 轉速2 000 r/min開裂紋信號Fig.3 The open crack signal at the speed of 2 000 r/min

圖4 信號傅里葉變換Fig.4 FFT of the signal

下面，我們采用最大互相關系數(shù)法來選取原始信號的最優(yōu)小波基。首先，我們利用上面的18種小波基分別與信號計算互相關系數(shù)，如圖5所示。我們?nèi)∑渲谢ハ嚓P系數(shù)最大的db8小波、互相關系數(shù)較小的meyer小波以及互相關系數(shù)與db8較為接近的db12小波這3種代表性的小波分別對信號進行連續(xù)小波變換，并將小波變換結果以功率譜的形式刻畫出來，如圖6、圖7和圖8，對比分析結果確定最優(yōu)小波基以及開裂紋信號的故障特征。

從db8小波的分析圖中可以清晰地分辨出除了作為旋轉頻率的1倍頻外，還存在3倍頻與5倍頻(5倍頻的能量相對較小)，因此db8小波能夠識別出裂紋轉子的高倍頻分量，除此之外，隨著尺度的變化，功率譜的光滑性也說明了db8小波在不同尺度上的識別能力都比較好。meyer小波對信號的分析結果如圖7所示，雖然識別出了3倍頻，但是其沒能識別出5倍頻，并且，該小波在不同尺度上對故障特征的識別能力也相差較大。而互相關系數(shù)與db8相差不大的db12小波，如圖8所顯示的，能夠識別出3倍頻和5倍頻，但是其在低尺度上的識別能力較差。所以，作為互相關系數(shù)最大的db8小波，不僅有效識別出了裂紋轉子的故障特征，而且在不同尺度上都能夠很好地實現(xiàn)對故障特征的識別，因此，db8小波可以作為該仿真信號的最優(yōu)小波基，并且從功率譜上也能夠確定3倍頻是其主要故障特征。

圖5 信號與不同小波基的互相關系數(shù)Fig.5 Cross-correlation coefficients between the signal and various wavelet basis

圖6 db8連續(xù)小波變換功率譜Fig.6 Power spectrum of db8 CWT

圖7 meyer連續(xù)小波變換功率譜Fig.7 Power spectrum of meyer CWT

圖8 db12連續(xù)小波變換功率譜Fig.8 Power spectrum of db12 CWT

為了更好地驗證最大互相關系數(shù)法能夠選取分析信號的最優(yōu)小波基，我們不妨取另一組開裂紋振動信號進行分析，現(xiàn)設轉子的轉速為1 100 r/min，所得到的仿真信號以及傅里葉變換結果如圖9、10。

從信號的傅里葉變換結果中，我們能夠觀測到，信號的旋轉頻率為18.3 HZ，并且除了旋轉頻率外，還存在一個3倍頻。接下來，我們采用最大互相關系數(shù)法計算信號與不同小波基的互相關系數(shù)，如圖11所示，系數(shù)最大的為mexh小波。我們?nèi)匀贿x取與mexh小波較為接近的coif1小波以及互相關系數(shù)最小的db10對信號進行分析對比，結果如圖12、13和14所示，mexh小波不僅能夠識別信號的旋轉頻率和3倍頻，而且識別出了5倍頻以及7倍頻(能量較小)，并且在各個尺度上，都有較好的識別能力。coif1小波雖然也能夠識別出信號的3倍頻、5倍頻以及7倍頻，但是隨著尺度的增加，其識別能力變差，而db10小波的分析結果明顯較差。

因此，作為互相關系數(shù)最大的mexh小波，不僅能夠識別裂紋信號的3倍頻、5倍頻等故障特征，而且其在不同尺度上都具有較好的識別能力，所以，mexh小波可以作為該仿真信號的最優(yōu)小波基，此外，從小波分析結果中，我們也能夠得出3倍頻是該振動信號的主要故障特征。

圖9 轉速1 100 r/min開裂紋信號Fig.9 The open crack signal at the speed of 1 100 r/min

圖10 信號傅里葉變換Fig.10 FFT of the signal

圖11 信號與不同小波基的互相關系數(shù)Fig.11 Cross-correlation coefficients between the signal and various wavelet basis

圖12 mexh連續(xù)小波變換功率譜Fig.12 Power spectrum of mexh CWT

圖13 coif1連續(xù)小波變換功率譜Fig.13 Power spectrum of coif1 CWT

圖14 db10連續(xù)小波變換功率譜Fig.14 Power spectrum of db10 CWT

4 結論

本文基于主冷卻劑泵的裂紋轉子的振動仿真模型，通過從小波基庫中選取18種不同的小波基，分別計算這些小波基與兩組不同轉速的開裂紋故障信號之間的互相關系數(shù)，并選取3種具有代表性的小波基分別對故障信號進行小波變換，從分析結果中可以得出:

(1)最大互相關系數(shù)法能夠實現(xiàn)兩組不同轉速的開裂紋故障信號的最優(yōu)小波基，分別為db8與mexh小波;

(2)在該仿真模型下，雖然轉速不同，但是轉子開裂紋信號的主要故障特征頻率都是3倍頻。

由于本文只是從18種不同的小波基中選取信號的最優(yōu)小波基，所以在小波基的選擇范圍上還有待擴展。此外，只考慮了開裂紋故障信號，并沒有將噪聲的影響考慮在內(nèi)，所以今后還需要進行更加深入的探討研究。

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